Modelo Van Hiele

En la enseñanza de las matemáticas, el modelo de Van Hiele es una teoría que describe cómo los estudiantes aprenden geometría. La teoría se originó en 1957 en las tesis doctorales de Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele (esposos) en la Universidad de Utrecht, en los Países Bajos. Los soviéticos investigaron sobre la teoría en la década de 1960 e integraron sus hallazgos en sus planes de estudio. Los investigadores estadounidenses realizaron varios estudios a gran escala sobre la teoría de van Hiele a fines de la década de 1970 y principios de la de 1980, y concluyeron que los bajos niveles de Van Hiele de los estudiantes dificultaban el éxito en los cursos de geometría orientados a la demostración y recomendaron una mejor preparación en los niveles de grado inferiores. Pierre van Hiele publicó Structure and Insight en 1986, donde describió con más detalle su teoría. El modelo ha influido enormemente en los planes de estudio de geometría en todo el mundo al enfatizar el análisis de las propiedades y la clasificación de las formas en los niveles de grado inferiores. En Estados Unidos, la teoría ha influido en la rama de geometría de los estándares publicados por el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas y los Estándares Básicos Comunes.

El estudiante aprende por rote a operar con relaciones [matemáticas] que él no entiende, y de las cuales no ha visto el origen.... Por lo tanto, el sistema de relaciones es una construcción independiente que no tiene antecedentes con otras experiencias del niño. Esto significa que el estudiante sabe sólo lo que se le ha enseñado y lo que se ha deducido de ella. No ha aprendido a establecer conexiones entre el sistema y el mundo sensorial. No sabrá cómo aplicar lo que ha aprendido en una nueva situación. - Pierre van Hiele, 1959

La parte más conocida del modelo de van Hiele son los cinco niveles que los van Hiele postularon para describir cómo los niños aprenden a razonar en geometría. No se puede esperar que los estudiantes demuestren teoremas geométricos hasta que hayan desarrollado una comprensión amplia de los sistemas de relaciones entre ideas geométricas. Estos sistemas no se pueden aprender de memoria, sino que deben desarrollarse mediante la familiaridad experimentando numerosos ejemplos y contraejemplos, las diversas propiedades de las figuras geométricas, las relaciones entre las propiedades y cómo se ordenan estas propiedades. Los cinco niveles postulados por los van Hiele describen cómo los estudiantes avanzan en esta comprensión.

A veces se malinterpreta que los cinco niveles de van Hiele son descripciones de cómo los estudiantes entienden la clasificación de formas, pero en realidad describen la forma en que los estudiantes razonan sobre las formas y otras ideas geométricas. Pierre van Hiele notó que sus estudiantes tendían a una "estancamiento" en ciertos puntos de su comprensión de la geometría e identificó estos puntos de estancamiento como niveles. En general, estos niveles son un producto de la experiencia y la instrucción más que de la edad. Esto contrasta con la teoría de Piaget sobre el desarrollo cognitivo, que depende de la edad. Un niño debe tener suficientes experiencias (en el aula o en otro lugar) con estas ideas geométricas para pasar a un nivel superior de sofisticación. A través de experiencias enriquecedoras, los niños pueden alcanzar el Nivel 2 en la escuela primaria. Sin tales experiencias, muchos adultos (incluidos los maestros) permanecen en el Nivel 1 toda su vida, incluso si toman un curso formal de geometría en la escuela secundaria. Los niveles son los siguientes:

Nivel 0. Visualización: En este nivel, el pensamiento del niño se centra en las formas individuales, que el niño está aprendiendo a clasificar juzgando su apariencia holística. Los niños simplemente dicen: "Eso es un círculo", generalmente sin más descripción. Los niños identifican prototipos de figuras geométricas básicas (triángulo, círculo, cuadrado). Estos prototipos visuales se utilizan luego para identificar otras formas. Una forma es un círculo porque parece un sol; una forma es un rectángulo porque parece una puerta o una caja; y así sucesivamente. Un cuadrado parece ser un tipo de forma diferente a un rectángulo, y un rombo no se parece a otros paralelogramos, por lo que estas formas se clasifican completamente por separado en la mente del niño. Los niños ven las figuras holísticamente sin analizar sus propiedades. Si una forma no se parece lo suficiente a su prototipo, el niño puede rechazar la clasificación. Por lo tanto, los niños en esta etapa pueden mostrarse reacios a llamar "triángulo" a un triángulo delgado con forma de cuña (con lados 1, 20, 20 o lados 20, 20, 39), porque su forma es muy diferente a la de un triángulo equilátero, que es el prototipo habitual de "triángulo". Si la base horizontal del triángulo está arriba y el vértice opuesto abajo, el niño puede reconocerlo como un triángulo, pero afirmar que está "al revés". Las formas con lados redondeados o incompletos pueden aceptarse como "triángulos" si tienen un parecido holístico con un triángulo equilátero. Los cuadrados se llaman "rombos" y no se reconocen como cuadrados si sus lados están orientados a 45° con respecto a la horizontal. Los niños en este nivel a menudo creen que algo es cierto basándose en un solo ejemplo.

Nivel 1. Análisis: En este nivel, las formas se convierten en portadoras de sus propiedades. Los objetos del pensamiento son clases de formas, que el niño ha aprendido a analizar como poseedoras de propiedades. Una persona en este nivel podría decir: "Un cuadrado tiene 4 lados iguales y 4 ángulos iguales. Sus diagonales son congruentes y perpendiculares, y se bisecan entre sí". Las propiedades son más importantes que la apariencia de la forma. Si se dibuja una figura en la pizarra y el maestro afirma que se pretende que tenga lados y ángulos congruentes, los estudiantes aceptan que es un cuadrado, incluso si está mal dibujada. Las propiedades aún no están ordenadas en este nivel. Los niños pueden discutir las propiedades de las figuras básicas y reconocerlas por estas propiedades, pero generalmente no permiten que las categorías se superpongan porque entienden cada propiedad aisladamente de las demás. Por ejemplo, seguirán insistiendo en que "un cuadrado no es un rectángulo". (Pueden introducir propiedades extrañas para apoyar tales creencias, como definir un rectángulo como una figura con un par de lados más largo que el otro par de lados). Los niños comienzan a notar muchas propiedades de las figuras, pero no ven las relaciones entre las propiedades; por lo tanto, no pueden reducir la lista de propiedades a una definición concisa con condiciones necesarias y suficientes. Por lo general, razonan de manera inductiva a partir de varios ejemplos, pero aún no pueden razonar deductivamente porque no comprenden cómo se relacionan las propiedades de las figuras.

Nivel 2. Abstracción: En este nivel, las propiedades están ordenadas. Los objetos de pensamiento son propiedades geométricas, que el estudiante ha aprendido a conectar deductivamente. El estudiante entiende que las propiedades están relacionadas y que un conjunto de propiedades puede implicar otra propiedad. Los estudiantes pueden razonar con argumentos simples sobre figuras geométricas. Un estudiante en este nivel podría decir: "Los triángulos isósceles son simétricos, por lo que sus ángulos de base deben ser iguales". Los estudiantes reconocen las relaciones entre los tipos de formas. Reconocen que todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados, y entienden por qué los cuadrados son un tipo de rectángulo basándose en la comprensión de las propiedades de cada uno. Pueden decir si es posible o no tener un rectángulo que sea, por ejemplo, también un rombo. Entienden las condiciones necesarias y suficientes y pueden escribir definiciones concisas. Sin embargo, aún no entienden el significado intrínseco de la deducción. No pueden seguir un argumento complejo, comprender el lugar de las definiciones o captar la necesidad de los axiomas, por lo que aún no pueden entender el papel de las pruebas geométricas formales.

Nivel 3. Deducción: Los estudiantes de este nivel comprenden el significado de la deducción. El objeto del pensamiento es el razonamiento deductivo (pruebas simples), que el estudiante aprende a combinar para formar un sistema de pruebas formales (geometría euclidiana). Los estudiantes pueden construir pruebas geométricas a un nivel de escuela secundaria y comprender su significado. Entienden el papel de los términos indefinidos, las definiciones, los axiomas y los teoremas en la geometría euclidiana. Sin embargo, los estudiantes de este nivel creen que los axiomas y las definiciones son fijos, en lugar de arbitrarios, por lo que aún no pueden concebir una geometría no euclidiana. Las ideas geométricas todavía se entienden como objetos en el plano euclidiano.

Nivel 4. Rigor: En este nivel, la geometría se entiende al nivel de un matemático. Los estudiantes comprenden que las definiciones son arbitrarias y no necesitan referirse a ninguna realización concreta. El objeto del pensamiento son los sistemas geométricos deductivos, para los cuales el estudiante compara sistemas axiomáticos. Los estudiantes pueden estudiar geometrías no euclidianas con comprensión. Las personas pueden comprender la disciplina de la geometría y cómo difiere filosóficamente de los estudios no matemáticos.

Los investigadores estadounidenses renumeraron los niveles del 1 al 5 para poder agregar un "Nivel 0" que describía a los niños pequeños que no podían identificar formas en absoluto. Ambos sistemas de numeración todavía se utilizan. Algunos investigadores también dan nombres diferentes a los niveles.

Los niveles de van Hiele tienen cinco propiedades:

1. Secuencia fija: los niveles son jerárquicos. Los estudiantes no pueden "saltarse" un nivel. Los van Hieles afirman que gran parte de la dificultad que experimentan los estudiantes de geometría se debe a que se les enseña en el nivel de Deducción cuando aún no han alcanzado el nivel de Abstracción.

2. Adyacencia: las propiedades que son intrínsecas en un nivel se vuelven extrínsecas en el siguiente. (Las propiedades están presentes en el nivel de visualización, pero el estudiante aún no es consciente de ellas hasta el nivel de análisis. Las propiedades están, de hecho, relacionadas en el nivel de análisis, pero los estudiantes aún no son conscientes explícitamente de las relaciones).

3. Distinción: cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y su red de relaciones. El significado de un símbolo lingüístico es más que su definición explícita; incluye las experiencias que el hablante asocia con el símbolo dado. Lo que puede ser "correcto" en un nivel no necesariamente lo es en otro. En el nivel 0, un cuadrado es algo que parece una caja. En el nivel 2, un cuadrado es un tipo especial de rectángulo. Ninguna de estas es una descripción correcta del significado de "cuadrado" para alguien que razona en el nivel 1. Si al estudiante simplemente se le da la definición y sus propiedades asociadas, sin permitirle desarrollar experiencias significativas con el concepto, el estudiante no podrá aplicar este conocimiento más allá de las situaciones utilizadas en la lección.

4. Separación: un profesor que razona en un nivel determinado habla un "lenguaje" diferente al de un alumno de un nivel inferior, lo que impide la comprensión. Cuando un profesor habla de un "cuadrado", se refiere a un tipo especial de rectángulo. Un alumno de nivel 0 o 1 no tendrá la misma comprensión de este término. El alumno no entiende al profesor, y el profesor no entiende cómo razona el alumno, y con frecuencia concluye que las respuestas del alumno son simplemente "incorrectas". Los van Hieles creían que esta propiedad era una de las principales razones del fracaso en geometría. Los profesores creen que se están expresando con claridad y lógica, pero su razonamiento de nivel 3 o 4 no es comprensible para los alumnos de niveles inferiores, ni los profesores entienden los procesos de pensamiento de sus alumnos. Lo ideal es que el profesor y los alumnos compartan experiencias detrás de su lenguaje.

5. Logro: Los van Hieles recomendaron cinco fases para guiar a los estudiantes de un nivel a otro en un tema determinado:

• Información o investigación: los estudiantes conocen el material y comienzan a descubrir su estructura. Los profesores presentan una nueva idea y permiten a los estudiantes trabajar con el nuevo concepto. Al tener estudiantes experimentar la estructura del nuevo concepto de manera similar, pueden tener conversaciones significativas al respecto. (Un maestro podría decir, "Este es un rombo. Construya más rhombi en su papel.")
• Orientación guiada o dirigida: los estudiantes hacen tareas que les permiten explorar relaciones implícitas. Los profesores proponen actividades de carácter bastante guiado que permitan a los estudiantes familiarizarse con las propiedades del nuevo concepto que el maestro desea aprender. (Un maestro podría preguntar: "¿Qué pasa cuando se corta y se dobla el rombo a lo largo de una diagonal? la otra diagonal?" y así sucesivamente, seguido de discusión.)
• Explicitation: los estudiantes expresan lo que han descubierto y se introduce vocabulario. Las experiencias de los estudiantes están vinculadas a símbolos lingüísticos compartidos. Los van Hieles creen que es más rentable aprender vocabulario después los estudiantes han tenido la oportunidad de familiarizarse con el concepto. Los descubrimientos se hacen lo más explícito posible. (Un maestro podría decir, "Aquí están las propiedades que hemos notado y algún vocabulario asociado para las cosas que has descubierto. Vamos a discutir lo que significan.")
• Orientación gratuita: los estudiantes hacen tareas más complejas que les permiten dominar la red de relaciones en el material. Conocen las propiedades que se estudian, pero necesitan desarrollar fluidez para navegar por la red de relaciones en varias situaciones. Este tipo de actividad es mucho más abierta que la orientación guiada. Estas tareas no habrán establecido procedimientos para resolverlas. Los problemas pueden ser más complejos y requieren una exploración más libre para encontrar soluciones. (Un maestro podría decir, "¿Cómo podría construir un rhombus dado sólo dos de sus lados?" y otros problemas para los cuales los estudiantes no han aprendido un procedimiento fijo.)
• Integración: los estudiantes resumen lo que han aprendido y lo comprometen a la memoria. El profesor puede dar a los estudiantes una visión general de todo lo que han aprendido. Es importante que el maestro no presente ningún material nuevo durante esta fase, sino sólo un resumen de lo que ya se ha aprendido. El profesor también podría dar una tarea para recordar los principios y vocabulario aprendido para el trabajo futuro, posiblemente mediante ejercicios adicionales. (Un maestro podría decir, "Aquí hay un resumen de lo que hemos aprendido. Escribe esto en tu cuaderno y haz estos ejercicios para la tarea.") Los partidarios del modelo van Hiele señalan que la instrucción tradicional a menudo implica sólo esta última fase, lo que explica por qué los estudiantes no dominan el material.

Para su tesis doctoral, Dina van Hiele-Geldof realizó un experimento pedagógico con niños de 12 años en una escuela secundaria Montessori en los Países Bajos. Informó que, utilizando este método, pudo elevar el nivel de los estudiantes del nivel 0 al 1 en 20 lecciones y del nivel 1 al 2 en 50 lecciones.

Usando van Los niveles de Hiele como criterio, casi la mitad de los estudiantes de geometría se colocan en un curso en el que sus posibilidades de tener éxito son sólo 50-50. — Zalman Usiskin, 1982

Los investigadores descubrieron que los niveles de Van Hiele de los estudiantes estadounidenses son bajos. Los investigadores europeos han encontrado resultados similares para los estudiantes europeos. Muchos, quizás la mayoría, de los estudiantes estadounidenses no alcanzan el nivel de Deducción incluso después de completar con éxito un curso de geometría de secundaria orientado a la demostración, probablemente porque el material se aprende de memoria, como afirmaron los Van Hiele. Esto parece deberse a que los cursos de geometría de secundaria estadounidenses asumen que los estudiantes ya están al menos en el Nivel 2, listos para pasar al Nivel 3, mientras que muchos estudiantes de secundaria todavía están en el Nivel 1, o incluso en el Nivel 0. Vea la propiedad de Secuencia Fija anterior.

Los niveles son discontinuos, tal como se define en las propiedades anteriores, pero los investigadores han debatido hasta qué punto son realmente discretos. Los estudios han descubierto que muchos niños razonan en múltiples niveles, o niveles intermedios, lo que parece estar en contradicción con la teoría. Los niños también avanzan a través de los niveles a diferentes ritmos para diferentes conceptos, dependiendo de su exposición al tema. Por lo tanto, pueden razonar en un nivel para ciertas formas, pero en otro nivel para otras formas.

Algunos investigadores han descubierto que muchos niños en el nivel de visualización no razonan de una manera completamente holística, sino que pueden centrarse en un solo atributo, como los lados iguales de un cuadrado o la redondez de un círculo. Han propuesto cambiar el nombre de este nivel a nivel sincrético. También se han sugerido otras modificaciones, como definir subniveles entre los niveles principales, aunque ninguna de estas modificaciones ha ganado popularidad todavía.

• Los niveles de Van Hiele de la comprensión geométrica por Marguerite Mason
• Young Children's Developing Understanding of Geometric Shapes por Mary Anne Hannibal

• Los niveles de comprensión geométrica van Hiele — PDF de preguntas frecuentes sobre el modelo van Hiele, con bibliografía
• Enlace de la Teoría Van Hiele a la Instrucción - Actividades basadas en la teoría de van Hiele
• El desarrollo espacial y geométrico Pensamiento: la importancia de la instrucción.
• Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry — Large 1982 Chicago study analyzing the van Modelo Hiele y su importación en la comprensión de los logros de los estudiantes de secundaria estadounidenses en la geometría
• Un marco para la geometría K – 12 — Presentación de PowerPoint
• El modelo van Hiele de pensamiento geométrico Una breve presentación de los principales aspectos del modelo van Hiele
• Conferencia internacional "Teoría Van Hiele en Educación Matemática", Croacia. Organizada por: la Universidad de Zadar, Departamento de Educación de Profesores " HUNI - Hrvatska udruga nastavnika istraživača (Asociación Croata de Investigadores de Profesores). Las conferencias y talleres profesionales incluyeron temas sobre aspectos de la investigación de la acción, aspectos de los niveles de la teoría de van Hiele en funciones- y propuesta de prueba para el uso de la escuela estatal croata.