Módulo sencillo

En matemáticas, específicamente en teoría de anillos, los módulos simples sobre un anillo R son los módulos (izquierdo o derecho) sobre R que son distintos de cero y no tienen submódulos propios distintos de cero. De manera equivalente, un módulo M es simple si y solo si cada submódulo cíclico generado por un elemento distinto de cero de M es igual a M. Los módulos simples forman bloques de construcción para los módulos de longitud finita y son análogos a los grupos simples en la teoría de grupos.

En este artículo, se supondrá que todos los módulos son módulos unitarios correctos sobre un anillo R.

Ejemplos

Los módulos Z son iguales a los grupos abelianos, por lo que un módulo Z simple es un grupo abeliano que no tiene subgrupos propios distintos de cero. Estos son los grupos cíclicos de primer orden.

Si I es un ideal correcto de R, entonces I es simple como un módulo correcto si y solo si I es un ideal correcto mínimo distinto de cero: si M es un submódulo propio distinto de cero de I, entonces también es un ideal correcto, entonces I no es mínimo. Por el contrario, si I no es mínimo, entonces hay un derecho J ideal distinto de cero correctamente contenido en I. J es un submódulo derecho de I, por lo que I no es simple.

Si I es un ideal recto de R, entonces el módulo cociente R/I es simple si y solo si I es un ideal recto maximal: Si M es un submódulo propio distinto de cero de R/I, luego la preimagen de M bajo el mapa del cociente R → R/I es un ideal recto que no es igual a R y que contiene propiamente a I. Por lo tanto, I no es maximal. Por el contrario, si I no es maximal, entonces hay un derecho ideal J que contiene correctamente I. El mapa del cociente R/I → R/J tiene un kernel distinto de cero que no es igual a R/I, y por lo tanto <span class="nowrap" R/I no es simple.

Todo módulo R simple es isomorfo a un cociente R/m donde m es un derecho máximo ideal de R. Por el párrafo anterior, cualquier cociente R/m es un módulo simple. Por el contrario, suponga que M es un módulo R simple. Entonces, para cualquier elemento distinto de cero x de M, el submódulo cíclico xR debe ser igual a M. Arregle tal x. La afirmación de que xR = M es equivalente a la sobreyectividad del homomorfismo R → M que envía r a xr. El núcleo de este homomorfismo es un ideal derecho I de R, y un teorema estándar establece que M es isomorfo a R/yo. Por el párrafo anterior, encontramos que I es un ideal recto maximal. Por lo tanto, M es isomorfo a un cociente de R por un ideal recto máximo.

Si k es un campo y G es un grupo, entonces una representación de grupo de G es un módulo izquierdo sobre el anillo de grupo k[G] (para más detalles, consulte la página principal sobre esta relación). Los módulos simples k[G] también se conocen como representaciones irreducibles. Un objetivo principal de la teoría de la representación es comprender las representaciones irreducibles de los grupos.

Propiedades básicas de módulos simples

Los módulos simples son precisamente los módulos de longitud 1; esta es una reformulación de la definición.

Todo módulo simple es indescomponible, pero lo contrario en general no es cierto.

Todo módulo simple es cíclico, es decir, es generado por un elemento.

No todos los módulos tienen un submódulo simple; Considere, por ejemplo, el módulo Z Z a la luz del primer ejemplo anterior.

Sean M y N módulos (izquierdo o derecho) sobre el mismo anillo, y sea f: M → N sea un homomorfismo de módulos. Si M es simple, entonces f es el homomorfismo cero o inyectivo porque el núcleo de f es un submódulo de M. Si N es simple, entonces f es el homomorfismo cero o sobreyectivo porque la imagen de f es un submódulo de N. Si M = N, entonces f es un endomorfismo de M, y si M es simple, entonces las dos declaraciones anteriores implican que f es el homomorfismo cero o un isomorfismo. En consecuencia, el anillo de endomorfismo de cualquier módulo simple es un anillo de división. Este resultado se conoce como lema de Schur.

El inverso del lema de Schur no es cierto en general. Por ejemplo, el módulo Z Q no es simple, pero su anillo de endomorfismo es isomorfo al campo Q.

Módulos simples y series de composición

Si M es un módulo que tiene un submódulo propio distinto de cero N, entonces hay una secuencia exacta corta

0→ → N→ → M→ → M/N→ → 0.{displaystyle 0to Nto Mto M/Nto 0}

Un enfoque común para probar un hecho sobre M es mostrar que el hecho es verdadero para el término central de una sucesión exacta corta cuando es verdadero para los términos izquierdo y derecho, luego probar el hecho para N y M/N. Si N tiene un submódulo propio distinto de cero, entonces este proceso puede repetirse. Esto produce una cadena de submódulos.

⋯ ⋯ ⊂ ⊂ M2⊂ ⊂ M1⊂ ⊂ M.{displaystyle cdots subset M_{2}subset M_{1}subset M.}

Para probar el hecho de esta manera, se necesitan condiciones sobre esta secuencia y sobre los módulos M_i /M _i + 1. Una condición particularmente útil es que la longitud de la secuencia sea finita y cada cociente módulo M_i /M_i + 1 es simple. En este caso, la secuencia se denomina serie de composición para M. Para probar un enunciado inductivamente usando series de composición, primero se prueba el enunciado para módulos simples, que forman el caso base de la inducción, y luego se prueba que el enunciado sigue siendo verdadero bajo una extensión de un módulo por un módulo simple. Por ejemplo, el lema de ajuste muestra que el anillo de endomorfismo de un módulo indescomponible de longitud finita es un anillo local, por lo que se cumple el teorema fuerte de Krull-Schmidt y la categoría de módulos de longitud finita es una categoría de Krull-Schmidt.

El teorema de Jordan-Hölder y el teorema de refinamiento de Schreier describen las relaciones entre todas las series de composición de un solo módulo. El grupo de Grothendieck ignora el orden en una serie de composición y ve cada módulo de longitud finita como una suma formal de módulos simples. En anillos semisimples, esto no supone ninguna pérdida, ya que cada módulo es un módulo semisimple y, por tanto, una suma directa de módulos simples. La teoría de caracteres ordinarios proporciona un mejor control aritmético y utiliza módulos CG simples para comprender la estructura de grupos finitos G. La teoría de la representación modular utiliza caracteres de Brauer para ver los módulos como sumas formales de módulos simples, pero también está interesada en cómo se unen esos módulos simples dentro de series de composición. Esto se formaliza estudiando el funtor Ext y describiendo la categoría del módulo de varias maneras, incluyendo carcajes (cuyos nodos son los módulos simples y cuyos bordes son series de composición de módulos no semisimples de longitud 2) y la teoría de Auslander-Reiten donde el gráfico asociado tiene un vértice para cada módulo indescomponible.

El teorema de la densidad de Jacobson

Un avance importante en la teoría de módulos simples fue el teorema de densidad de Jacobson. El teorema de la densidad de Jacobson establece:

Vamos U ser un derecho simple R- Mobiliario y deja D Fin_R()U). Vamos A ser cualquiera D- Operador lineal en U y dejar X ser un finito D- Subconjunto linealmente independiente U. Entonces existe un elemento r de R tales que x·A = x·r para todos x dentro X.

En particular, cualquier anillo primitivo puede verse como (es decir, isomorfo a) un anillo de operadores lineales D en algún espacio D.

Una consecuencia del teorema de densidad de Jacobson es el teorema de Wedderburn; a saber, que cualquier anillo simple artiniano correcto es isomorfo a un anillo de matriz completo de matrices n-por-n sobre un anillo de división para algún n. Esto también se puede establecer como un corolario del teorema de Artin-Wedderburn.