Módulo generado finitamente

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En álgebra, módulo con un conjunto de generación finito

En matemáticas, un módulo generado finitamente es un módulo que tiene un conjunto generador finito. Un módulo generado finitamente sobre un anillo R también puede llamarse módulo finito R, finito sobre R, o un módulo de tipo finito.

Los conceptos relacionados incluyen módulos finitamente cogenerados, módulos finitamente presentados, módulos finitamente relacionados y módulos coherentes todos que se definen a continuación. Sobre un anillo noetheriano coinciden los conceptos de módulos finitamente generados, finitamente presentados y coherentes.

Un módulo generado finitamente sobre un campo es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita, y un módulo generado finitamente sobre los enteros es simplemente un grupo abeliano generado finitamente.

Definición

El módulo izquierdo R M se genera finitamente si existe a₁, a ₂,..., a_n en M tal que para cualquier x en M, existe r₁, r₂,..., r_n en R con x = r₁a₁ + r₂a₂ +... + r_na _n.

El conjunto {a₁, a₂,..., a_n} se denomina conjunto generador de M en este caso. Un conjunto generador finito no necesita ser una base, ya que no necesita ser linealmente independiente sobre R. Lo que es cierto es: M se genera finitamente si y solo si hay un mapa R-lineal sobreyectivo:

R^{n}to M

para algún n (M es un cociente de un módulo libre de rango finito).

Si un conjunto S genera un módulo que se genera finitamente, entonces hay un conjunto de generación finito que se incluye en S, ya que sólo finitamente muchos elementos en S son necesarios para expresar cualquier conjunto generador finito, y estos elementos finitos forman un conjunto generador. Sin embargo, puede ocurrir que S no contiene ningún conjunto finito de generación de cardenalidad mínima. Por ejemplo, el conjunto de los números primos es un conjunto generador de $mathbb {Z}$ considerados $mathbb {Z}$ -módulo, y un conjunto generador formado de números primos tiene al menos dos elementos, mientras que el singleton ${1}$ es también un conjunto generador.

En el caso donde el módulo M es un espacio vectorial sobre un campo R, y el grupo electrógeno es linealmente independiente, n es bien definido y se conoce como la dimensión de M (bien definido significa que cualquier grupo electrógeno linealmente independiente tiene n elementos: este es el teorema de la dimensión para espacios vectoriales).

Cualquier módulo es la unión del conjunto dirigido de sus submódulos finitamente generados.

Un módulo M se genera finitamente si y solo si cualquier cadena creciente M_i de submódulos con unión M estabiliza: es decir, hay alguna i tal que M_i = M. Este hecho con el lema de Zorn implica que todo módulo generado finitamente distinto de cero admite submódulos máximos. Si cualquier cadena creciente de submódulos se estabiliza (es decir, cualquier submódulo se genera finitamente), entonces el módulo M se denomina módulo noetheriano.

Ejemplos

Si un módulo es generado por un elemento, se llama módulo cíclico.
Vamos R ser un dominio integral con K su campo de fracciones. Entonces cada finitamente generado R- Submodulo I de K es un ideal fraccional: es decir, hay algunos no cero r dentro R tales que rI figura en R. De hecho, uno puede tomar r para ser el producto de los denominadores de los generadores de I. Si R es Noetherian, entonces cada ideal fraccional surge de esta manera.
Módulos generados finitamente sobre el anillo de enteros Z coinciden con los grupos abelianos de generación finita. Estos son completamente clasificados por el teorema de la estructura, tomando Z como el dominio ideal principal.
Los módulos finitos generados (por ejemplo izquierda) sobre un anillo de división son precisamente espacios vectoriales finitos (sobre el anillo de división).

Algunos hechos

Cada imagen homomórfica de un módulo generado finitamente se genera finitamente. En general, los submódulos de módulos generados finitamente no necesitan generarse finitamente. Como ejemplo, considere el anillo R = Z[X₁, X ₂,...] de todos los polinomios en muchas variables contables. R en sí mismo es un módulo R generado finitamente (con {1} como conjunto generador). Considere el submódulo K que consta de todos esos polinomios con término constante cero. Dado que cada polinomio contiene solo un número finito de términos cuyos coeficientes no son cero, el módulo R K no se genera de forma finita.

En general, se dice que un módulo es noetheriano si cada submódulo se genera finitamente. Un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano es un módulo noetheriano (y de hecho esta propiedad caracteriza a los anillos noetherianos): un módulo sobre un anillo noetheriano se genera finitamente si y solo si es un módulo noetheriano. Esto se parece, pero no es exactamente, al teorema de la base de Hilbert, que establece que el anillo polinomial R[X] sobre un anillo noetheriano R es noetheriano. Ambos hechos implican que un álgebra conmutativa generada finitamente sobre un anillo noetheriano es nuevamente un anillo noetheriano.

De manera más general, un álgebra (por ejemplo, un anillo) que es un módulo generado finitamente es un álgebra generada finitamente. Por el contrario, si un álgebra generada finitamente es integral (sobre el anillo de coeficientes), entonces es un módulo generado finitamente. (Ver elemento integral para más.)

Sea 0 → M′ → M → M′′ → 0 una secuencia exacta de módulos. Entonces M se genera finitamente si M′, M''′ se generan finitamente. Hay algunos contrarios parciales a esto. Si M se genera finitamente y M'' se presenta finitamente (que es más fuerte que lo generado finitamente; ver más abajo), entonces M′ es finitamente generado. Además, M es noetheriano (resp. artiniano) si y solo si M′, M′′ son noetherianos (resp. artiniano).

Sea B un anillo y A su subanillo tal que B sea fielmente plano derecho A- módulo. Entonces, un módulo A izquierdo F se genera finitamente (resp. presentado finitamente) si y solo si el módulo B B ⊗_A F se genera de forma finita (resp. se presenta de forma finita).

Módulos generados finitamente sobre un anillo conmutativo

Para módulos generados finitamente sobre un anillo conmutativo R, el lema de Nakayama es fundamental. A veces, el lema permite probar fenómenos de espacios vectoriales de dimensión finita para módulos generados finitamente. Por ejemplo, si f: M → M es un endomorfismo sobreyectivo R de un módulo finitamente generado M, entonces f también es inyectiva, y por lo tanto es un automorfismo de M. Esto dice simplemente que M es un módulo hopfiano. De manera similar, un módulo artiniano M es coHopfiano: cualquier endomorfismo inyectivo f es también un endomorfismo sobreyectivo.

Cualquier módulo R es un límite inductivo de submódulos R generados finitamente. Esto es útil para debilitar una suposición al caso finito (por ejemplo, la caracterización de la planitud con el funtor Tor).

Un ejemplo de un vínculo entre la generación finita y los elementos integrales se puede encontrar en álgebras conmutativas. Decir que un álgebra conmutativa A es un anillo generado finitamente sobre R significa que existe un conjunto de elementos G = {x₁,..., x_n} de A tal que el subanillo más pequeño de A que contiene G y R es A en sí mismo. Debido a que el producto de anillo se puede usar para combinar elementos, se generan más que solo combinaciones R-lineales de elementos de G. Por ejemplo, un anillo polinomial R[x] es generado finitamente por {1, x} como un anillo, pero no como un módulo. Si A es un álgebra conmutativa (con unidad) sobre R, entonces las siguientes dos declaraciones son equivalentes:

A es un generador finito R módulo.
A es un anillo generado finitamente sobre R y una extensión integral R.

Clasificación genérica

Vamos M ser un módulo generado finitamente sobre un dominio integral A con el campo de las fracciones K. Entonces la dimensión $operatorname {dim}_{K}(Motimes _{A}K)$ se llama rango genérico de M sobre A. Este número es el mismo que el número de maximal A- vectores linealmente independientes en M o equivalentemente el rango de un submodulo libre maximal M ()cf. Rank of an abelian group). Desde $(M/F)_{{(0)}}=M_{{(0)}}/F_{{(0)}}=0$ , $M/F$ es un módulo de torsión. Cuando A es Noetherian, por la libertad genérica, hay un elemento f (dependiendo de M. $M[f^{{-1}}]$ es gratis $A[f^{{-1}}]$ - Bien. Entonces el rango de este módulo libre es el rango genérico de M.

Ahora supongamos que el dominio integral A se genera como álgebra sobre un campo k por finitamente muchos elementos homogéneos de grados $d_{i}$ . Suppose M se clasifica también y se deja ${displaystyle P_{M}(t)=sum (operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$ ser la serie Poincaré de M. Por el teorema de Hilbert-Serre, hay un polinomio F tales que $P_{M}(t)=F(t)prod (1-t^{{d_{i}}})^{{-1}}$ . Entonces... $F(1)$ es el rango genérico M.

Un módulo generado finitamente sobre un dominio ideal principal es libre de torsión si y sólo si es libre. Esta es una consecuencia del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal, cuya forma básica dice que un módulo generado finitamente sobre un PID es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo gratuito. Pero también se puede mostrar directamente como sigue: M ser un módulo de generación finita sin torsión sobre un PID A y F un submodulo máximo gratis. Vamos f estar en A tales que $fMsubset F$ . Entonces... $fM$ es gratis ya que es un submodulo de un módulo libre y A es un PID. Pero ahora $f:Mto fM$ es un isomorfismo desde M es libre de torsión.

Con el mismo argumento anterior, un módulo generado finitamente sobre un dominio de Dedekind A (o más generalmente un anillo semi-hereditario) está libre de torsión si y solo si es proyectivo; en consecuencia, un módulo finitamente generado sobre A es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo proyectivo. Un módulo proyectivo generado finitamente sobre un dominio integral noetheriano tiene un rango constante, por lo que el rango genérico de un módulo generado finitamente sobre A es el rango de su parte proyectiva.

Definiciones equivalentes y módulos cogenerados finitamente

Las siguientes condiciones son equivalentes a que M se genere finitamente (p. ej.):

Para cualquier familia de submódulos {N_i Silencio i ▪ I. M, si $sum _{{iin I}}N_{i}=M,$ , entonces $sum _{{iin F}}N_{i}=M,$ para un subconjunto finito F de I.
Para cualquier cadena de submódulos {N_i Silencio i ▪ I. M, si $bigcup _{{iin I}}N_{i}=M,$ , entonces N_i = M para algunos i dentro I.
Si $phi:bigoplus _{{iin I}}Rto M,$ es un epimorfismo, entonces la restricción $phi:bigoplus _{{iin F}}Rto M,$ es un epimorfismo para un subconjunto finito F de I.

De estas condiciones es fácil ver que ser finitamente generado es una propiedad preservada por la equivalencia de Morita. Las condiciones también son convenientes para definir una noción dual de un módulo finitamente cogenerado M. Las siguientes condiciones son equivalentes a un módulo cogenerado finitamente (f.cog.):

Para cualquier familia de submódulos {N_i Silencio i ▪ I. M, si $bigcap _{{iin I}}N_{i}={0},$ , entonces $bigcap _{{iin F}}N_{i}={0},$ para un subconjunto finito F de I.
Para cualquier cadena de submódulos {N_i Silencio i ▪ I. M, si $bigcap _{{iin I}}N_{i}={0},$ , entonces N_i Para algunos i dentro I.
Si ${displaystyle phi:Mto prod _{iin I}N_{i},}$ es un monomorfismo, donde cada $N_{i}$ es un R módulo, entonces ${displaystyle phi:Mto prod _{iin F}N_{i},}$ es un monomorfismo para un subconjunto finito F de I.

Tanto f.g. módulos y f.cog. Los módulos tienen relaciones interesantes con los módulos de Noether y Artinian, y el radical de Jacobson J(M) y socle soc(M) de un módulo. Los siguientes hechos ilustran la dualidad entre las dos condiciones. Para un módulo M:

M es Noetherian si y sólo si cada submodulo N de M es F.g.
M es Artinian si y sólo si cada módulo de cociente M/N F.cog.
M si y sólo si J()M) es un submodulo superfluo de M, y M/J()M) es f.g.
M F.cog. si y sólo si es asíM) es un submodulo esencial M, y soc(M) es f.g.
Si M es un módulo semisimple (como soc(N) para cualquier módulo N), es f.g. si y sólo si f.cog.
Si M es f.g. y no cero, entonces M tiene un submodulo máximo y cualquier módulo de cociente M/N es F.g.
Si M F.cog. y no cero, entonces M tiene un submodulo mínimo, y cualquier submodulo N de M F.cog.
Si N y M/N son f.g. entonces así es M. Lo mismo es cierto si "f.g." es reemplazado por "f.cog".

Los módulos de cogeneración finita deben tener una dimensión uniforme finita. Esto se ve fácilmente aplicando la caracterización utilizando el zócalo esencial generado finitamente. De forma un tanto asimétrica, los módulos generados finitamente no tienen necesariamente una dimensión uniforme finita. Por ejemplo, un producto directo infinito de anillos distintos de cero es un módulo generado finitamente (¡cíclico!) sobre sí mismo, sin embargo, claramente contiene una suma directa infinita de submódulos distintos de cero. Los módulos generados finitamente no necesariamente tienen una dimensión co-uniforme finita tampoco: cualquier anillo R con unidad tal que R/J(R) no es un anillo semisimple es un contraejemplo.

Módulos finamente presentados, finitamente relacionados y coherentes

Otra formulación es esta: un módulo generado de forma finita M es aquel para el cual existe un epimorfismo que asigna R^k a M :

f R^k → M.

Supongamos ahora que hay un epimorfismo,

φ: F → M.

para un módulo M y módulo libre F.

Si el núcleo de φ se genera finitamente, entonces M se llama módulo finito. Desde M es isomorfo a F/ker(φ), esto básicamente expresa que M se obtiene tomando un módulo gratuito e introduciendo finitamente muchas relaciones dentro F (los generadores de ker(φ)).
Si el núcleo de φ se genera finitamente y F tiene rango finito (es decir, F = R^k), entonces M se dice que es un módulo presentado finito. Aquí, M se especifica utilizando finitamente muchos generadores (las imágenes de los k generadores de F = R^k) y finitamente muchas relaciones (los generadores de ker(φ)). Vea también: presentación gratuita. Los módulos presentados finamente pueden caracterizarse por una propiedad abstracta dentro de la categoría de R-modules: son precisamente los objetos compactos en esta categoría.
A módulo coherente M es un módulo de generación finita cuyos submódulos generados finitamente se presentan finitamente.

Sobre cualquier anillo R, los módulos coherentes se presentan finitamente, y los módulos presentados finitamente se generan y relacionan finitamente. Para un anillo noetheriano R, finitamente generado, finitamente presentado y coherente son condiciones equivalentes en un módulo.

Algunos cruces ocurren para módulos proyectivos o planos. Un módulo proyectivo generado finitamente se presenta finitamente, y un módulo plano relacionado finitamente es proyectivo.

También es cierto que las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R:

R es un anillo coherente adecuado.
El módulo R_R es un módulo coherente.
Cada derecho finitamente presentado R El módulo es coherente.

Aunque la coherencia parece una condición más engorrosa que los módulos finitamente generados o finitamente presentados, es mejor que ellos ya que la categoría de módulos coherentes es una categoría abeliana, mientras que, en general, ni los módulos finitamente generados ni presentados finitamente forman una categoría abeliana.

Libros de texto

Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., pp. ix+128, MR 0242802
Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa. Capítulos 1--7 Traducido del francés. Reimpresión de la traducción al inglés de 1989, Elementos de Matemáticas, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021
Lam, T. Y. (1999), Conferencias sobre módulos y anillos, Textos de Graduación en Matemáticas No 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
Lang, Serge (1997), Álgebra (3a ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0
Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo transmutante, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Translated from the Japanese by M. Reid (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+320, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011461
Springer, Tonny A. (1977), Teoría invariable, Notas de conferencias en matemáticas, vol. 585, Springer, doi:10.1007/BFb0095644, ISBN 978-3-540-08242-2.

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