Modo normal

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Un modo normal de un sistema oscilante es un patrón de movimiento en el que todas las partes del sistema se mueven sinusoidalmente con la misma frecuencia y con una relación de fase fija. El movimiento libre descrito por los modos normales tiene lugar a frecuencias fijas. Estas frecuencias fijas de los modos normales de un sistema se conocen como sus frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Un objeto físico, como un edificio, un puente o una molécula, tiene un conjunto de modos normales y sus frecuencias naturales que dependen de su estructura, materiales y condiciones de contorno. En música, los modos normales de vibración de los instrumentos (cuerdas, tubos de aire, tambores, etc.) se denominan "armónicos" o "sobretonos".

El movimiento más general de un sistema es una superposición de sus modos normales. Los modos son normales en el sentido de que pueden moverse independientemente, es decir que la excitación de un modo nunca provocará el movimiento de un modo diferente. En términos matemáticos, los modos normales son ortogonales entre sí.

Definiciones generales

Modo

En la teoría ondulatoria de la física y la ingeniería, un modo en un sistema dinámico es un estado de excitación de onda estacionaria, en el que todos los componentes del sistema se verán afectados sinusoidalmente a una frecuencia fija asociada con ese modo.

Debido a que ningún sistema real puede encajar perfectamente en el marco de la onda estacionaria, el concepto de modo se toma como una caracterización general de estados específicos de oscilación, tratando así el sistema dinámico de manera lineal, en la que se puede realizar una superposición lineal de estados.

Los ejemplos clásicos incluyen

En un sistema dinámico mecánico, una cuerda vibrante es el ejemplo más claro de un modo, en el que la cuerda es el medio, el esfuerzo sobre la cuerda es la excitación y el desplazamiento de la cuerda con respecto a su estado estático es el modal. variable.
En un sistema dinámico acústico, un solo tono de sonido es un modo, en el que el aire es el medio, la presión del sonido en el aire es la excitación y el desplazamiento de las moléculas de aire es la variable modal.
En un sistema dinámico estructural, un edificio de gran altura oscilando bajo su eje más flexionante es un modo, en el que todo el material del edificio -bajo las debidas simplificaciones numéricas- es el medio, las solicitaciones sísmicas/eólicas/ambientales son las excitaciones y los desplazamientos son la variable modal.
En un sistema dinámico eléctrico, una cavidad resonante hecha de paredes metálicas delgadas, que encierra un espacio hueco, para un acelerador de partículas es un sistema de onda estacionaria pura y, por lo tanto, un ejemplo de un modo en el que el espacio hueco de la cavidad es el medio., la fuente de RF (un Klystron u otra fuente de RF) es la excitación y el campo electromagnético es la variable modal.
Cuando se relaciona con la música, los modos normales de vibración de los instrumentos (cuerdas, tubos de aire, tambores, etc.) se denominan "armónicos" o "sobretonos".
El concepto de modos normales también encuentra aplicación en óptica, mecánica cuántica, dinámica atmosférica y dinámica molecular.

La mayoría de los sistemas dinámicos se pueden excitar en varios modos, posiblemente simultáneamente. Cada modo se caracteriza por una o varias frecuencias, según el campo de la variable modal. Por ejemplo, una cuerda que vibra en el espacio 2D se define por una sola frecuencia (desplazamiento axial 1D), pero una cuerda que vibra en el espacio 3D se define por dos frecuencias (desplazamiento axial 2D).

Para una amplitud dada en la variable modal, cada modo almacenará una cantidad específica de energía debido a la excitación sinusoidal.

El modo normal o dominante de un sistema con múltiples modos será el modo que almacene la cantidad mínima de energía para una amplitud dada de la variable modal o, de manera equivalente, para una cantidad de energía almacenada dada, el modo dominante será el modo que imponga la amplitud máxima de la variable modal.

Números de modo

Un modo de vibración se caracteriza por una frecuencia modal y una forma de modo. Se numera de acuerdo con el número de medias ondas en la vibración. Por ejemplo, si una viga vibrante con ambos extremos fijados mostrara una forma de modo de la mitad de una onda sinusoidal (un pico en la viga vibratoria), estaría vibrando en el modo 1. Si tuviera una onda sinusoidal completa (un pico y un valle) estaría vibrando en el modo 2.

En un sistema con dos o más dimensiones, como el disco ilustrado, a cada dimensión se le asigna un número de modo. Usando coordenadas polares, tenemos una coordenada radial y una coordenada angular. Si uno mide desde el centro hacia afuera a lo largo de la coordenada radial, encontraría una onda completa, por lo que el número de modo en la dirección radial es 2. La otra dirección es más complicada, porque solo se considera la mitad del disco debido a la antisimetría (también llamada simetría oblicua) naturaleza de la vibración de un disco en la dirección angular. Por lo tanto, al medir 180° a lo largo de la dirección angular, encontraría una media onda, por lo que el número de modo en la dirección angular es 1. Por lo tanto, el número de modo del sistema es 2–1 o 1–2, según la coordenada que se considere la "primero" y que se considera el "segundo"

En los sistemas lineales, cada modo es completamente independiente de todos los demás modos. En general, todos los modos tienen frecuencias diferentes (los modos más bajos tienen frecuencias más bajas) y formas de modo diferentes.

Nodos

En un sistema unidimensional en un modo dado, la vibración tendrá nodos o lugares donde el desplazamiento siempre es cero. Estos nodos corresponden a puntos en la forma del modo donde la forma del modo es cero. Dado que la vibración de un sistema viene dada por la forma modal multiplicada por una función de tiempo, el desplazamiento de los puntos de los nodos permanece cero en todo momento.

Cuando se expande a un sistema bidimensional, estos nodos se convierten en líneas donde el desplazamiento siempre es cero. Si observa la animación de arriba, verá dos círculos (uno a mitad de camino entre el borde y el centro, y el otro en el borde mismo) y una línea recta que divide el disco, donde el desplazamiento es cercano a cero. En un sistema idealizado, estas líneas son exactamente iguales a cero, como se muestra a la derecha.

En sistemas mecánicos

Osciladores acoplados

Considere dos cuerpos iguales (no afectados por la gravedad), cada uno de masa m, unidos a tres resortes, cada uno con constante de resorte k. Se unen de la siguiente manera, formando un sistema que es físicamente simétrico:

donde los puntos de borde son fijos y no se pueden mover. Usaremos x ₁ (t) para denotar el desplazamiento horizontal de la masa de la izquierda y x ₂ (t) para denotar el desplazamiento de la masa de la derecha.

Si uno denota aceleración (la segunda derivada de x (t) con respecto al tiempo) como $scriptstyle {ddot {x}}$ , las ecuaciones de movimiento son: ${begin{alineado}m{ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2} m{ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}end{alineado}}$

Dado que esperamos un movimiento oscilatorio de un modo normal (donde ω es el mismo para ambas masas), intentamos: ${begin{alineado}x_{1}(t)&=A_{1}e^{iomega t}\x_{2}(t)&=A_{2}e^{iomega t} end{alineado}}$

Sustituyendo estos en las ecuaciones de movimiento nos da: ${begin{alineado}-omega ^{2}mA_{1}e^{iomega t}&=-2kA_{1}e^{iomega t}+kA_{2}e^{i omega t}\-omega ^{2}mA_{2}e^{iomega t}&=kA_{1}e^{iomega t}-2kA_{2}e^{iomega t }end{alineado}}$

Como el factor exponencial es común a todos los términos, lo omitimos y simplificamos: ${begin{alineado}(omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\kA_{1}+(omega ^{2}m-2k)A_{2 }&=0end{alineado}}$

Y en representación matricial: ${begin{bmatrix}omega ^{2}m-2k&k\k&omega ^{2}m-2kend{bmatrix}}{begin{pmatrix}A_{1}\A_{2} fin{pmatrix}}=0$

Si la matriz de la izquierda es invertible, la solución única es la solución trivial (A ₁, A ₂) = (x ₁, x ₂) = (0,0). Las soluciones no triviales se encuentran para aquellos valores de ω en los que la matriz de la izquierda es singular, es decir, no es invertible. De ello se deduce que el determinante de la matriz debe ser igual a 0, entonces: $(omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0$

Resolviendo para $omega$ , tenemos dos soluciones positivas: ${begin{alineado}omega_{1}&={sqrt {frac {k}{m}}}\omega_{2}&={sqrt {frac {3k}{m} }}end{alineado}}$

Si sustituimos ω ₁ en la matriz y resolvemos para (A ₁, A ₂), obtenemos (1, 1). Si sustituimos ω ₂, obtenemos (1, −1). (Estos vectores son vectores propios y las frecuencias son valores propios).

El primer modo normal es: ${vec {eta }}_{1}={begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\x_{2}^{1}(t)end{pmatrix}}= c_{1}{begin{pmatrix}1\1end{pmatrix}}cos {(omega _{1}t+varphi _{1})}$

Lo que corresponde a ambas masas moviéndose en la misma dirección al mismo tiempo. Este modo se llama antisimétrico.

El segundo modo normal es: ${vec {eta }}_{2}={begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\x_{2}^{2}(t)end{pmatrix}}= c_{2}{begin{pmatrix}1\-1end{pmatrix}}cos {(omega _{2}t+varphi _{2})}$

Esto corresponde a que las masas se mueven en direcciones opuestas, mientras que el centro de masa permanece estacionario. Este modo se llama simétrico.

La solución general es una superposición de los modos normales donde c ₁, c ₂, φ ₁ y φ ₂ están determinados por las condiciones iniciales del problema.

El proceso demostrado aquí se puede generalizar y formular utilizando el formalismo de la mecánica de Lagrangian o la mecánica de Hamilton.

Ondas estacionarias

Una onda estacionaria es una forma continua del modo normal. En una onda estacionaria, todos los elementos del espacio (es decir, coordenadas (x, y, z)) oscilan en la misma frecuencia y en fase (alcanzando el punto de equilibrio juntos), pero cada uno tiene una amplitud diferente.

La forma general de una onda estacionaria es: $Psi (t)=f(x,y,z)(Acos(omega t)+Bsin(omega t))$

donde ƒ (x, y, z) representa la dependencia de la amplitud en la ubicación y el cosenoseno son las oscilaciones en el tiempo.

Físicamente, las ondas estacionarias se forman por la interferencia (superposición) de ondas y sus reflejos (aunque también se puede decir lo contrario, que una onda en movimiento es una superposición de ondas estacionarias). La forma geométrica del medio determina cuál sería el patrón de interferencia, por lo tanto determina la forma ƒ (x, y, z) de la onda estacionaria. Esta dependencia del espacio se denomina modo normal.

Por lo general, para problemas con dependencia continua de (x, y, z) no hay un número único o finito de modos normales, pero hay infinitos modos normales. Si el problema está acotado (es decir, está definido en una sección finita del espacio), hay muchos modos normales contables (generalmente numerados n = 1, 2, 3,...). Si el problema no está acotado, hay un espectro continuo de modos normales.

Sólidos elásticos

En cualquier sólido a cualquier temperatura, las partículas primarias (por ejemplo, átomos o moléculas) no están estacionarias, sino que vibran en posiciones medias. En los aisladores la capacidad del sólido para almacenar energía térmica se debe casi en su totalidad a estas vibraciones. Muchas propiedades físicas del sólido (p. ej., módulo de elasticidad) se pueden predecir si se conocen las frecuencias con las que vibran las partículas. La suposición más simple (de Einstein) es que todas las partículas oscilan alrededor de sus posiciones medias con la misma frecuencia natural ν. Esto es equivalente a la suposición de que todos los átomos vibran independientemente con una frecuencia ν. Einstein también supuso que los estados de energía permitidos de estas oscilaciones son armónicos o múltiplos enteros de hν. El espectro de formas de onda se puede describir matemáticamente utilizando una serie de Fourier de fluctuaciones de densidad sinusoidal (o fonones térmicos).

Posteriormente, Debye reconoció que cada oscilador está íntimamente acoplado a sus osciladores vecinos en todo momento. Así, reemplazando los osciladores desacoplados idénticos de Einstein con el mismo número de osciladores acoplados, Debye correlacionó las vibraciones elásticas de un sólido unidimensional con el número de modos de vibración matemáticamente especiales de una cuerda estirada (ver figura). El tono puro del tono o frecuencia más bajo se denomina fundamental y los múltiplos de esa frecuencia se denominan sobretonos armónicos. Asignó a uno de los osciladores la frecuencia de la vibración fundamental de todo el bloque de sólido. Asignó a los osciladores restantes las frecuencias de los armónicos de esa fundamental, estando la más alta de todas estas frecuencias limitada por el movimiento de la unidad primaria más pequeña.

Los modos normales de vibración de un cristal son, en general, superposiciones de muchos sobretonos, cada uno con una amplitud y fase apropiadas. Los fonones de longitud de onda más larga (baja frecuencia) son exactamente aquellas vibraciones acústicas que se consideran en la teoría del sonido. Tanto las ondas longitudinales como las transversales pueden propagarse a través de un sólido, mientras que, en general, solo las ondas longitudinales están soportadas por fluidos.

En el modo longitudinal, el desplazamiento de las partículas desde sus posiciones de equilibrio coincide con la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales mecánicas también se conocen como ondas de compresión. Para modos transversales, las partículas individuales se mueven perpendicularmente a la propagación de la onda.

Según la teoría cuántica, la energía media de un modo de vibración normal de un sólido cristalino con frecuencia característica ν es: ${displaystyle E(nu)={frac {1}{2}}hnu +{frac {hnu }{e^{hnu /kT}-1}}}$

El término (1/2) hν representa la "energía de punto cero", o la energía que tendrá un oscilador en el cero absoluto. E (ν) tiende al valor clásico kT a altas temperaturas ${displaystyle E(nu)=kTleft[1+{frac {1}{12}}left({frac {hnu }{kT}}right)^{2}+O izquierda({frac {hnu }{kT}}derecha)^{4}+cdots derecha]}$

Al conocer la fórmula termodinámica, $left({frac {S parcial}{E parcial}}right)_{N,V}={frac {1}{T}}$

la entropía por modo normal es: ${displaystyle {begin{alineado}Sleft(nu right)&=int _{0}^{T}{frac {d}{dT}}Eleft(nu right){ frac {dT}{T}}\[10pt]&={frac {Eleft(nu right)}{T}}-klog left(1-e^{-{frac {hnu }{kT}}}right)end{alineado}}}$

La energía libre es: ${displaystyle F(nu)=E-TS=kTlog left(1-e^{-{frac {hnu }{kT}}}right)}$

que, para kT >> hν, tiende a: ${displaystyle F(nu)=kTlog left({frac {hnu }{kT}}right)}$

Para calcular la energía interna y el calor específico, debemos conocer el número de modos vibracionales normales una frecuencia entre los valores ν y ν + dν. Permita que este número sea f (ν)d ν. Dado que el número total de modos normales es 3 N, la función f (ν) viene dada por: ${ estilo de visualización int f ( nu) , d nu = 3N}$

La integración se realiza sobre todas las frecuencias del cristal. Entonces la energía interna U estará dada por: ${displaystyle U=int f(nu)E(nu),dnu }$

En mecánica cuántica

En mecánica cuántica, el estado $|psi rangle$ de un sistema se describe mediante una función de onda $psi (x, t)$ que resuelve la ecuación de Schrödinger. El cuadrado del valor absoluto de $psi$ , es decir $P(x,t)=|psi(x,t)|^{2}$

es la densidad de probabilidad para medir la partícula en el lugar x en el tiempo t.

Por lo general, cuando se trata de algún tipo de potencial, la función de onda se descompone en una superposición de estados propios de energía, cada uno de los cuales oscila con una frecuencia de $omega =E_{n}/hbar$ . Así, uno puede escribir $|psi (t)rangle =sum _{n}|nrangle leftlangle n|psi (t=0)rightrangle e^{-iE_{n}t/hbar }$

Los estados propios tienen un significado físico más allá de una base ortonormal. Cuando se mide la energía del sistema, la función de onda colapsa en uno de sus estados propios y, por lo tanto, la función de onda de la partícula se describe mediante el estado propio puro correspondiente a la energía medida.

En sismología

Los modos normales se generan en la Tierra a partir de ondas sísmicas de longitud de onda larga de grandes terremotos que interfieren para formar ondas estacionarias.

Para una esfera elástica, isotrópica, homogénea, surgen los modos esferoidal, toroidal y radial (o de respiración). Los modos esferoidales solo involucran ondas P y SV (como las ondas de Rayleigh) y dependen del número armónico n y el orden angular l pero tienen una degeneración de orden azimutal m. El aumento de l concentra la rama fundamental más cerca de la superficie y, en general, tiende a las ondas de Rayleigh. Los modos toroidales solo involucran ondas SH (como las ondas Love) y no existen en el núcleo externo fluido. Los modos radiales son solo un subconjunto de modos esferoidales con l=0. La degeneración no existe en la Tierra ya que se rompe por rotación, elipticidad y estructura de densidad y velocidad heterogénea en 3D.

Se puede suponer que cada modo se puede aislar, la aproximación de autoacoplamiento, o que muchos modos cercanos en frecuencia resuenan, la aproximación de acoplamiento cruzado. El autoacoplamiento solo cambiará la velocidad de fase y no el número de ondas alrededor de un gran círculo, lo que resultará en un estiramiento o contracción del patrón de onda estacionaria. El acoplamiento cruzado modal se produce debido a la rotación de la Tierra, a partir de una estructura elástica asférica, o debido a la elipticidad de la Tierra y conduce a una mezcla de modos toroidales y esferoidales fundamentales.

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