Modelo de precios de opciones binomiales

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Método numérico para la valoración de las opciones financieras

En finanzas, el modelo de valoración de opciones binomial (BOPM) proporciona un método numérico generalizable para la valoración de opciones. Esencialmente, el modelo utiliza un "tiempo discreto" (basado en celosía) del precio variable a lo largo del tiempo del instrumento financiero subyacente, que aborda los casos en los que la fórmula de Black-Scholes de forma cerrada es deficiente.

El modelo binomial fue propuesto por primera vez por William Sharpe en la edición de 1978 de Investments (ISBN 013504605X), y fue formalizado por Cox, Ross y Rubinstein en 1979 y por Rendleman y Bartter ese mismo año.

Para obtener información sobre los árboles binomiales aplicados a los derivados de tipos de interés y de renta fija, consulte el modelo Lattice (finanzas) § Derivados de tipos de interés.

Uso del modelo

El enfoque del modelo de fijación de precios de opciones binomiales ha sido ampliamente utilizado ya que es capaz de manejar una variedad de condiciones para las cuales otros modelos no se pueden aplicar fácilmente. Esto se debe en gran medida a que el BOPM se basa en la descripción de un instrumento subyacente durante un período de tiempo en lugar de un punto único. Como consecuencia, se utiliza para valorar las opciones estadounidenses que se pueden ejercer en cualquier momento en un intervalo determinado, así como las opciones de las Bermudas que se pueden ejercer en instancias de tiempo específicas. Siendo relativamente simple, el modelo es fácilmente implementable en software de computadora (incluyendo una hoja de cálculo).

Aunque es más lenta desde el punto de vista computacional que la fórmula de Black-Scholes, es más precisa, especialmente para las opciones a más largo plazo sobre valores con pago de dividendos. Por estas razones, los profesionales de los mercados de opciones utilizan ampliamente varias versiones del modelo binomial.

Para opciones con varias fuentes de incertidumbre (p. ej., opciones reales) y para opciones con características complicadas (p. ej., opciones asiáticas), los métodos binomiales son menos prácticos debido a varias dificultades y, en su lugar, se utilizan comúnmente los modelos de opciones de Monte Carlo. Cuando se simula una pequeña cantidad de pasos de tiempo, la simulación de Monte Carlo requerirá más tiempo computacional que BOPM (cf. métodos de Monte Carlo en finanzas). Sin embargo, el tiempo de ejecución de BOPM en el peor de los casos será O(2n), donde n es el número de pasos de tiempo en la simulación. Las simulaciones de Monte Carlo generalmente tendrán una complejidad de tiempo polinomial y serán más rápidas para un gran número de pasos de simulación. Las simulaciones de Monte Carlo también son menos susceptibles a los errores de muestreo, ya que las técnicas binomiales utilizan unidades de tiempo discretas. Esto se vuelve más cierto cuanto más pequeñas se vuelven las unidades discretas.

Método

función América Put(T, S, K, r, sigma, q, n) {} T... tiempo de caducidad ' S... precio de stock K... precio de huelga Q... rendimiento de dividendos ' n... altura del árbol binomiodeltaT:= T / n; arriba:= exp(sigma * sqrt(deltaT)); p0:= (upexp(-q deltaT) - exp(-r * deltaT)) / (up^2 - 1); p1:= exp(-r * deltaT) - p0; ' valores iniciales a tiempo T para i:= 0 a # p[i]:= K - S * up^(2i - n); si p[i] entonces* p[i]:= 0; } "Muévete a tiempos anteriores" para j:= n- 1 abajo 0 para i:= 0 a j valor binomialp[i]:= p0 * p[i+1] + p1 * p[i]; Valor de ejercicioejercicio:= K - S * up^(2i - j); si p[i] entonces* p[i]:= ejercicio; } } retorno americanPut:= p[0]; }

función América Put(T, S, K, r, sigma, q, n)
{}
 T... tiempo de caducidad
' S... precio de stock
K... precio de huelga
Q... rendimiento de dividendos
' n... altura del árbol binomiodeltaT:= T / n;
arriba:= exp(sigma * sqrt(deltaT));
p0:= (up*exp(-q * deltaT) - exp(-r * deltaT)) / (up^2 - 1);
p1:= exp(-r * deltaT) - p0;
 ' valores iniciales a tiempo T para i:= 0 a #
p[i]:= K - S * up^(2*i - n);
 si p[i] entonces p[i]:= 0;
}
 "Muévete a tiempos anteriores" para j:= n- 1 abajo 0
 para i:= 0 a j
 valor binomialp[i]:= p0 * p[i+1] + p1 * p[i];
 Valor de ejercicioejercicio:= K - S * up^(2*i - j);
 si p[i] entonces p[i]:= ejercicio;
}
}
 retorno americanPut:= p[0];
}

El modelo de fijación de precios binomial rastrea la evolución de las variables subyacentes clave de la opción en tiempo discreto. Esto se hace por medio de una red binomial (Tree), por un número de pasos de tiempo entre las fechas de valuación y vencimiento. Cada nodo de la red representa un posible precio del subyacente en un momento determinado.

La valoración se realiza de forma iterativa, comenzando en cada uno de los nodos finales (aquellos que pueden alcanzarse en el momento del vencimiento) y luego retrocediendo a través del árbol hasta el primer nodo (fecha de valoración). El valor calculado en cada etapa es el valor de la opción en ese momento.

La valoración de opciones con este método es, como se describe, un proceso de tres pasos:

Generación de árboles de precio,
Cálculo del valor de opción en cada nodo final,
Cálculo secuencial del valor de opción en cada nodo anterior.

Paso 1: Cree el árbol de precios binomial

El árbol de precios se produce trabajando desde la fecha de valoración hasta el vencimiento.

En cada paso, se asume que el instrumento subyacente se moverá hacia arriba o hacia abajo por un factor específico ( $u$ o $d$ ) por paso del árbol (donde, por definición, $u ge 1$ y $<math alttext="{displaystyle 00.d\leq \leq 1{displaystyle 0 madeleq 1} <img alt="0$ ). Entonces, si $S$ es el precio actual, entonces en el próximo período el precio será $S_{up} = S cdot u$ o $S_{down} = S cdot d$ .

Los factores de arriba y abajo se calculan utilizando la volatilidad subyacente, $sigma$ , y la duración del tiempo de un paso, $t$ , medido en años (utilizando la convención de la cuenta diurna del instrumento subyacente). De la condición de que la varianza del registro del precio es $sigma^2 t$ , tenemos:

{displaystyle u=e^{sigma {sqrt {Delta }}t}}

{displaystyle d=e^{-sigma {sqrt {Delta }}t}={frac {1}{u}}.}

Arriba está el original Cox, Ross, & método de Rubinstein (CRR); existen varias otras técnicas para generar la red, como "las probabilidades iguales" árbol, mira.

El método CRR garantiza que el árbol sea recombinante, es decir, si el activo subyacente se mueve hacia arriba y luego hacia abajo (u,d), el precio será el mismo que si se hubiera movido hacia abajo y luego hacia arriba (d,u)— aquí los dos caminos se fusionan o se recombinan. Esta propiedad reduce el número de nodos del árbol y, por lo tanto, acelera el cálculo del precio de la opción.

Esta propiedad también permite que el valor del activo subyacente en cada nodo se calcule directamente a través de una fórmula y no requiere que se construya primero el árbol. El valor del nodo será:

{displaystyle S_{n}=S_{0}times u^{N_{u}-N_{d}},}

Donde $N_{u}$ es el número de garrapatas arriba y $N_{d}$ es el número de garrapatas abajo.

Paso 2: encuentre el valor de la opción en cada nodo final

En cada nodo final del árbol, es decir, al vencimiento de la opción, el valor de la opción es simplemente su valor intrínseco o de ejercicio:

Max S n - K), 0 ]

, para una opción de llamada

Max K - S n), 0 ]

, para una opción de poner,

Donde $K$ es el precio de la huelga $S_{n}$ es el precio puntual del activo subyacente en el $n$ ^T período.

Paso 3: busque el valor de la opción en los nodos anteriores

Una vez que se completa el paso anterior, se encuentra el valor de la opción para cada nodo, comenzando en el penúltimo paso de tiempo y retrocediendo hasta el primer nodo del árbol (la fecha de valoración) donde el resultado calculado es el valor de la opción.

Resumen: el "valor binomial" se encuentra en cada nodo, utilizando el supuesto de neutralidad al riesgo; véase Valoración neutral al riesgo. Si se permite el ejercicio en el nodo, entonces el modelo toma el mayor valor binomial y de ejercicio en el nodo.

Los pasos son los siguientes:

Bajo la suposición de neutralidad de riesgo, el precio justo de hoy de un derivado es igual al valor esperado de su futura compensación descontado por la tasa libre de riesgo. Por lo tanto, el valor esperado se calcula utilizando los valores de opción de los dos nodos posteriores (Opción arriba y Opción baja) ponderado por sus respectivas probabilidades - "probabilidad" p de un movimiento hacia arriba en el subyacente, y "probabilidad" (1-p) de un movimiento hacia abajo. El valor esperado es entonces descontado r, la tasa libre de riesgo correspondiente a la vida de la opción.
La siguiente fórmula para calcular el valor de expectativa se aplica en cada nodo:
${displaystyle {text{ Binomial Value }}=[ptimes {text{ Option up }}+(1-p)times {text{ Option down] }}times exp(-rtimes Delta t)}$ , o
${displaystyle C_{t-Delta t,i}=e^{-rDelta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1}),}$
Donde
$C_{t,i} ,$ es el valor de la opción para $i^{th} ,$ nodo a la vez $t$ ,
$p = frac{e^{(r-q) Delta t} - d}{u - d}$ es elegido tal que la distribución binomial relacionada simula el movimiento geométrico Brownian del stock subyacente con parámetros r y σ,
$q$ es el rendimiento de dividendo de la correspondiente a la vida de la opción. De ello se desprende que en un precio de futuro del mundo neutro por riesgo debe tener una tasa de crecimiento prevista de cero y por lo tanto podemos considerar $q=r$ para futuros.
Note que para $p$ para estar en el intervalo $(0,1)$ la siguiente condición $Delta t$ tiene que estar satisfecho $<math alttext="{displaystyle Delta tΔ Δ t.σ σ 2()r− − q)2{displaystyle Delta t won{frac {sigma ^{2} {cH00}}} {cH00}}} {cH00}} {cH00}}} {cH00}}<img alt="Delta t$ .
(Nota que el enfoque de valoración alternativa, fijación de precios libres de arbitraje, produce resultados idénticos; véase “delta-hedging”.)
Este resultado es el "valor económico". Representa el precio justo del derivado en un momento particular (es decir, en cada nodo), dada la evolución en el precio del subyacente a ese punto. Es el valor de la opción si se debía mantener, en lugar de ejercer en ese momento.
Dependiendo del estilo de la opción, evalúe la posibilidad de ejercicio temprano en cada nodo: si (1) la opción puede ser ejercida, y (2) el valor de ejercicio excede el Valor Binomial, entonces (3) el valor en el nodo es el valor de ejercicio.
- Para una opción europea, no hay opción de ejercicio temprano, y el valor binomio se aplica en todos los nodos.
- Para una opción americana, ya que la opción puede ser sostenida o ejercida antes de la expiración, el valor en cada nodo es: Max (valor económico, valor de ejercicio).
- Para una opción de las Bermudas, el valor en los nodos donde se permite el ejercicio temprano es: Max (valor monetario, valor del ejercicio); en los nodos donde no se permite el ejercicio temprano, sólo se aplica el valor binomio.

Al calcular el valor en el siguiente paso de tiempo calculado, es decir, un paso más cerca de la valoración: el modelo debe usar el valor seleccionado aquí, para "Opción arriba"/"Opción abajo" según corresponda, en la fórmula en el nodo. El algoritmo aparte demuestra el enfoque que calcula el precio de una opción de venta estadounidense, aunque se puede generalizar fácilmente para llamadas y para opciones europeas y bermudeñas:

Relación con Black–Scholes

Supuestos similares sustentan tanto el modelo binomial como el modelo Black-Scholes, y el modelo binomial proporciona una aproximación de tiempo discreto al proceso continuo subyacente al modelo Black-Scholes. El modelo binomial asume que los movimientos en el precio siguen una distribución binomial; para muchos ensayos, esta distribución binomial se aproxima a la distribución logarítmica normal asumida por Black-Scholes. Entonces, en este caso, para las opciones europeas sin dividendos, el valor del modelo binomial converge en el valor de la fórmula de Black-Scholes a medida que aumenta el número de pasos de tiempo.

Además, cuando se analiza como un procedimiento numérico, el método binomial CRR puede verse como un caso especial del método explícito de diferencias finitas para la EDP de Black-Scholes; consulte los métodos de diferencias finitas para la valoración de opciones.

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