Modelo de celosía (física)

En física matemática, un modelo de celosía es un modelo matemático de un sistema físico que se define en una celosía, a diferencia de un continuo, como el continuo del espacio o el espaciotiempo. Los modelos de celosía ocurrieron originalmente en el contexto de la física de la materia condensada, donde los átomos de un cristal forman automáticamente una celosía. Actualmente, los modelos reticulares son bastante populares en la física teórica, por muchas razones. Algunos modelos tienen una solución exacta y, por lo tanto, ofrecen una visión de la física más allá de lo que se puede aprender de la teoría de perturbaciones. Los modelos de celosía también son ideales para el estudio mediante métodos de física computacional, ya que la discretización de cualquier modelo continuo lo convierte automáticamente en un modelo de celosía. La solución exacta a muchos de estos modelos (cuando son solucionables) incluye la presencia de solitones. Las técnicas para resolverlos incluyen la transformada de dispersión inversa y el método de los pares de Lax, la ecuación de Yang-Baxter y los grupos cuánticos. La solución de estos modelos ha proporcionado información sobre la naturaleza de las transiciones de fase, la magnetización y el comportamiento de escalado, así como sobre la naturaleza de la teoría cuántica de campos. Los modelos de red física frecuentemente ocurren como una aproximación a una teoría del continuo, ya sea para dar un límite ultravioleta a la teoría para evitar divergencias o para realizar cálculos numéricos. Un ejemplo de una teoría del continuo ampliamente estudiada por los modelos de celosía es el modelo de celosía QCD, una discretización de la cromodinámica cuántica. Sin embargo, la física digital considera que la naturaleza es fundamentalmente discreta en la escala de Planck, que impone un límite superior a la densidad de la información, también conocido como principio holográfico. De manera más general, la teoría de calibre de celosía y la teoría del campo de celosía son áreas de estudio. Los modelos de celosía también se utilizan para simular la estructura y la dinámica de los polímeros.

Descripción matemática

Los siguientes datos pueden describir varios modelos de celosía:

• Una celosa ▪ ▪ {displaystyle Lambda }, a menudo tomado para ser una celosa en d{displaystyle d}-dimensional Espacio euclidiano Rd{displaystyle mathbb {R} o el d{displaystyle d}- toro dimensional si la celosía es periódica. Concretamente, ▪ ▪ {displaystyle Lambda } es a menudo la celosía cúbica. Si dos puntos en la rejilla son considerados "vecinos más seguros", entonces pueden ser conectados por un borde, convirtiendo la rejilla en un gráfico de celosía. Los vértices de ▪ ▪ {displaystyle Lambda } a veces se denominan sitios.
• Un espacio variable de giro S{displaystyle S.. El espacio de configuración C{displaystyle {fnMithcal}} de los posibles estados del sistema es entonces el espacio de funciones σ σ :▪ ▪ → → S{displaystyle sigma:Lambda rightarrow S}. Para algunos modelos, podríamos considerar en cambio el espacio de funciones σ σ :E→ → S{displaystyle sigma: Erightarrow S. Donde E{displaystyle E} es el conjunto de bordes del gráfico definido anteriormente.
• Una energía funcional E:C→ → R{displaystyle E:{Mathcal {C}derecha mathbb {R}, que podría depender de un conjunto de parámetros adicionales o 'coupling constantes ' {}gi}{displaystyle {}}.

Ejemplos

El modelo de Ising es dado por el gráfico de celo cúbico habitual G=()▪ ▪ ,E){displaystyle G=(LambdaE)} Donde ▪ ▪ {displaystyle Lambda } es una infinita celo cúbico en Rd{displaystyle mathbb {R} o período n{displaystyle n} en celo cúbico Td{displaystyle T^{d}, y E{displaystyle E} es el conjunto de bordes de vecinos más cercanos (la misma carta se utiliza para la energía funcional, pero los diferentes usos son distinguibles según el contexto). El espacio variable spin es S={}+1,− − 1}=Z2{displaystyle S={+1,-1}=mathbb {Z} _{2}. La energía funcional es

E()σ σ )=− − H.. v▪ ▪ ▪ ▪ σ σ ()v)− − J.. {}v1,v2}▪ ▪ Eσ σ ()v1)σ σ ()v2).{displaystyle E(sigma)=-Hsum _{vin Lambda }sigma (v)-Jsum _{{v_{1},v_{2}in E}sigma (v_{1})sigma (v_{2}). }

El espacio variable de giro se puede describir a menudo como un conjunto. Por ejemplo, para el modelo Pots tenemos S=Zn{displaystyle S=mathbb {Z} _{n}. En el límite n→ → JUEGO JUEGO {displaystyle nrightarrow infty}, obtenemos el modelo XY que tiene S=SO()2){displaystyle S=SO(2)}. Generalizar el modelo XY a dimensiones superiores da el n{displaystyle n}- Modelo vencedor que tiene S=Sn=SO()n+1)/SO()n){displaystyle S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)}.

Modelos solucionables

Nos especializamos en una celosía con un número finito de puntos, y un espacio finito de rotación variable. Esto se puede lograr haciendo la rejilla periódica, con el período n{displaystyle n} dentro d{displaystyle d} dimensiones. Luego el espacio de configuración C{displaystyle {fnMithcal}} también es finito. Podemos definir la función de partición

Z=.. σ σ ▪ ▪ Cexp⁡ ⁡ ()− − β β E()σ σ )){displaystyle Z=sum _{sigma in {mathcal {C}exp(-beta E(sigma)}

y no hay temas de convergencia (como los que emergen en la teoría del campo) ya que la suma es finita. En teoría, esta suma se puede calcular para obtener una expresión que depende únicamente de los parámetros {}gi}{displaystyle {}} y β β {displaystyle beta }. En la práctica, esto es a menudo difícil debido a interacciones no lineales entre sitios. Los modelos con una expresión de forma cerrada para la función de partición son conocidos como exactamente solvable.

Ejemplos de modelos exactamente solvables son el modelo de Ising 1D periódico, y el modelo de Ising 2D periódico con campo magnético externo desaparecido, H=0,{displaystyle H=0,} pero para la dimensión 2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d■2{displaystyle d confiar2}2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239ca2d02537225ef87b98fa12958e8799bc697f" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;"/>, el modelo de Ising sigue sin resolverse.

Teoría del campo medio

Debido a la dificultad de derivar soluciones exactas, para obtener resultados analíticos a menudo debemos recurrir a la teoría del campo medio. Este campo medio puede variar espacialmente o ser global.

Campo medio global

El espacio de configuración C{displaystyle {fnMithcal}} de funciones σ σ {displaystyle sigma } es reemplazado por el casco convexo del espacio de giro S{displaystyle S., cuando S{displaystyle S. tiene una realización en términos de un subconjunto de Rm{displaystyle mathbb {R} {} {m}. Denotaremos esto. .. C.. {displaystyle langle {Mathcal {C}rangle }. Esto surge como en ir al valor medio del campo, tenemos σ σ ↦ ↦ .. σ σ .. :=1Silencio▪ ▪ Silencio.. v▪ ▪ ▪ ▪ σ σ ()v){displaystyle sigma mapsto langle sigma rangle:={frac {1} {fnMicrosoft}sum _{vin Lambda }sigma (v)}.

Como número de sitios de celosía N=Silencio▪ ▪ Silencio→ → JUEGO JUEGO {displaystyle N= foreverLambda Silenciorightarrow infty}, los posibles valores de .. σ σ .. {displaystyle langle sigma rangle } llenar el casco convexo de S{displaystyle S.. Al hacer una aproximación adecuada, la energía funcional se convierte en una función del campo medio, es decir, E()σ σ )↦ ↦ E().. σ σ .. ).{displaystyle E(sigma)mapsto E(langle sigma rangle). } La función de partición entonces se convierte

Z=∫ ∫ .. C.. d.. σ σ .. e− − β β E().. σ σ .. )Ω Ω ().. σ σ .. )=∫ ∫ .. C.. d.. σ σ .. e− − Nβ β f().. σ σ .. ).{displaystyle Z=int _{langle {mathcal {C}rangle }dlangle sigma rangle e^{-beta E(langle sigma rangle)} Omega (langle sigma rangle)=:int _{langle {mathcal {C}rangle }dlangle sigma rangle e^{-Nbeta f(langle sigma rangle)}.}

As N→ → JUEGO JUEGO {displaystyle Nrightarrow infty }, es decir, en el límite termodinámico, la aproximación del punto de la silla nos dice que la integral está asintoticamente dominada por el valor en el que f().. σ σ .. ){displaystyle f(langle sigma rangle)} se minimiza:

Z♪ ♪ e− − Nβ β f().. σ σ .. 0){displaystyle Zsim e^{-Nbeta f(langle sigma rangle _{0}}}

Donde .. σ σ .. 0{displaystyle langle sigma rangle ¿Qué? es el argumento minimizando f{displaystyle f}.

Un enfoque más simple, pero menos matemáticamente riguroso que a veces da resultados correctos viene de linearizar la teoría sobre el campo medio .. σ σ .. {displaystyle langle sigma rangle }. Escribir configuraciones como σ σ ()v)=.. σ σ .. +Δ Δ σ σ ()v){displaystyle sigma (v)=langle sigma rangle +Delta sigma (v)}, truncado términos de O()Δ Δ σ σ 2){displaystyle {mathcal {} {Delta sigma ^{2}} luego resumir las configuraciones permite calcular la función de partición.

Tal enfoque del modelo de Ising periódico d{displaystyle d} Dimensiones proporciona información sobre las transiciones de fase.

Campo medio variable espacialmente

Suponga el límite continuo de la celosía ▪ ▪ {displaystyle Lambda } es Rd{displaystyle mathbb {R}. En lugar de promediar sobre todo ▪ ▪ {displaystyle Lambda }, promedio sobre barrios de x▪ ▪ Rd{displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^{d}. Esto da un campo medio espacialmente variable .. σ σ .. :Rd→ → .. C.. {displaystyle langle sigma rangle:mathbb {R} {fn}derechazo langle {matcal {C}rangle }. We relabel .. σ σ .. {displaystyle langle sigma rangle } con φ φ {displaystyle phi } para acercar la notación a la teoría del campo. Esto permite que la función de partición sea escrita como una ruta integral

Z=∫ ∫ Dφ φ e− − β β F[φ φ ]{displaystyle Z=int {fnMitcal {fnMicrosoft Sans Serif}}

donde la energía libre F[φ φ ]{displaystyle F[phi] es una versión girada de Wick de la acción en la teoría del campo cuántico.

Ejemplos

Física de la materia condensada

• Modelo de anillo
• Modelo Potts
• Modelo Chiral Potts
• Modelo XY
• Modelo clásico de Heisenberg
• modelo n-vector
• Modelo de Vertex
• Toda la ropa

Física de polímeros

• Modelo de fluctuación ósea
• Segundo modelo

Física de altas energías

• Modelo de celo QCD