Modelo Solow-Swan

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El modelo de Solow-Swan o modelo de crecimiento exógeno es un modelo económico de crecimiento económico a largo plazo. Intenta explicar el crecimiento económico a largo plazo analizando la acumulación de capital, el crecimiento de la mano de obra o de la población y los aumentos de la productividad impulsados en gran medida por el progreso tecnológico. En esencia, es una función de producción agregada, a menudo especificada como del tipo Cobb-Douglas, que permite que el modelo "tome contacto con la microeconomía". El modelo fue desarrollado de forma independiente por Robert Solow y Trevor Swan en 1956 y reemplazó al modelo keynesiano de Harrod-Domar.

Matemáticamente, el modelo de Solow-Swan es un sistema no lineal que consta de una única ecuación diferencial ordinaria que modela la evolución del stock de capital per cápita. Debido a sus características matemáticas particularmente atractivas, Solow-Swan demostró ser un punto de partida conveniente para varias extensiones. Por ejemplo, en 1965, David Cass y Tjalling Koopmans integraron el análisis de optimización del consumidor de Frank Ramsey, endogenizando así la tasa de ahorro, para crear lo que ahora se conoce como el modelo Ramsey-Cass-Koopmans.

Fondo

El modelo de Solow-Swan fue una extensión del modelo de Harrod-Domar de 1946 que eliminó la suposición restrictiva de que solo el capital contribuye al crecimiento (siempre que haya suficiente trabajo para usar todo el capital). Importantes contribuciones al modelo provinieron del trabajo realizado por Solow y Swan en 1956, quienes desarrollaron de forma independiente modelos de crecimiento relativamente simples. El modelo de Solow ajustó los datos disponibles sobre el crecimiento económico de EE. UU. con cierto éxito. En 1987, Solow recibió el Premio Nobel de Economía por su trabajo. Hoy en día, los economistas utilizan la contabilidad de las fuentes de crecimiento de Solow para estimar los efectos separados sobre el crecimiento económico del cambio tecnológico, el capital y la mano de obra.

El modelo de Solow es también uno de los modelos más utilizados en economía para explicar el crecimiento económico. Básicamente, afirma que los resultados sobre la "productividad total de los factores (PTF) pueden conducir a aumentos ilimitados en el nivel de vida de un país".

Extensión del modelo Harrod-Domar

Solow amplió el modelo de Harrod-Domar agregando la mano de obra como factor de producción y relaciones capital-producto que no son fijas como lo son en el modelo de Harrod-Domar. Estos refinamientos permiten distinguir el aumento de la intensidad de capital del progreso tecnológico. Solow ve la función de producción de proporciones fijas como una "suposición crucial" para los resultados de inestabilidad en el modelo Harrod-Domar. Su propio trabajo amplía esto al explorar las implicaciones de especificaciones alternativas, a saber, Cobb-Douglas y la elasticidad de sustitución constante (CES) más general. Aunque esta se ha convertido en la historia canónica y célebre de la historia de la economía, incluida en muchos libros de texto de economía,la reevaluación reciente del trabajo de Harrod lo ha cuestionado. Una crítica central es que la pieza original de Harrod no se preocupaba principalmente por el crecimiento económico ni utilizaba explícitamente una función de producción de proporciones fijas.

Implicaciones a largo plazo

Un modelo estándar de Solow predice que, a largo plazo, las economías convergen a su equilibrio de estado estacionario y que el crecimiento permanente solo se puede lograr a través del progreso tecnológico. Tanto los cambios en el ahorro como en el crecimiento de la población sólo provocan efectos de nivel a largo plazo (es decir, en el valor absoluto del ingreso real per cápita). Una implicación interesante del modelo de Solow es que los países pobres deberían crecer más rápido y eventualmente alcanzar a los países más ricos. Esta convergencia podría explicarse por:

Rezagos en la difusión del conocimiento. Las diferencias en el ingreso real podrían reducirse a medida que los países pobres reciban mejor tecnología e información;
Asignación eficiente de los flujos de capital internacional, ya que la tasa de rendimiento del capital debería ser mayor en los países más pobres. En la práctica, esto rara vez se observa y se conoce como la paradoja de Lucas;
Una implicación matemática del modelo (asumiendo que los países pobres aún no han alcanzado su estado estacionario).

Baumol intentó verificar esto empíricamente y encontró una correlación muy fuerte entre el crecimiento de la producción de un país durante un largo período de tiempo (1870 a 1979) y su riqueza inicial. Sus hallazgos fueron posteriormente cuestionados por DeLong, quien afirmó que tanto la falta de aleatoriedad de los países muestreados como la posibilidad de errores de medición significativos para las estimaciones del ingreso real per cápita en 1870 sesgaron los hallazgos de Baumol. DeLong concluye que hay poca evidencia para apoyar la teoría de la convergencia.

Suposiciones

El supuesto clave del modelo de crecimiento de Solow-Swan es que el capital está sujeto a rendimientos decrecientes en una economía cerrada.

Dada una cantidad fija de mano de obra, el impacto sobre la producción de la última unidad de capital acumulada siempre será menor que la anterior.
Suponiendo por simplicidad que no haya progreso tecnológico ni crecimiento de la fuerza laboral, los rendimientos decrecientes implican que, en algún momento, la cantidad de capital nuevo producido solo es suficiente para compensar la cantidad de capital existente perdido debido a la depreciación. En este punto, debido a los supuestos de ausencia de progreso tecnológico o crecimiento de la fuerza laboral, podemos ver que la economía deja de crecer.
Asumir tasas de crecimiento laboral distintas de cero complica un poco las cosas, pero la lógica básica aún se aplica: a corto plazo, la tasa de crecimiento se ralentiza a medida que los rendimientos decrecientes tienen efecto y la economía converge a una tasa de crecimiento de "estado estacionario" constante. (es decir, sin crecimiento económico per cápita).
Incluir el progreso tecnológico distinto de cero es muy similar a la suposición de un crecimiento de la fuerza laboral distinto de cero, en términos de "trabajo efectivo": se alcanza un nuevo estado estacionario con una producción constante por hora-trabajador requerida para una unidad de producción. Sin embargo, en este caso, la producción per cápita crece a la tasa de progreso tecnológico en el "estado estacionario" (es decir, la tasa de crecimiento de la productividad).

Variaciones en los efectos de la productividad

En el modelo de Solow-Swan, el cambio no explicado en el crecimiento de la producción después de tener en cuenta el efecto de la acumulación de capital se denomina residuo de Solow. Este residual mide el aumento exógeno en la productividad total de los factores (PTF) durante un período de tiempo particular. El aumento de la PTF a menudo se atribuye por completo al progreso tecnológico, pero también incluye cualquier mejora permanente en la eficiencia con la que se combinan los factores de producción a lo largo del tiempo. Implícitamente, el crecimiento de la PTF incluye cualquier mejora permanente de la productividad que resulte de mejores prácticas de gestión en los sectores público o privado de la economía. Paradójicamente, aunque el crecimiento de la PTF es exógeno en el modelo, no se puede observar,

El modelo se puede reformular de formas ligeramente diferentes utilizando diferentes suposiciones de productividad o diferentes métricas de medición:

La productividad laboral promedio (ALP) es la producción económica por hora de trabajo.
La productividad multifactorial (PMF) es la producción dividida por un promedio ponderado de los insumos de capital y mano de obra. Las ponderaciones utilizadas generalmente se basan en las participaciones de insumos agregados que gana cada factor. Esta relación a menudo se cita como: 33% de retorno al capital y 67% de retorno al trabajo (en las naciones occidentales).

En una economía en crecimiento, el capital se acumula más rápido de lo que nacen las personas, por lo que el denominador en la función de crecimiento bajo el cálculo de MFP está creciendo más rápido que en el cálculo de ALP. Por lo tanto, el crecimiento de MFP es casi siempre más bajo que el crecimiento de ALP. (Por lo tanto, la medición en términos de ALP aumenta el efecto aparente de profundización del capital). La MFP se mide por el "residuo de Solow", no por ALP.

Matemáticas del modelo

El modelo de libro de texto de Solow-Swan se establece en un mundo de tiempo continuo sin gobierno ni comercio internacional. Un solo bien (output) se produce utilizando dos factores de producción, trabajo ( $L$ ) y capital ( $k$ ) en una función de producción agregada que satisface las condiciones de Inada, que implican que la elasticidad de sustitución debe ser asintóticamente igual a uno. ${displaystyle Y(t)=K(t)^{alpha }(A(t)L(t))^{1-alpha },}$

donde $t$ denota tiempo, $0<alfa <1$ es la elasticidad de la producción con respecto al capital y $Y(t)$ representa la producción total. $A$ se refiere a la tecnología o "conocimiento" que aumenta el trabajo, por lo que $Alabama$ representa trabajo efectivo. Todos los factores de producción están totalmente empleados y se dan los valores iniciales $un(0)$ , $k(0)$ , y $L(0)$ . El número de trabajadores, es decir, la mano de obra, así como el nivel de tecnología crecen exógenamente a tasas $norte$ y $gramo$ , respectivamente: $L (t) = L (0) y ^ {nt}$ $A(t)=A(0)e^{gt}$

Por lo tanto, el número de unidades efectivas de trabajo, $A(t)L(t)$ , crece a una tasa $(n+g)$ . Mientras tanto, el stock de capital se deprecia con el tiempo a una tasa constante $delta$ . Sin embargo, solo se consume una fracción de la producción ( $cY(t)$ con), dejando una parte ahorrada para la inversión. Esta dinámica se expresa a través de la siguiente ecuación diferencial: ${ estilo de visualización 0 <c <1}$ $s=1-c$ ${displaystyle {dot {K}}(t)=scdot Y(t)-delta cdot K(t),}$

donde ${ punto {K}}$ es la abreviatura de ${frac {dK(t)}{dt}}$ , la derivada con respecto al tiempo. Derivada con respecto al tiempo significa que es el cambio en el stock de capital: la producción que no se consume ni se usa para reemplazar los viejos bienes de capital gastados es inversión neta.

Dado que la función de producción $Y(K, AL)$ tiene rendimientos constantes a escala, se puede escribir como producción por unidad efectiva de trabajo $y$ , que es una medida de la creación de riqueza: ${displaystyle y(t)={frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{alpha }}$

El principal interés del modelo es la dinámica de la intensidad de capital $k$ , el stock de capital por unidad de trabajo efectivo. Su comportamiento en el tiempo viene dado por la ecuación clave del modelo de Solow-Swan: ${punto {k}}(t)=sk(t)^{alfa}-(n+g+delta)k(t)$

El primer término, $sk(t)^{alfa}=sy(t)$ , es la inversión real por unidad de trabajo efectivo: la fracción $s$ de la producción por unidad de trabajo efectivo $y(t)$ que se ahorra e invierte. El segundo término, $(n+g+delta)k(t)$ , es la “inversión de equilibrio”: la cantidad de inversión que debe invertirse para evitar que $k$ caiga. La ecuación implica que $k(t)$ converge a un valor de estado estacionario de $k^{*}$ , definido por $sk(t)^{alfa}=(n+g+delta)k(t)$ , en el que no hay ni un aumento ni una disminución de la intensidad de capital: ${displaystyle k^{*}=left({frac {s}{n+g+delta }}right)^{1/(1-alpha)},}$

a la que el stock de capital $k$ y la mano de obra efectiva $Alabama$ están creciendo a una tasa $(n+g)$ . Asimismo, es posible calcular el estado estacionario de la riqueza creada $y^{*}$ que se corresponde con $k^{*}$ : ${displaystyle y^{*}=left({frac {s}{n+g+delta }}right)^{alpha /(1-alpha)},}$

Suponiendo rendimientos constantes, la producción $Y$ también está creciendo a esa tasa. En esencia, el modelo de Solow-Swan predice que una economía convergerá a un equilibrio de crecimiento equilibrado, independientemente de su punto de partida. En esta situación, el crecimiento de la producción por trabajador está determinado únicamente por la tasa de progreso tecnológico.

Dado que, por definición, ${frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-alpha }$ , en el equilibrio $k^{*}$ tenemos ${frac {K(t)}{Y(t)}}={frac {s}{n+g+delta}}$

Por tanto, en el equilibrio, la relación capital/producto depende únicamente de las tasas de ahorro, crecimiento y depreciación. Esta es la versión del modelo de Solow-Swan de la tasa de ahorro de la regla de oro.

Dado que ${alfa }<1$ , en cualquier momento $t$ el producto marginal del capital $k(t)$ en el modelo de Solow-Swan está inversamente relacionado con la relación capital/trabajo. ${displaystyle MPK={frac {parcial Y}{parcial K}}={frac {alpha A^{1-alpha }}{(K/L)^{1-alpha }}} }$

Si la productividad $A$ es la misma en todos los países, entonces los países con menos capital por trabajador $K/L$ tienen un producto marginal más alto, lo que proporcionaría un mayor rendimiento de la inversión de capital. Como consecuencia, el modelo predice que en un mundo de economías de mercado abierto y capital financiero global, la inversión fluirá de los países ricos a los países pobres, hasta que capital/trabajador $K/L$ e ingreso/trabajador $A/L$ se igualen en todos los países.

Dado que el producto marginal del capital físico no es mayor en los países pobres que en los países ricos, la implicación es que la productividad es menor en los países pobres. El modelo básico de Solow no puede explicar por qué la productividad es menor en estos países. Lucas sugirió que los niveles más bajos de capital humano en los países pobres podrían explicar la menor productividad.

Porque el producto marginal del capital ${frac {Y parcial}{K parcial}}$ es igual a la tasa de retorno $r$ $alpha ={frac {K{frac {parcial Y}{parcial K}}}{Y}}={frac {rK}{Y}},$

por lo que esa $alfa$ es la fracción de la renta que se apropia el capital. Por lo tanto, el modelo de Solow-Swan asume desde el principio que la división del ingreso entre trabajo y capital es constante.

Versión Mankiw-Romer-Weil del modelo

Adición de capital humano

N. Gregory Mankiw, David Romer y David Weil crearon una versión aumentada de capital humano del modelo de Solow-Swan que puede explicar el fracaso de la inversión internacional para fluir hacia los países pobres. En este modelo, la producción y el producto marginal del capital (K) son menores en los países pobres porque tienen menos capital humano que los países ricos.

Similar al modelo de libro de texto de Solow-Swan, la función de producción es del tipo Cobb-Douglas: ${displaystyle Y(t)=K(t)^{alpha }H(t)^{beta }(A(t)L(t))^{1-alpha -beta },}$

donde $H(t)$ está el stock de capital humano, que se deprecia al mismo ritmo $delta$ que el capital físico. Por simplicidad asumen la misma función de acumulación para ambos tipos de capital. Al igual que en Solow-Swan, se ahorra una fracción del resultado $sY(t)$ en cada período, pero en este caso se divide y se invierte en parte en capital físico y en parte en capital humano, de modo que ${displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$ . Por lo tanto, hay dos ecuaciones dinámicas fundamentales en este modelo: ${displaystyle {dot {k}}=s_{K}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)k}$ ${displaystyle {dot {h}}=s_{H}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)h}$

La trayectoria de crecimiento del equilibrio equilibrado (o de estado estacionario) está determinada por ${punto {k}}={punto {h}}=0$ , lo que significa ${displaystyle s_{K}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)k=0}$ y ${displaystyle s_{H}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)h=0}$ . Resolviendo para el nivel de estado estacionario de $k$ y $h$ se obtiene: ${displaystyle k^{*}=left({frac {s_{K}^{1-beta }s_{H}^{beta }}{n+g+delta }}right)^{ frac{1}{1-alfa -beta}}}$ ${displaystyle h^{*}=left({frac {s_{K}^{alpha }s_{H}^{1-alpha }}{n+g+delta }}right)^{ frac{1}{1-alfa -beta}}}$

En el estado estacionario, ${displaystyle y^{*}=(k^{*})^{alpha }(h^{*})^{beta }}$ .

Estimaciones econométricas

Klenow y Rodríguez-Clare ponen en duda la validez del modelo aumentado porque las estimaciones de Mankiw, Romer y Weil ${beta}$ no parecían consistentes con las estimaciones aceptadas del efecto de los aumentos en la educación sobre los salarios de los trabajadores. Aunque el modelo estimado explicaba el 78 % de la variación de los ingresos entre países, las estimaciones ${beta}$ implicaban que los efectos externos del capital humano en el ingreso nacional son mayores que su efecto directo en los salarios de los trabajadores.

Contabilización de los efectos externos

Theodore Breton proporcionó una idea que reconcilió el gran efecto del capital humano de la educación en el modelo de Mankiw, Romer y Weil con el efecto menor de la educación en los salarios de los trabajadores. Demostró que las propiedades matemáticas del modelo incluyen efectos externos significativos entre los factores de producción, porque el capital humano y el capital físico son factores de producción multiplicativos. El efecto externo del capital humano sobre la productividad del capital físico es evidente en el producto marginal del capital físico: ${displaystyle MPK={frac {parcial Y}{parcial K}}={frac {alpha A^{1-alpha }(H/L)^{beta }}{(K/L)^{1-alfa}}}}$

Demostró que las grandes estimaciones del efecto del capital humano en las estimaciones del modelo entre países son consistentes con el efecto más pequeño que normalmente se encuentra en los salarios de los trabajadores cuando se toman en cuenta los efectos externos del capital humano en el capital físico y la mano de obra. Esta idea fortalece significativamente el caso de la versión de Mankiw, Romer y Weil del modelo de Solow-Swan. La mayoría de los análisis que critican este modelo no tienen en cuenta los efectos externos pecuniarios de ambos tipos de capital inherentes al modelo.

Factor total de productividad

La tasa exógena de crecimiento de la PTF (productividad total de los factores) en el modelo de Solow-Swan es el residuo después de tener en cuenta la acumulación de capital. El modelo de Mankiw, Romer y Weil proporciona una estimación más baja de la PTF (residual) que el modelo básico de Solow-Swan porque la adición de capital humano al modelo permite que la acumulación de capital explique más la variación del ingreso entre países. En el modelo básico, el residual de la PTF incluye el efecto del capital humano porque el capital humano no se incluye como factor de producción.

Convergencia condicional

El modelo de Solow-Swan aumentado con capital humano predice que los niveles de ingreso de los países pobres tenderán a alcanzar o converger hacia los niveles de ingreso de los países ricos si los países pobres tienen tasas de ahorro similares tanto para el capital físico como para el capital humano como porcentaje. de salida, un proceso conocido como convergencia condicional. Sin embargo, las tasas de ahorro varían ampliamente de un país a otro. En particular, dado que existen restricciones financieras considerables para la inversión en educación, es probable que las tasas de ahorro para el capital humano varíen en función de las características culturales e ideológicas de cada país.

Desde la década de 1950, la producción/trabajador en los países ricos y pobres generalmente no ha convergido, pero aquellos países pobres que han aumentado considerablemente sus tasas de ahorro han experimentado la convergencia de ingresos predicha por el modelo de Solow-Swan. Por ejemplo, el producto/trabajador en Japón, un país que alguna vez fue relativamente pobre, ha convergido al nivel de los países ricos. Japón experimentó altas tasas de crecimiento después de que aumentó sus tasas de ahorro en las décadas de 1950 y 1960, y ha experimentado una desaceleración del crecimiento de la producción/trabajador desde que sus tasas de ahorro se estabilizaron alrededor de 1970, como lo predice el modelo.

Los niveles de ingreso per cápita de los estados del sur de los Estados Unidos han tendido a converger con los niveles de los estados del norte. La convergencia observada en estos estados también es consistente con el concepto de convergencia condicional. Que se produzca una convergencia absoluta entre países o regiones depende de que tengan características similares, como por ejemplo:

Política educativa
Arreglos institucionales
Libre mercado interno y política comercial con otros países.

La evidencia adicional para la convergencia condicional proviene de regresiones multivariadas entre países.

El análisis econométrico de Singapur y los otros "tigres de Asia oriental" ha arrojado el resultado sorprendente de que, aunque la producción por trabajador ha ido en aumento, casi nada de su rápido crecimiento se debió al aumento de la productividad per cápita (tienen un "residuo de Solow" bajo).).

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