Modelo de Solow-Swan

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Modelo de crecimiento económico a largo plazo

El Modelo Solow-Swan o modelo de crecimiento exógeno es un modelo económico de crecimiento económico a largo plazo. Trata de explicar el crecimiento económico a largo plazo mirando la acumulación de capital, el crecimiento laboral o de población, y el aumento de la productividad impulsado en gran medida por el progreso tecnológico. En su núcleo, es una función de producción agregada, a menudo especificada para ser de tipo Cobb-Douglas, que permite al modelo "hacer contacto con microeconómicos". El modelo fue desarrollado independientemente por Robert Solow y Trevor Swan en 1956, y superó el modelo Keynesian Harrod-Domar.

Matemáticamente, el modelo de Solow-Swan es un sistema no lineal que consta de una única ecuación diferencial ordinaria que modela la evolución del stock de capital per cápita. Debido a sus características matemáticas particularmente atractivas, Solow-Swan demostró ser un punto de partida conveniente para varias extensiones. Por ejemplo, en 1965, David Cass y Tjalling Koopmans integraron el análisis de optimización del consumidor de Frank Ramsey, endogenizando así la tasa de ahorro, para crear lo que ahora se conoce como el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans.

Fondo

El modelo de Solow-Swan fue una extensión del modelo Harrod-Domar de 1946 que abandonó el supuesto restrictivo de que sólo el capital contribuye al crecimiento (siempre que haya suficiente mano de obra para utilizar todo el capital). Contribuciones importantes al modelo provinieron del trabajo realizado por Solow y Swan en 1956, quienes desarrollaron de forma independiente modelos de crecimiento relativamente simples. El modelo de Solow ajustó con cierto éxito los datos disponibles sobre el crecimiento económico de Estados Unidos. En 1987, Solow recibió el Premio Nobel de Economía por su trabajo. Hoy en día, los economistas utilizan la contabilidad de fuentes de crecimiento de Solow para estimar los efectos separados sobre el crecimiento económico del cambio tecnológico, el capital y la mano de obra.

El modelo de Solow es también uno de los modelos más utilizados en economía para explicar el crecimiento económico. Básicamente, afirma que los resultados sobre la "productividad total de los factores (PTF) pueden conducir a aumentos ilimitados en el nivel de vida de un país".

Extensión al modelo Harrod-Domar

Solow amplió el modelo Harrod-Domar agregando la mano de obra como factor de producción y relaciones capital-producto que no son fijas como lo son en el modelo Harrod-Domar. Estos refinamientos permiten distinguir la creciente intensidad de capital del progreso tecnológico. Solow considera que la función de producción de proporciones fijas es un “supuesto crucial” para el desarrollo. a los resultados de inestabilidad en el modelo Harrod-Domar. Su propio trabajo amplía esto explorando las implicaciones de especificaciones alternativas, a saber, la Cobb-Douglas y la elasticidad de sustitución constante (CES) más general. Aunque ésta se ha convertido en la historia canónica y celebrada en la historia de la economía, presentada en muchos libros de texto económicos, una reciente reevaluación del trabajo de Harrod la ha cuestionado. Una crítica central es que el artículo original de Harrod no se ocupaba principalmente del crecimiento económico ni utilizaba explícitamente una función de producción de proporciones fijas.

Implicaciones a largo plazo

Un modelo estándar de Solow predice que, a largo plazo, las economías convergen hacia su equilibrio de estado estacionario y que el crecimiento permanente sólo se puede lograr mediante el progreso tecnológico. Ambos cambios en el ahorro y en el crecimiento poblacional sólo causan efectos de nivel en el largo plazo (es decir, en el valor absoluto del ingreso real per cápita). Una implicación interesante del modelo de Solow es que los países pobres deberían crecer más rápido y eventualmente alcanzar a los países más ricos. Esta convergencia podría explicarse por:

Lags en la difusión del conocimiento. Las diferencias de ingresos reales pueden reducirse a medida que los países pobres reciben mejor tecnología e información;
La asignación eficiente de las corrientes internacionales de capital, ya que la tasa de rendimiento del capital debe ser mayor en los países más pobres. En la práctica, esto raramente se observa y se conoce como paradoja de Lucas;
Una implicación matemática del modelo (asumiendo que los países pobres todavía no han alcanzado su estado estable).

Baumol intentó verificar esto empíricamente y encontró una correlación muy fuerte entre las variables de un país. crecimiento de la producción durante un largo período de tiempo (1870 a 1979) y su riqueza inicial. Más tarde, sus hallazgos fueron cuestionados por DeLong, quien afirmó que tanto la no aleatoriedad de los países incluidos en la muestra como la posibilidad de errores de medición significativos en las estimaciones del ingreso real per cápita en 1870 sesgaron los hallazgos de Baumol. DeLong concluye que hay poca evidencia que respalde la teoría de la convergencia.

Suposiciones

El supuesto clave del modelo de crecimiento de Solow-Swan es que el capital está sujeto a rendimientos decrecientes en una economía cerrada.

Dado un stock fijo de mano de obra, el impacto en la salida de la última unidad de capital acumulada siempre será inferior al anterior.
Asumiendo que no haya progreso tecnológico ni crecimiento de la fuerza laboral, la disminución de los rendimientos implica que en algún momento la cantidad de nuevo capital producido es sólo suficiente para compensar la cantidad de capital existente perdido debido a la depreciación. En este momento, debido a las suposiciones de ningún progreso tecnológico o crecimiento de la fuerza laboral, podemos ver que la economía deja de crecer.
Suponiendo que las tasas de crecimiento laboral no cero compliquen algo, pero la lógica básica sigue siendo aplicable – a corto plazo, la tasa de crecimiento disminuye a medida que los rendimientos disminuyen entran en vigor y la economía converge a una tasa de crecimiento constante "estado" (es decir, no crecimiento económico per cápita).
Incluir el progreso tecnológico no cero es muy similar a la asunción de crecimiento laboral no cero, en términos de "trabajo efectivo": un nuevo estado estable se alcanza con salida constante por horas de trabajo requeridas para una unidad de salida. Sin embargo, en este caso, la producción per cápita crece a la velocidad del progreso tecnológico en el "estado estable" (es decir, la tasa de crecimiento de la productividad).

Variaciones en los efectos de la productividad

En el modelo de Solow-Swan, el cambio inexplicable en el crecimiento de la producción después de tener en cuenta el efecto de la acumulación de capital se denomina residuo de Solow. Este residual mide el aumento exógeno de la productividad total de los factores (PTF) durante un período de tiempo particular. El aumento de la PTF a menudo se atribuye enteramente al progreso tecnológico, pero también incluye cualquier mejora permanente en la eficiencia con la que se combinan los factores de producción a lo largo del tiempo. Implícitamente, el crecimiento de la PTF incluye cualquier mejora permanente de la productividad que resulte de mejores prácticas de gestión en los sectores público y privado de la economía. Paradójicamente, aunque el crecimiento de la PTF es exógeno en el modelo, no puede observarse, por lo que sólo puede estimarse junto con la estimación simultánea del efecto de la acumulación de capital sobre el crecimiento durante un período de tiempo particular.

El modelo se puede reformular de maneras ligeramente diferentes utilizando diferentes supuestos de productividad o diferentes métricas de medición:

Promedio de productividad laboral ()ALP) es la producción económica por hora laboral.
Productividad multifactorialMFP) es la salida dividida por un promedio ponderado de entradas de capital y mano de obra. Los pesos utilizados generalmente se basan en las acciones agregadas de entrada o factor gana. Esta proporción se cita a menudo como: 33% de regreso al capital y 67% de regreso al trabajo (en naciones occidentales).

En una economía en crecimiento, el capital se acumula más rápido de lo que nacen las personas, por lo que el denominador en la función de crecimiento bajo el cálculo MFP está creciendo más rápido que en el cálculo ALP. Por lo tanto, el crecimiento de la MFP es casi siempre menor que el crecimiento de la ALP. (Por lo tanto, medir en términos de ALP aumenta el aparente efecto de profundización del capital). La MFP se mide por el “residual de Solow”, no por el ALP.

Matemáticas del modelo

El modelo de libro de texto Solow-Swan se establece en el mundo de tiempo continuo sin gobierno ni comercio internacional. Un único bien (salida) se produce utilizando dos factores de producción, trabajo ( ${displaystyle L}$ ) y capital ( ${displaystyle K}$ ) en una función de producción agregada que satisface las condiciones Inada, lo que implica que la elasticidad de la sustitución debe ser asintoticamente igual a una.

{displaystyle Y(t)=K(t)^{alpha }(A(t)L(t))^{1-alpha },}

Donde ${displaystyle t}$ denota tiempo, $<math alttext="{displaystyle 0<alpha 0c)α α c)1{displaystyle 0 . <img alt="{displaystyle 0<alpha$ es la elasticidad de la producción con respecto al capital, y ${displaystyle Y(t)}$ representa la producción total. ${displaystyle A}$ se refiere a la tecnología de aumento del trabajo o “conocimiento”, por lo tanto ${displaystyle AL}$ representa trabajo efectivo. Todos los factores de producción se emplean plenamente, y los valores iniciales ${displaystyle A(0)}$ , ${displaystyle K(0)}$ , y ${displaystyle L(0)}$ se dan. El número de trabajadores, es decir, el trabajo, así como el nivel de tecnología crecen exógenamente a tasas ${displaystyle n}$ y ${displaystyle g}$ , respectivamente:

{displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}

{displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}

El número de unidades efectivas de trabajo, ${displaystyle A(t)L(t)}$ , por lo tanto crece a ritmo ${displaystyle (n+g)}$ . Mientras tanto, el capital se deprecia con el tiempo a un ritmo constante ${displaystyle delta }$ . Sin embargo, sólo una fracción de la salida ( ${displaystyle cY(t)}$ con $<math alttext="{displaystyle 0<c0c)cc)1{displaystyle 0 sec se hizo realidad] <img alt="{displaystyle 0<c$ ) se consume, dejando una parte salvada ${displaystyle s=1-c}$ para la inversión. Esta dinámica se expresa a través de la siguiente ecuación diferencial:

{displaystyle {dot {K}}(t)=scdot Y(t)-delta cdot K(t),}

Donde ${displaystyle {dot {K}}}$ es corto para ${displaystyle {frac {dK(t)}{dt}}}$ , el derivado con respecto al tiempo. Derivado con respecto al tiempo significa que es el cambio de capital, que no se consume ni se utiliza para sustituir bienes de capital viejos gastados, es la inversión neta.

Desde la función de producción ${displaystyle Y(K,AL)}$ tiene retornos constantes a escala, puede ser escrito como producción por unidad de trabajo efectiva ${displaystyle y}$ , que es una medida para la creación de riqueza:

{displaystyle y(t)={frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{alpha }}

El interés principal del modelo es la dinámica de la intensidad de capital ${displaystyle k}$ , el capital por unidad de trabajo efectivo. Su comportamiento con el tiempo se da por la ecuación clave del modelo Solow-Swan:

{displaystyle {dot {k}}(t)=sk(t)^{alpha }-(n+g+delta)k(t)}

El primer mandato, ${displaystyle sk(t)^{alpha }=sy(t)}$ , es la inversión real por unidad de trabajo eficaz: la fracción ${displaystyle s}$ de la producción por unidad de trabajo eficaz ${displaystyle y(t)}$ que se salva e invierte. El segundo mandato, ${displaystyle (n+g+delta)k(t)}$ , es la “inversión innovadora”: la cantidad de inversión que debe invertirse para prevenir ${displaystyle k}$ de caer. La ecuación implica que ${displaystyle k(t)}$ converge a un valor de estado fijo ${displaystyle k^{*}}$ , definida por ${displaystyle sk(t)^{alpha }=(n+g+delta)k(t)}$ , en el que no hay un aumento ni una disminución de la intensidad de capital:

{displaystyle k^{*}=left({frac {s}{n+g+delta }}right)^{1/(1-alpha)},}

en la que el capital ${displaystyle K}$ y trabajo efectivo ${displaystyle AL}$ están creciendo a ritmo ${displaystyle (n+g)}$ . Asimismo, es posible calcular el estado estable de la riqueza creada ${displaystyle y^{*}}$ que corresponde con ${displaystyle k^{*}}$ :

{displaystyle y^{*}=left({frac {s}{n+g+delta }}right)^{alpha /(1-alpha)},}

Asunción de rendimientos constantes, salida ${displaystyle Y}$ también está creciendo a ese ritmo. En esencia, el modelo Solow-Swan predice que una economía convergerá en un equilibrio de crecimiento equilibrado, independientemente de su punto de partida. En esta situación, el crecimiento de la producción por trabajador se determina únicamente por la tasa de progreso tecnológico.

Puesto que, por definición, ${displaystyle {frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-alpha }}$ En el equilibrio ${displaystyle k^{*}}$ tenemos

{displaystyle {frac {K(t)}{Y(t)}}={frac {s}{n+g+delta }}}

Por lo tanto, en el equilibrio, la relación capital/producción depende sólo de las tasas de ahorro, crecimiento y depreciación. Ésta es la versión del modelo de Solow-Swan de la tasa de ahorro de la regla de oro.

Desde $<math alttext="{displaystyle {alpha }α α c)1{displaystyle {alpha}traducido1} <img alt="{displaystyle {alpha }$ , en cualquier momento ${displaystyle t}$ el producto marginal del capital ${displaystyle K(t)}$ en el modelo Solow-Swan está inversamente relacionado con la relación capital/labor.

{displaystyle MPK={frac {partial Y}{partial K}}={frac {alpha A^{1-alpha }}{(K/L)^{1-alpha }}}}

Si la productividad ${displaystyle A}$ es lo mismo en todos los países, luego países con menos capital por trabajador ${displaystyle K/L}$ tienen un producto marginal superior, que proporcionaría un mayor rendimiento de la inversión de capital. En consecuencia, el modelo prevé que, en un mundo de economías de mercado abierto y de capital financiero mundial, las inversiones fluirán de países ricos a países pobres, hasta que el capital/trabajador ${displaystyle K/L}$ e ingresos/trabajo ${displaystyle Y/L}$ se iguala a todos los países.

Dado que el producto marginal del capital físico no es mayor en los países pobres que en los países ricos, la implicación es que la productividad es menor en los países pobres. El modelo básico de Solow no puede explicar por qué la productividad es menor en estos países. Lucas sugirió que los niveles más bajos de capital humano en los países pobres podrían explicar la menor productividad.

Porque el producto marginal del capital ${displaystyle {frac {partial Y}{partial K}}}$ iguala la tasa de retorno ${displaystyle r}$

{displaystyle alpha ={frac {K{frac {partial Y}{partial K}}}{Y}}={frac {rK}{Y}},}

así ${displaystyle alpha }$ es la fracción de ingresos consignada por el capital. Así, el modelo Solow-Swan asume desde el principio que la división de ingresos del capital laboral es constante.

Versión Mankiw–Romer–Weil del modelo

Adición del capital humano

En 1992, N. Gregory Mankiw, David Romer y David N. Weil teorizaron una versión del modelo de Solow-Swan, ampliado para incluir el papel del capital humano, que puede explicar el fracaso de la inversión internacional en llegar a los pobres. países. En este modelo, la producción y el producto marginal del capital (K) son menores en los países pobres porque tienen menos capital humano que los países ricos.

Similar al modelo de Solow-Swan del libro de texto, la función de producción es del tipo Cobb-Douglas:

{displaystyle Y(t)=K(t)^{alpha }H(t)^{beta }(A(t)L(t))^{1-alpha -beta },}

Donde ${displaystyle H(t)}$ es el capital humano, que deprecia al mismo ritmo ${displaystyle delta }$ como capital físico. Para la simplicidad, asumen la misma función de acumulación para ambos tipos de capital. Como en Solow-Swan, una fracción del resultado, ${displaystyle sY(t)}$ , se salva cada período, pero en este caso se dividió e invirtió en parte en física y en parte en capital humano, tal que ${displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$ . Por lo tanto, hay dos ecuaciones dinámicas fundamentales en este modelo:

{displaystyle {dot {k}}=s_{K}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)k}

{displaystyle {dot {h}}=s_{H}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)h}

El camino de crecimiento equilibrado (o estable) del equilibrio está determinado por ${displaystyle {dot {k}}={dot {h}}=0}$ , lo que significa ${displaystyle s_{K}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)k=0}$ y ${displaystyle s_{H}k^{alpha }h^{beta }-(n+g+delta)h=0}$ . Resolver el nivel de estado estable ${displaystyle k}$ y ${displaystyle h}$ rendimientos:

{displaystyle k^{*}=left({frac {s_{K}^{1-beta }s_{H}^{beta }}{n+g+delta }}right)^{frac {1}{1-alpha -beta }}}

{displaystyle h^{*}=left({frac {s_{K}^{alpha }s_{H}^{1-alpha }}{n+g+delta }}right)^{frac {1}{1-alpha -beta }}}

En el estado estable, ${displaystyle y^{*}=(k^{*})^{alpha }(h^{*})^{beta }}$ .

Estimaciones econométricas

Klenow y Rodríguez-Clare arrojan dudas sobre la validez del modelo aumentado porque Mankiw, Romer y Weil estiman que ${displaystyle {beta }}$ no parecía consistente con estimaciones aceptadas del efecto de los aumentos en la escolarización en los salarios de los trabajadores. Aunque el modelo estimado explicaba el 78% de la variación de los ingresos en los países, las estimaciones ${displaystyle {beta }}$ implica que los efectos externos del capital humano sobre los ingresos nacionales son mayores que su efecto directo sobre los salarios de los trabajadores.

Contabilización de efectos externos

Theodore Breton proporcionó una idea que reconciliaba el gran efecto que la escolaridad tiene en el capital humano en el modelo de Mankiw, Romer y Weil con el efecto más pequeño de la escolaridad en la productividad de los trabajadores. salarios. Demostró que las propiedades matemáticas del modelo incluyen efectos externos significativos entre los factores de producción, porque el capital humano y el capital físico son factores de producción multiplicativos. El efecto externo del capital humano sobre la productividad del capital físico es evidente en el producto marginal del capital físico:

{displaystyle MPK={frac {partial Y}{partial K}}={frac {alpha A^{1-alpha }(H/L)^{beta }}{(K/L)^{1-alpha }}}}

Mostró que las grandes estimaciones del efecto del capital humano en las estimaciones del modelo entre países son consistentes con el efecto más pequeño que normalmente se encuentra en el capital humano de los trabajadores. salarios cuando se tienen en cuenta los efectos externos del capital humano sobre el capital físico y el trabajo. Esta idea refuerza significativamente los argumentos a favor de la versión de Mankiw, Romer y Weil del modelo de Solow-Swan. La mayoría de los análisis que critican este modelo no tienen en cuenta los efectos pecuniarios externos de ambos tipos de capital inherentes al modelo.

Productividad total de los factores

La tasa exógena de crecimiento de la PTF (productividad total de los factores) en el modelo de Solow-Swan es el residual después de tener en cuenta la acumulación de capital. El modelo de Mankiw, Romer y Weil proporciona una estimación más baja de la PTF (residual) que el modelo básico de Solow-Swan porque la adición de capital humano al modelo permite que la acumulación de capital explique una mayor parte de la variación del ingreso entre países. En el modelo básico, el residuo de la PTF incluye el efecto del capital humano porque el capital humano no está incluido como factor de producción.

Convergencia condicional

El modelo de Solow-Swan ampliado con capital humano predice que los niveles de ingresos de los países pobres tenderán a alcanzar o convergir hacia los niveles de ingresos de los países ricos si los países pobres tienen tasas de ahorro similares tanto para el capital físico como para el capital humano como porcentaje de la producción, un proceso conocido como convergencia condicional. Sin embargo, las tasas de ahorro varían ampliamente entre países. En particular, dado que existen considerables restricciones financieras para la inversión en educación, es probable que las tasas de ahorro para capital humano varíen en función de las características culturales e ideológicas de cada país.

Desde la década de 1950, la producción/trabajador en los países ricos y pobres generalmente no ha convergido, pero aquellos países pobres que han aumentado considerablemente sus tasas de ahorro han experimentado la convergencia de ingresos predicha por el modelo de Solow-Swan. Por ejemplo, la relación producción/trabajador en Japón, un país que alguna vez fue relativamente pobre, ha convergido al nivel de los países ricos. Japón experimentó altas tasas de crecimiento después de aumentar sus tasas de ahorro en las décadas de 1950 y 1960, y ha experimentado una desaceleración del crecimiento de la producción/trabajador desde que sus tasas de ahorro se estabilizaron alrededor de 1970, como lo predijo el modelo.

Los niveles de ingreso per cápita de los estados del sur de Estados Unidos han tendido a converger con los niveles de los estados del norte. La convergencia observada en estos estados también es consistente con el concepto de convergencia condicional. Que se produzca una convergencia absoluta entre países o regiones depende de si tienen características similares, tales como:

Política de educación
Arreglos institucionales
Mercados libres internamente y política comercial con otros países.

Evidencia adicional de la convergencia condicional proviene de regresiones multivariadas entre países.

Análisis econométrico de Singapur y los otros "tigres de Asia oriental" ha producido el sorprendente resultado de que, si bien la producción por trabajador ha ido aumentando, casi nada de su rápido crecimiento se debió al aumento de la productividad per cápita (tienen un bajo "residuo de Solow").

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