Modelo semiparamétrico

En estadística, un modelo semiparamétrico es un modelo estadístico que tiene componentes paramétricos y no paramétricos.

Un modelo estadístico es una familia parametrizada de distribuciones: ${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}$ indexado por un parámetro ${\displaystyle \theta }$.

• Un modelo paramétrico es un modelo en el que el parámetro indexación ${\displaystyle \theta }$ es un vector en ${\displaystyle k}$-dimensional Espacio euclidiano, para algún entero no negativo ${\displaystyle k}$. Así, ${\displaystyle \theta }$ es finito-dimensional, y ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}$.
• Con un modelo no paramétrico, el conjunto de posibles valores del parámetro ${\displaystyle \theta }$ es un subconjunto de algún espacio ${\displaystyle V}$, que no es necesariamente finito-dimensional. Por ejemplo, podríamos considerar el conjunto de todas las distribuciones con media 0. Tales espacios son espacios vectoriales con estructura topológica, pero no pueden ser finitos-dimensionales como espacios vectoriales. Así, ${\displaystyle \Theta \subseteq V}$ para un espacio posiblemente infinito ${\displaystyle V}$.
• Con un modelo semiparamétrico, el parámetro tiene un componente finito-dimensional y un componente infinite-dimensional (a menudo una función de valor real definida en la línea real). Así, ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} {k}\times V}$, donde ${\displaystyle V}$ es un espacio infinita.

Puede aparecer al principio que los modelos semiparamétricos incluyen modelos noparamétricos, ya que tienen un componente dimensional infinito y finito. Sin embargo, un modelo semiparamétrico se considera "smaller" que un modelo completamente no paramétrico porque a menudo estamos interesados sólo en el componente finito-dimensional de ${\displaystyle \theta }$. Es decir, el componente dimensional es considerado como un parámetro de molestia. En modelos no paramétricos, por contraste, el interés primario es estimar el parámetro infinite-dimensional. Así, la tarea de estimación es estadísticamente más difícil en los modelos no paramétricos.

Estos modelos suelen utilizar suavizado o núcleos.

Un ejemplo bien conocido de un modelo semiparamétrico es el modelo de riesgos proporcionales de Cox. Si estamos interesados en estudiar el tiempo ${\displaystyle T}$ a un evento como la muerte debido al cáncer o el fracaso de una bombilla, el modelo Cox especifica la siguiente función de distribución para ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}\lambda _{0}(u)e^{\beta x}du\right),}$

Donde ${\displaystyle x}$ es el vector covariado, y ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ son parámetros desconocidos. ${\displaystyle \theta =(\beta\lambda _{0}(u)}$. Aquí. ${\displaystyle \beta }$ es finito-dimensional y es de interés; ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ es una función no negativa desconocida del tiempo (conocida como la función de riesgo de referencia) y es a menudo un parámetro de molestia. El conjunto de posibles candidatos ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ es infinita.

• regresión semiparamétrica
• Modelo estadístico
• Método generalizado de momentos

• Bickel, P. J.; Klaassen, C. A. J.; Ritov, Y.; Wellner, J. A. (1998), Estimación eficiente y adaptativa para modelos semiparamétricos, Springer
• Härdle, Wolfgang; Müller, Marlene; Sperlich, Stefan; Werwatz, Axel (2004), No paramétrica y semiparamétrica Modelos, Springer
• Kosorok, Michael R. (2008), Introducción a los procesos empíricos y semiparamétricos Inferencias, Springer
• Tsiatis, Anastasios A. (2006), semiparamétrica Teoría y datos perdidos, Springer
• Begun, Janet M.; Hall, W. J.; Huang, Wei-Min; Wellner, Jon A. (1983), "Information and asymptotic efficiency in parametric—nonparametric models", Annals of Statistics, 11 (1983), no. 2, 432--452