Modelo sigma no lineal

En la teoría del campo cuántico, un no linear σ modelo describe un campo de escalar . que toma valores en un manifold no lineal llamado objetivo T. El no lineal σ-model fue introducido por Gell-Mann " Lévy (1960, sección 6), quien lo nombró después de un campo correspondiente a un mesón sin columna llamado σ en su modelo. Este artículo se refiere principalmente a la cuantificación del modelo de sigma no lineal; consulte el artículo base sobre el modelo de sigma para definiciones generales y formulaciones y resultados clásicos (no cuánticos).

Descripción

El colector objetivo T está equipado con una métrica de Riemann g. Σ es un mapa diferenciable del espacio de Minkowski M (o algún otro espacio) a T .

La densidad lagrangiana en forma quiral contemporánea está dada por

L=12g()∂ ∂ μ μ . . ,∂ ∂ μ μ . . )− − V(). . ){displaystyle {mathcal {}={1over 2}g(partial ^{mu} "Sigmapartial _{mu }Sigma)-V(Sigma)}

donde hemos utilizado una firma métrica + − − − y la derivada parcial ∂Σ está dada por una sección del haz de jet de T×M y V es el potencial.

En la notación de coordenadas, con las coordenadas Σ^a, a = 1 ,..., n donde n es la dimensión de T,

L=12gab(). . )()∂ ∂ μ μ . . a)()∂ ∂ μ μ . . b)− − V(). . ).{displaystyle {mathcal {L}={1over 2}g_{ab}(Sigma)(partial ^{mu }Sigma ^{a})(partial _{mu }Sigma ^{b})-V(Sigma). }

En más de dos dimensiones, los modelos σ no lineales contienen una constante de acoplamiento dimensional y, por lo tanto, no son renormalizables perturbativamente. Sin embargo, exhiben un punto fijo ultravioleta no trivial del grupo de renormalización tanto en la formulación reticular como en la doble expansión propuesta originalmente por Kenneth G. Wilson.

En ambos enfoques, se considera que el punto fijo no trivial del grupo de renormalización encontrado para el modelo simétrico O(n) describe simplemente, en dimensiones mayores que dos, el punto crítico que separa la fase ordenada de la desordenada. Además, las predicciones mejoradas de la teoría cuántica de campos o de celosía se pueden comparar con experimentos de laboratorio sobre fenómenos críticos, ya que el modelo O(n) describe ferroimanes físicos de Heisenberg y sistemas relacionados. Los resultados anteriores apuntan, por lo tanto, a un fracaso de la ingenua teoría de la perturbación a la hora de describir correctamente el comportamiento físico del modelo O(n)-simétrico en dos dimensiones, y a la necesidad de métodos no perturbativos más sofisticados como como la formulación reticular.

Esto significa que sólo pueden surgir como teorías de campo efectivas. Se necesita nueva física alrededor de la escala de distancia donde la función de correlación de dos puntos conectados es del mismo orden que la curvatura de la variedad objetivo. Esto se llama finalización UV de la teoría. Existe una clase especial de modelos σ no lineales con el grupo de simetría interna G *. Si G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie, entonces el espacio cociente G/H es un múltiple (sujeto a ciertas restricciones técnicas como que H es un subconjunto cerrado) y también es un espacio homogéneo de G o, en otras palabras, una realización no lineal de G. En muchos casos, G/H puede equiparse con una métrica de Riemann que es invariante G. Este es siempre el caso, por ejemplo, si G es compacto. Un modelo σ no lineal con G/H como variedad objetivo con una métrica de Riemann invariante G y un potencial cero se denomina espacio cociente (o espacio lateral) no lineal estilo σ modelo.

Al calcular integrales de trayectoria, la medida funcional debe ser "ponderada" por la raíz cuadrada del determinante de g,

DetgD. . .{fnMicrosoft Sans Serif}Sigma.}

Renormalización

Este modelo demostró ser relevante en la teoría de cuerdas, donde la variedad bidimensional se denomina hoja del mundo. Daniel Friedan apreció su renormalizabilidad generalizada. Demostró que la teoría admite una ecuación de grupo de renormalización, en el orden principal de la teoría de perturbaciones, en la forma

λ λ ∂ ∂ gab∂ ∂ λ λ =β β ab()T− − 1g)=Rab+O()T2) ,{displaystyle lambda {frac {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\fnMicrocH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ g_{ab}{partial lambda }=beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2}~,}

R_ab el tensor de Ricci de la variedad objetivo.

Esto representa un flujo de Ricci, que obedece a las ecuaciones de campo de Einstein para la variedad objetivo como un punto fijo. La existencia de tal punto fijo es relevante, ya que garantiza, en este orden de la teoría de perturbaciones, que la invariancia conforme no se pierde debido a correcciones cuánticas, de modo que la teoría cuántica de campos de este modelo es sensible (renormalizable).

La adición adicional de interacciones no lineales que representan anomalías quirales de sabor da como resultado el modelo de Wess-Zumino-Witten, que aumenta la geometría del flujo para incluir la torsión, preservando la renormalizabilidad y conduciendo también a un punto fijo infrarrojo, debido al teleparalelismo ("geometrostasis").

O(3) modelo sigma no lineal

Un ejemplo célebre, de particular interés debido a sus propiedades topológicas, es el O(3) no lineal σ -modelo en 1+1 dimensiones, con la densidad lagrangiana

L=12 ∂ ∂ μ μ n^ ^ ⋅ ⋅ ∂ ∂ μ μ n^ ^ {fnMicroc}= {fnMicroc} {2}cdot partial _{mu }{hat {n}cdot partial _{mu } {hat {n}}

donde n̂=(n₁, n₂, n₃ ) con la restricción n̂⋅n̂=1 y μ=1 ,2.

Este modelo permite soluciones de acción finita topológica, ya que en el espacio infinito la densidad lagrangiana debe desaparecer, lo que significa n̂ = constante en el infinito. Por lo tanto, en la clase de soluciones de acción finita, se puede identificar los puntos en el infinito como un solo punto, es decir, que el espacio-tiempo se puede identificar con una esfera Riemann.

Desde n̂-field vive en una esfera también, la cartografía S²→ S² está en evidencia, las soluciones de las cuales son clasificadas por el segundo grupo de homotopy de una 2-sfera: Estas soluciones se llaman O(3) Instantons.

Este modelo también se puede considerar en 1+2 dimensiones, donde la topología ahora viene sólo de las rebanadas espaciales. Estos son modelados como R^2 con un punto en el infinito, y por lo tanto tienen la misma topología que las instantáneas O(3) en 1+1 dimensiones. Se llaman bombas modelo de sigma.