Módulo de volumen

El módulo de vracs ()${displaystyle K}$ o ${displaystyle B}$ o ${displaystyle k}$) de una sustancia es una medida de la resistencia de una sustancia a la compresión a granel. Se define como la relación del aumento de presión infinitesimal con el resultado relativo disminución del volumen.

Otros módulos describen la respuesta (deformación) del material a otros tipos de tensión: el módulo de corte describe la respuesta a la tensión de corte y el módulo de Young describe la respuesta a la tensión normal (estiramiento longitudinal). Para un fluido, sólo el módulo volumétrico es significativo. Para un sólido anisotrópico complejo como la madera o el papel, estos tres módulos no contienen suficiente información para describir su comportamiento, y se debe utilizar la ley de Hooke generalizada completa. El recíproco del módulo volumétrico a temperatura fija se llama compresibilidad isotérmica.

Definición

El módulo de vracs ${displaystyle K}$ (que suele ser positivo) se puede definir formalmente por la ecuación

${displaystyle K=-V{frac {dP}{dV},}$

Donde ${displaystyle P}$ es presión, ${displaystyle V}$ es el volumen inicial de la sustancia, y ${displaystyle dP/dV}$ denota el derivado de la presión con respecto al volumen. Puesto que el volumen es inversamente proporcional a la densidad, sigue que

${displaystyle K=rho {frac {dP}{drho }}}$

Donde ${displaystyle rho }$ es la densidad inicial y ${displaystyle dP/drho}$ denota el derivado de la presión con respecto a la densidad. El inverso del módulo de vracs da la compresión de una sustancia. Generalmente el módulo de vracs se define a temperatura constante como el módulo de vracs isotérmicos, pero también se puede definir entropía constante como el módulo de vracs adiabático.

Relación termodinámica

En sentido estricto, el módulo de vracs es una cantidad termodinámica, y para especificar un módulo de vracs es necesario especificar cómo la presión varía durante la compresión: temperatura constante (esotérmica) ${displaystyle K_{T}$), constante-entropía (isentropic ${displaystyle K_{S}$), y otras variaciones son posibles. Esas distinciones son especialmente pertinentes para los gases.

Para un gas ideal, un proceso isentrópico tiene:

${displaystyle PV^{gamma "Rightarrow" Ppropto left({frac Bueno...$

Donde ${displaystyle gamma }$ es la relación de capacidad de calor. Por lo tanto, el módulo de vracs istrópicos ${displaystyle K_{S}$ es dado por

${displaystyle K_{S}=gamma P.}$

Del mismo modo, un proceso isotérmico de un gas ideal tiene:

${displaystyle PV={text{constant}Rightarrow Ppropto {frac {1}{V}propto rho}$

Por lo tanto, el módulo de vracs isotérmicos ${displaystyle K_{T}$ es dado por

${displaystyle K_{T}=P}$.

Cuando el gas no es ideal, estas ecuaciones sólo dan una aproximación del módulo de vracs. En un líquido, el módulo de vracs ${displaystyle K}$ y la densidad ${displaystyle rho }$ determinar la velocidad del sonido ${displaystyle c}$ (ondas de presión), según la fórmula Newton-Laplace

${fnMicroc} {K}{rho }}}$

En sólidos, ${displaystyle K_{S}$ y ${displaystyle K_{T}$ tienen valores muy similares. Los sólidos también pueden sostener ondas transversales: para estos materiales se necesita un módulo elástico adicional, por ejemplo, el módulo de corte, para determinar las velocidades de onda.

Medición

Es posible medir el módulo volumétrico mediante difracción de polvo bajo presión aplicada. Es una propiedad de un fluido que muestra su capacidad de cambiar su volumen bajo su presión.

Valores seleccionados

Un material con un módulo a granel de 35 GPa pierde un porcentaje de su volumen cuando se somete a una presión externa de 0.35 GPa (~3500 bar) (supuesta constante o débilmente presión módulo de vracs dependiente).

Origen microscópico

Potencial interatómico y elasticidad lineal

Dado que la elasticidad lineal es un resultado directo de la interacción interatómica, está relacionada con la extensión/compresión de los enlaces. Luego puede derivarse del potencial interatómico de materiales cristalinos. Primero, examinemos la energía potencial de dos átomos que interactúan. Partiendo de puntos muy lejanos, sentirán una atracción mutua. A medida que se acerquen, su energía potencial disminuirá. Por otro lado, cuando dos átomos están muy cerca uno del otro, su energía total será muy alta debido a la interacción repulsiva. Juntos, estos potenciales garantizan una distancia interatómica que logra un estado energético mínimo. Esto ocurre a cierta distancia a₀, donde la fuerza total es cero:

${displaystyle F=-{partial U over partial r}=0}$

Donde U es el potencial interatómico y r es la distancia interatómica. Esto significa que los átomos están en equilibrio.

Para extender el enfoque de dos átomos al sólido, considere un modelo simple, digamos, una matriz 1-D de un elemento con una distancia interatómica de a, y la distancia de equilibrio es a₀ . Su relación energía potencial-distancia interatómica tiene una forma similar a la del caso de los dos átomos, que alcanza el mínimo en a₀. La expansión de Taylor para esto es:

${displaystyle u(a)=u(a_{0})+left({partial u over partial r}right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1over 2}left({partial ^{2} over partial partial partial over partial partial over ¿Qué?$

En equilibrio, la primera derivada es 0, por lo que el término dominante es el cuadrático. Cuando el desplazamiento es pequeño, se deben omitir los términos de orden superior. La expresión queda:

${displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1over 2}left({partial ^{2} over partial ¿Qué?$

${displaystyle F(a)=-{partial u over partial r}=left({partial ^{2} over partial r^{2}}uright)_{r=a_{0}(a-a-a_{0}}}}$

Que es claramente elasticidad lineal.

Tenga en cuenta que la derivación se realiza considerando dos átomos vecinos, por lo que el coeficiente de Hook es:

${displaystyle K=a_{0}{d F over dr}=a_{0}left({partial ^{2} over partial ¿Qué?$

Esta forma se puede extender fácilmente al caso tridimensional, con volumen por átomo (Ω) en lugar de distancia interatómica.

${displaystyle K=Omega _{0}left({partial ^{2} over partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ Omega - Sí.$

Relación con el radio atómico

Como se dedujo anteriormente, el módulo volumétrico está directamente relacionado con el potencial interatómico y el volumen por átomo. Podemos evaluar más a fondo el potencial interatómico para conectar K con otras propiedades. Por lo general, el potencial del par interatómico se puede expresar como una función de la distancia que tiene dos términos, un término para atracción y otro término para repulsión. Por ejemplo,

${displaystyle U=-Ar^{-n}+ Br.$

donde el término que involucra a A representa el término de atracción y el término B representa la repulsión. A y B se eligen como positivos y n y m suelen ser números enteros, siendo m suele ser mayor que n debido a la naturaleza de corto alcance de la repulsión. En la posición de equilibrio, u está en su mínimo y por lo tanto la primera derivada es 0. Tenemos

${displaystyle left({partial u over partial r}right)_{r_{0}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0}$

${displaystyle {Bover A}={nover ¿Qué?$

${displaystyle u=-Ar^{-n}left(1-{B over A}r^{n-m}right)=-Ar^{-n}left(1-{n over ¿Qué?$

cuando r está cerca, recuerda que n (normalmente de 1 a 6) es menor que m (normalmente de 9 a 12), ignora el segundo término, evalúa la segunda derivada

${displaystyle left({partial ^{2} over partial {fnMicrosoft Sans Serif}$

Recuerde la relación entre r y Ω

${displaystyle Omega ={4pi over 3}r^{3}}$

${displaystyle left {partial ^{2} over partial Omega ^{2}uright)=left({partial ^{2} over partial r^{2}uright)left({partial rover partial Omega }right){2}{2}=left Omega {4} {3}}}}$

${displaystyle K=Omega _{0}left({partial ^{2}u over partial r^{2}right)_{2} Omega =Omega _{0}propto ¿Qué?$

En muchos casos, como en metal o material iónico, la fuerza de atracción es electrostática, por lo que n = 1, tenemos

${displaystyle Kpropto ¿Qué?$

Esto se aplica a átomos con naturaleza de enlace similar. Esta relación se verifica en los metales alcalinos y en muchos compuestos iónicos.