Modelo lineal

En estadística, el término modelo lineal se utiliza de diferentes formas según el contexto. La ocurrencia más común está relacionada con los modelos de regresión y el término a menudo se toma como sinónimo de modelo de regresión lineal. Sin embargo, el término también se utiliza en el análisis de series de tiempo con un significado diferente. En cada caso, la designación "lineal" se utiliza para identificar una subclase de modelos para los que es posible una reducción sustancial de la complejidad de la teoría estadística relacionada.

Modelos de regresión lineal

Para el caso de regresión, el modelo estadístico es el siguiente. Dada una muestra (aleatoria) ()Yi,Xi1,...... ,Xip),i=1,...... ,n{displaystyle (Y_{i},X_{i1},ldotsX_{ip}),,i=1,ldotsn} la relación entre las observaciones Yi{displaystyle Y... y las variables independientes Xij{displaystyle X_{ij} está formulado

Yi=β β 0+β β 1φ φ 1()Xi1)+⋯ ⋯ +β β pφ φ p()Xip)+ε ε ii=1,...... ,n{displaystyle Y_{i}=beta ¿Por qué? - ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?

Donde φ φ 1,...... ,φ φ p{displaystyle phi _{1},ldotsphi _{p} puede ser funciones no lineales. En lo anterior, las cantidades ε ε i{displaystyle varepsilon _{i} son variables aleatorias que representan errores en la relación. La parte "linear" de la designación se refiere a la aparición de los coeficientes de regresión, β β j{displaystyle beta _{j}} de una manera lineal en la relación anterior. Alternativamente, se puede decir que los valores predichos correspondientes al modelo anterior, es decir,

Y^ ^ i=β β 0+β β 1φ φ 1()Xi1)+⋯ ⋯ +β β pφ φ p()Xip)()i=1,...... ,n),{displaystyle {hat {fnK}}=beta ¿Por qué? ¿Por qué?

son funciones lineales de la β β j{displaystyle beta _{j}}.

Habida cuenta de que la estimación se realiza sobre la base de un análisis mínimo de plazas, estimaciones de los parámetros desconocidos β β j{displaystyle beta _{j}} se determina minimizando una suma de función de cuadrados

S=.. i=1n()Yi− − β β 0− − β β 1φ φ 1()Xi1)− − ⋯ ⋯ − − β β pφ φ p()Xip))2.{displaystyle S=sum ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?

A partir de esto, se puede ver fácilmente que el "lineal" aspecto del modelo significa lo siguiente:

• la función a minimizar es una función cuadrática de la β β j{displaystyle beta _{j}} para el cual la minimización es un problema relativamente simple;
• los derivados de la función son funciones lineales de la β β j{displaystyle beta _{j}} haciendo fácil encontrar los valores que minimizan;
• los valores de minimización β β j{displaystyle beta _{j}} son funciones lineales de las observaciones Yi{displaystyle Y...;
• los valores de minimización β β j{displaystyle beta _{j}} son funciones lineales de los errores aleatorios ε ε i{displaystyle varepsilon _{i} que hace relativamente fácil determinar las propiedades estadísticas de los valores estimados β β j{displaystyle beta _{j}}.

Modelos de series temporales

Un ejemplo de un modelo de serie de tiempo lineal es un modelo promedio de movimiento autoregresivo. Aquí el modelo de valores {Xt{displaystyle X_{t}} en una serie de tiempo se puede escribir en la forma

Xt=c+ε ε t+.. i=1pφ φ iXt− − i+.. i=1qSilencio Silencio iε ε t− − i.{displaystyle X_{t}=c+varepsilon ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ##{i=1} {qq}theta _{i}varepsilon ¿Qué?

donde de nuevo las cantidades ε ε i{displaystyle varepsilon _{i} son variables aleatorias que representan innovaciones que son nuevos efectos aleatorios que aparecen en un determinado momento, pero también afectan valores X{displaystyle X} más tarde. En este caso el uso del término "modelo lineal" se refiere a la estructura de la relación anterior en representación Xt{displaystyle X_{t} como función lineal de valores pasados de la misma serie de tiempo y de valores actuales y pasados de las innovaciones. Este aspecto particular de la estructura significa que es relativamente simple derivar relaciones para las propiedades media y covariancia de la serie temporal. Tenga en cuenta que aquí la parte "linear" del término "modelo lineal" no se refiere a los coeficientes φ φ i{displaystyle phi _{i} y Silencio Silencio i{displaystyle theta _{i}, como sería en el caso de un modelo de regresión, que se ve estructuralmente similar.

Otros usos en estadística

Hay otros casos en los que "modelo no lineal" se utiliza para contrastar con un modelo estructurado linealmente, aunque el término "modelo lineal" no se suele aplicar. Un ejemplo de esto es la reducción de dimensionalidad no lineal.