Módulo (matemáticas)

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Generalización de espacios vectoriales desde campos hasta anillos

En matemáticas, un módulo es una generalización de la noción de espacio vectorial en la que el campo de escalares se sustituye por un anillo. El concepto de módulo generaliza también la noción de grupo abeliano, ya que los grupos abelianos son exactamente los módulos sobre el anillo de los enteros.

Al igual que un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo, y la multiplicación escalar es distributiva sobre la operación de suma entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación de anillos.

Los módulos están muy relacionados con la teoría de la representación de grupos. También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y el álgebra homológica, y se utilizan ampliamente en geometría algebraica y topología algebraica.

Introducción y definición

Motivación

En un espacio vectorial, el conjunto de escalares es un campo y actúa sobre los vectores por multiplicación escalar, sujeto a ciertos axiomas como la ley distributiva. En un módulo, los escalares solo necesitan ser un anillo, por lo que el concepto de módulo representa una generalización significativa. En álgebra conmutativa, tanto los ideales como los anillos de cociente son módulos, por lo que muchos argumentos sobre ideales o anillos de cociente se pueden combinar en un solo argumento sobre módulos. En álgebra no conmutativa, la distinción entre ideales izquierdos, ideales y módulos se vuelve más pronunciada, aunque algunas condiciones de teoría de anillos se pueden expresar sobre ideales izquierdos o módulos izquierdos.

Gran parte de la teoría de los módulos consiste en extender tantas propiedades deseables de los espacios vectoriales como sea posible al ámbito de los módulos sobre un "buen comportamiento" anillo, como un dominio ideal principal. Sin embargo, los módulos pueden ser bastante más complicados que los espacios vectoriales; por ejemplo, no todos los módulos tienen una base, e incluso aquellos que la tienen, los módulos libres, no necesitan tener un rango único si el anillo subyacente no satisface la condición del número de base invariable, a diferencia de los espacios vectoriales, que siempre tienen un (posiblemente infinito) base cuya cardinalidad es entonces única. (Estas dos últimas afirmaciones requieren el axioma de elección en general, pero no en el caso de espacios de dimensión finita, o ciertos espacios de dimensión infinita que se comportan bien, como los espacios Lp).

Definición formal

Supongamos que R es un anillo y 1 es su identidad multiplicativa. Un módulo R izquierdo M consta de un grupo abeliano (M, +) y una operación ·: R × M → M tal que para todo r, s en R y x, y en M, tenemos

$rcdot (x+y)=rcdot x+rcdot y$
$(r+s)cdot x=rcdot x+scdot x$
$(rs)cdot x=rcdot (scdot x)$
${displaystyle 1cdot x=x.}$

La operación · se llama multiplicación escalar. A menudo se omite el símbolo ·, pero en este artículo lo usamos y reservamos la yuxtaposición para la multiplicación en R. Uno puede escribir _RM para enfatizar que M es un módulo R izquierdo. Un derecho R-módulo M_R se define de manera similar en términos de una operación ·: M × R → M.

Los autores que no requieren que los anillos sean unitarios omiten la condición 4 en la definición anterior; llamarían a las estructuras definidas anteriormente "módulos unitales R izquierdos". En este artículo, de acuerdo con el glosario de teoría de anillos, se supone que todos los anillos y módulos son unitarios.

Un bimódulo (R,S) es un grupo abeliano junto con una multiplicación escalar izquierda · por elementos de R y un multiplicación escalar derecha ∗ por elementos de S, convirtiéndolo simultáneamente en un módulo R izquierdo y un módulo S derecho, satisfaciendo la condición adicional (r · x) ∗ s = r ⋅ (x ∗ s) para todo r en R, x en M, y s en S.

Si R es conmutativo, entonces los módulos R izquierdos son los mismos que los módulos R derechos y simplemente se llaman R -módulos.

Ejemplos

Si K es un campo, entonces K- espacios de vehículos (espacios de vehículos sobre K) y K- Los horarios son idénticos.
Si K es un campo, y K[xUn anillo polinomio univariable, luego un modelo K[x] M es un K-módulo con una acción adicional x on M que concuerda con la acción de K on M. En otras palabras, un K[xEl módulo es un K- Espacio de vehículos M combinado con un mapa lineal desde M a M. Aplicar el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal a este ejemplo muestra la existencia de formas canónicas racionales y jordanas.
El concepto de un Z- El módulo está de acuerdo con la noción de un grupo abeliano. Es decir, cada grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de enteros Z de una manera única. Para n ■ 0, vamos n ⋅ x = x + x +... + x ()n Summands), 0 ⋅ x = 0, y () -n) ⋅ x = −n ⋅ x). Este módulo no necesita una base; no hay grupos que contengan elementos de torsión. (Por ejemplo, en el grupo de enteros modulo 3, uno no puede encontrar ni siquiera un elemento que satisface la definición de un conjunto linealmente independiente ya que cuando un entero como 3 o 6 multiplica un elemento, el resultado es 0. Sin embargo, si un campo finito es considerado como un módulo sobre el mismo campo finito tomado como un anillo, es un espacio vectorial y tiene una base.)
Las fracciones decimales (incluyendo las negativas) forman un módulo sobre los enteros. Sólo los singletons son conjuntos linealmente independientes, pero no hay un singleton que pueda servir como base, por lo que el módulo no tiene base ni rango.
Si R es cualquier anillo y n un número natural, entonces el producto cartesiano Rⁿ es a la izquierda y a la derecha R- Mobiliario. R si utilizamos las operaciones basadas en componentes. De ahí cuando n = 1, R es un R-módulo, donde la multiplicación del escalar es sólo la multiplicación del anillo. El caso n = 0 cede el trivial R-module {0} que consiste sólo en su elemento de identidad. Los módulos de este tipo se llaman libres y si R tiene número de base invariable (por ejemplo, cualquier anillo conmutativo o campo) el número n es entonces el rango del módulo libre.
Si M_n()R) es el anillo de n×n matrices sobre un anillo R, M es un M_n()R. e_i es n × n matriz con 1 en el ()i, i)-entrada (y ceros en otros lugares), entonces e_iM es un R- Buque, desde re_im = e_irm ▪ e_iM. Así que... M rompe como la suma directa R-módulos, M = e₁M ⊕ e_nM. Por el contrario, dada una R- Mobiliario M₀, entonces M₀^⊕n es un M_n()RMomento. De hecho, la categoría de R-modules y la categoría de M_n()RLos horarios son equivalentes. El caso especial es que el módulo M es sólo R como un módulo sobre sí mismo, entonces Rⁿ es un M_n()RMomento.
Si S es un conjunto no vacío, M es una izquierda R- Mobiliario y M^S es la colección de todas las funciones f: S → M, entonces con la adición y la multiplicación del escalar en M^S punto definido por ()f + g)s) f()s) + g()s) y ()rf)s) rf()s), M^S es una izquierda R- Bien. La derecha R- El caso del módulo es análogo. En particular, si R es conmutativo entonces la colección de Homomorfismos R-module h: M → N (véase más adelante) R- Mobiliario (y de hecho un submodule de N^M).
Si X es un andamio suave, luego las funciones suaves de X a los números reales forman un anillo C^JUEGO()X). El conjunto de todos los campos vectoriales lisos definidos en X formar un módulo sobre C^JUEGO()X), y también los campos de tensor y las formas diferenciales en X. Más generalmente, las secciones de cualquier paquete vectorial forman un módulo de proyecto sobre C^JUEGO()X), y por el teorema de Swan, cada módulo de proyecto es isomorfo al módulo de secciones de algún paquete; la categoría de C^JUEGO()X)-modules y la categoría de paquetes vectoriales sobre X son equivalentes.
Si R es cualquier anillo y I es cualquier ideal izquierdo en R, entonces I es una izquierda R-modulo, e ideales analógicamente correctos en R Tienes razón. R-módulos.
Si R es un anillo, podemos definir el anillo opuesto R^operaciones que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma operación de adición, pero la multiplicación opuesta: si ab = c dentro R, entonces ba = c dentro R^operaciones. Cualquier izquierda R- Mobiliario M puede ser visto como derecho módulo sobre R^operaciones, y cualquier módulo derecho sobre R puede considerarse un módulo izquierdo sobre R^operaciones.
Los módulos sobre el álgebra de Lie son (álgebra asociativa) módulos sobre su álgebra universal envolviendo.
Si R y S son anillos con un homomorfismo anillo φ: R → S, entonces cada S- Mobiliario M es un R-modulo definiendo rm = φ()r)m. En particular, S en sí mismo es tal R- Bien.

Submódulos y homomorfismos

Suponga que M es un módulo R izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo (o más explícitamente un R-submódulo) si para cualquier n en N y cualquier r en R, el producto r ⋅ n (o n ⋅ r para un módulo derecho R) está en N.

Si X es cualquier subconjunto de un R- Mobiliario M, entonces el submodulo abarcado por X se define como ${textstyle langle Xrangle =,bigcap _{Nsupseteq X}N}$ Donde N corre sobre los submódulos M que contienen X, o explícitamente ${textstyle left{sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}mid r_{i}in R,x_{i}in Xright}}$ , que es importante en la definición de productos tensores.

El conjunto de submódulos de un módulo dado M, junto con las dos operaciones binarias + y ∩, forman una red que cumple la ley modular: Dados los submódulos U, N₁, N₂ de M tal que N₁ ⊂ N₂, entonces los siguientes dos submódulos son iguales: (N₁ + U) ∩ N₂ = N₁ + (U ∩ N₂).

Si M y N son módulos R, entonces un mapa f: M → N es un homomorfismo de módulos R si para cualquier m, n en M y r, s en R,

f(rcdot m+scdot n)=rcdot f(m)+scdot f(n)

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es solo un mapeo que preserva la estructura de los objetos. Otro nombre para un homomorfismo de módulos R es un mapa lineal R.

Un homomorfismo de módulo biyectivo f: M → N se denomina isomorfismo de módulo, y los dos módulos M y N se denominan isomorfos. Dos módulos isomorfos son idénticos a todos los efectos prácticos, y se diferencian únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo del homomorfismo de un módulo f: M → N es el submódulo de M que consta de todos los elementos que son enviados a cero por f, y la imagen de f es el submódulo de N que consta de valores f(m) para todos los elementos m de M. Los teoremas de isomorfismo familiares de grupos y espacios vectoriales también son válidos para módulos R.

Dado un anillo R, el conjunto de todos los módulos R izquierdos junto con sus homomorfismos de módulos forman una categoría abeliana, denotada por R -Mod (ver categoría de módulos).

Tipos de módulos

Generado finito: An R- Mobiliario M se genera finitamente si existen finitamente muchos elementos x₁,... x_n dentro M tal que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes del anillo R.
Cyclic: Un módulo se llama módulo cíclico si se genera por un elemento.
Gratis: Un R-module gratuito es un módulo que tiene una base, o equivalente, uno que es isomorfo a una suma directa de copias del anillo R. Estos son los módulos que se comportan mucho como espacios vectoriales.
Projective: Los módulos de proyecto son complementos directos de módulos gratuitos y comparten muchas de sus propiedades deseables.
Inyección: Los módulos inyectables se definen de forma dual a los módulos de proyecto.
Piso: Un módulo se llama plano si toma el producto tensor de él con cualquier secuencia exacta R- los nódulos conservan la exactitud.
Torsionless: Un módulo se llama sin torsión si se incrusta en su dual algebraico.
Simple: Un módulo sencillo S es un módulo que no es {0} y cuyos únicos submódulos son {0} y S. A veces se llaman módulos simples irreducible.
Semisimple: Un módulo semisimple es una suma directa (finita o no) de módulos simples. Históricamente estos módulos también se llaman completamente reducible.
Indecomposible: Un módulo indecomponible es un módulo no cero que no puede ser escrito como una suma directa de dos submódulos no cero. Cada módulo simple es indecomposible, pero hay módulos indecomposibles que no son simples (por ejemplo, módulos uniformes).
Fieles: Un módulo fiel M es uno donde la acción de cada uno r ل 0 dentro R on M no estrivial (es decir, r ⋅ x ل 0 para algunos x dentro M). Equivalentemente, el aniquilador de M es el cero ideal.
Libre de torsión: Un módulo sin torsión es un módulo sobre un anillo de tal manera que 0 es el único elemento aniquilado por un elemento regular (no cero-divisor) del anillo, equivalentemente rm = 0 implicación r = 0 o m = 0.
Noetherian: Un módulo de Noetherian es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en los submodules, es decir, cada creciente cadena de submodules se vuelve estacionaria después de finitamente muchos pasos. Equivalentemente, cada submodulo se genera finitamente.
Artinian: Un módulo Artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en los submódulos, es decir, cada cadena decreciente de los submódulos se vuelve estacionaria después de finitamente muchos pasos.
Grado: Un módulo de grado es un módulo con una descomposición como suma directa M = ⨁_x M_x sobre un anillo de grado R = ⨁_x R_x tales que R_xM_Sí. ⊂ M_x+Sí. para todos x y Sí..
Uniforme uniforme: Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submodules no cero tienen intersección no cero.

Otras nociones

Relación con la teoría de la representación

Una representación de un grupo G sobre un campo k es un módulo sobre el anillo de grupo k[G].

Si M es un módulo R izquierdo, entonces la acción de un elemento r en R se define como el mapa M → M que envía cada x a rx (o xr en el caso de un módulo derecho), y es necesariamente un endomorfismo de grupo del grupo abeliano (M, +). El conjunto de todos los endomorfismos de grupo de M se denota End_Z(M) y forma un anillo bajo la suma y composición, y enviar un elemento de anillo r de R a su acción en realidad define un homomorfismo de anillo de R a End_Z(M).

Este homomorfismo de anillos R → End_Z(M) se llama una representación de R sobre el grupo abeliano M; una forma alternativa y equivalente de definir módulos R izquierdos es decir que un módulo R izquierdo es un grupo abeliano M junto con una representación de R sobre él. Tal representación R → End_Z(M) también se puede llamar una acción de anillo de R en M.

Una representación se llama fiel si y solo si el mapa R → End_Z(M) es inyectivo. En términos de módulos, esto significa que si r es un elemento de R tal que rx = 0 para todas las x en M, luego r = 0. Todo grupo abeliano es un módulo fiel sobre los enteros o sobre algún anillo de enteros módulo n, Z/nZ.

Generalizaciones

Un anillo R corresponde a una categoría preaditiva R con un solo objeto. Con este entendimiento, un módulo R izquierdo es solo un funtor aditivo covariante de R a la categoría Ab de grupos abelianos, y un R derecho- Los módulos son funtores aditivos contravariantes. Esto sugiere que, si C es una categoría preaditiva, un funtor aditivo covariante de C a Ab debería considerarse un módulo izquierdo generalizado sobre C. Estos funtores forman una categoría de funtores C-Mod que es la generalización natural de la categoría de módulos R-Mod.

Los módulos sobre anillos conmutativos se pueden generalizar en una dirección diferente: tome un espacio anillado (X, O_X) y considere los haces de O_X-módulos (ver haces de módulos). Estos forman una categoría O_X-Mod, y juegan un papel importante en la geometría algebraica moderna. Si X tiene solo un punto, entonces esta es una categoría de módulo en el sentido antiguo sobre el anillo conmutativo O_X(X ).

También se pueden considerar módulos sobre un semiring. Los módulos sobre anillos son grupos abelianos, pero los módulos sobre semianillos son solo monoides conmutativos. La mayoría de las aplicaciones de los módulos todavía son posibles. En particular, para cualquier semiring S, las matrices sobre S forman un semiring sobre el cual las tuplas de elementos de S son un módulo (en este sentido generalizado solamente). Esto permite una mayor generalización del concepto de espacio vectorial incorporando los semianillos de la informática teórica.

Sobre los anillos cercanos, uno puede considerar los módulos de anillos cercanos, una generalización no abeliana de los módulos.

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