Módulo noetheriano

En álgebra abstracta, un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en sus submódulos, donde los submódulos están parcialmente ordenados por inclusión.

Históricamente, Hilbert fue el primer matemático en trabajar con las propiedades de submódulos generados de forma finita. Demostró un importante teorema conocido como teorema de la base de Hilbert, que dice que cualquier ideal en el anillo polinómico multivariado de un campo arbitrario se genera de forma finita. Sin embargo, la propiedad lleva el nombre de Emmy Noether, quien fue la primera en descubrir la verdadera importancia de la propiedad.

Caracterizaciones y propiedades

En presencia del axioma de elección, son posibles otras dos caracterizaciones:

• Todo no empleado S de los submódulos del módulo tiene un elemento maximal (con respecto a la inclusión del conjunto). Esto se conoce como la condición máxima.
• Todos los submódulos del módulo se generan finitamente.

Si M es un módulo y K un submódulo, entonces M es noetheriano si y sólo si K y M/K son noetherianos. Esto contrasta con la situación general con los módulos generados de forma finita: no es necesario generar un submódulo de un módulo generado de forma finita.

Ejemplos

• Los enteros, considerados como un módulo sobre el anillo de enteros, es un módulo noetheriano.
• Si RM_n()F) es el anillo de matriz completo sobre un campo, y MM_{n 1}()F) es el conjunto de vectores de columna sobre F, entonces M se puede hacer en un módulo utilizando multiplicación de matriz por elementos R sobre la izquierda de elementos M. Este es un módulo Noetherian.
• Cualquier módulo que sea finito como conjunto es Noetherian.
• Cualquier módulo derecho generado finitamente sobre un anillo noetheriano derecho es un módulo noetheriano.

Uso en otras estructuras

Un anillo noetheriano derecho R es, por definición, un módulo noetheriano derecho R sobre sí mismo mediante la multiplicación por la derecha. Del mismo modo, un anillo se denomina anillo noetheriano izquierdo cuando R se considera noetheriano como un módulo R izquierdo. Cuando R es un anillo conmutativo, los adjetivos de izquierda a derecha pueden eliminarse porque son innecesarios. Además, si R es noetheriano en ambos lados, se acostumbra llamarlo noetheriano y no "noetheriano de izquierda y derecha".

La condición noetheriana también se puede definir en estructuras de bimódulos: un bimódulo noetheriano es un bimódulo cuyo conjunto de subbimódulos satisface la condición de cadena ascendente. Dado que un subbimódulo de un bimódulo R-S M es en particular un módulo R izquierdo, si M considerado como un módulo R izquierdo era noetheriano, entonces M es automáticamente un bimódulo noetheriano. Puede suceder, sin embargo, que un bimódulo sea noetheriano sin que sus estructuras izquierda o derecha sean noetherianas.