Modelo de capa nuclear

En física nuclear, física atómica y química nuclear, el modelo de capa nuclear es un modelo del núcleo atómico que utiliza el principio de exclusión de Pauli para describir la estructura del núcleo en términos de niveles de energía.. El primer modelo de caparazón fue propuesto por Dmitri Ivanenko (junto con E. Gapon) en 1932. El modelo fue desarrollado en 1949 tras el trabajo independiente de varios físicos, en particular Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert Mayer y J. Hans D. Jensen, quienes compartió el Premio Nobel de Física de 1963 por sus contribuciones.

El modelo de capa nuclear es en parte análogo al modelo de capa atómica, que describe la disposición de los electrones en un átomo en esa capa llena que da como resultado una mejor estabilidad. Al agregar nucleones (protones o neutrones) a un núcleo, hay ciertos puntos en los que la energía de enlace del siguiente nucleón es significativamente menor que la del último. Esta observación de que hay números cuánticos mágicos específicos de nucleones (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) que están más estrechamente ligados que el siguiente número más alto es el origen del modelo de capa..

Las capas de protones y neutrones son independientes entre sí. Por lo tanto, los "núcleos mágicos" existen en los que un tipo de nucleón u otro está en un número mágico, y 'núcleos cuánticos doblemente mágicos', donde están ambos. Debido a algunas variaciones en el llenado orbital, los números mágicos superiores son 126 y, especulativamente, 184 para los neutrones, pero solo 114 para los protones, lo que desempeña un papel en la búsqueda de la llamada isla de estabilidad. Se han encontrado algunos números semimágicos, en particular Z = 40 que proporciona el relleno de capa nuclear para los diversos elementos; 16 también puede ser un número mágico.

Para obtener estos números, el modelo de capa nuclear parte de un potencial promedio con una forma entre el pozo cuadrado y el oscilador armónico. A este potencial se le añade un término de órbita de espín. Aun así, la perturbación total no coincide con el experimento, y se debe agregar un acoplamiento de órbita de espín empírico con al menos dos o tres valores diferentes de su constante de acoplamiento, según los núcleos que se estudien.

El protón empírico y las lagunas de la cáscara de neutrones, obtenidas numéricamente de energías vinculantes observadas. Las lagunas distintivas de cáscara se muestran en números mágicos etiquetados, y en ${displaystyle N=Z!$.

Se puede llegar a los números mágicos de los núcleos, así como a otras propiedades, aproximando el modelo con un oscilador armónico tridimensional más una interacción espín-órbita. Un potencial más realista pero también complicado se conoce como potencial de Woods-Saxon.

Modelo de oscilador armónico modificado

Considere un oscilador armónico tridimensional. Esto daría, por ejemplo, en los tres primeros niveles ("ℓ" es el número cuántico del momento angular)

Los núcleos se construyen añadiendo protones y neutrones. Estos siempre llenarán el nivel más bajo disponible, con los primeros dos protones llenando el nivel cero, los siguientes seis protones llenando el nivel uno, y así sucesivamente. Al igual que con los electrones en la tabla periódica, los protones en la capa más externa estarán unidos al núcleo de forma relativamente flexible si solo hay unos pocos protones en esa capa, porque están más alejados del centro del núcleo. Por lo tanto, los núcleos que tienen una capa exterior de protones completa tendrán una energía de enlace nuclear más alta que otros núcleos con un número total similar de protones. Lo mismo es cierto para los neutrones.

Esto significa que se espera que los números mágicos sean aquellos en los que todas las conchas ocupadas estén llenas. Vemos que para los dos primeros números obtenemos 2 (nivel 0 completo) y 8 (niveles 0 y 1 completo), de acuerdo con el experimento. Sin embargo, el conjunto completo de números mágicos no resulta correcto. Estos se pueden calcular de la siguiente manera:

• En un oscilador armónico tridimensional la degeneración total de estados a nivel n es ${displaystyle {(n+1)(n+2) over 2}$.
• Debido a la vuelta, la degeneración se dobla y es ${displaystyle (n+1)(n+2)}$.
• Así, los números mágicos serían
  $${displaystyle sum _{n=0}{k}(n+1)(n+2)={frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{3}}}$$

  
  para todos los enteros k. Esto da los siguientes números mágicos: 2, 8, 20, 40, 70, 112,..., que coinciden con el experimento sólo en las tres primeras entradas. Estos números son dos veces los números tetraedral (1, 4, 10, 20, 35, 56,...) del Triángulo Pascal.

En particular, las primeras seis capas son:

• nivel 0: 2 estados (l = 0) = 2.
• nivel 1: 6 estados (l = 1) = 6.
• nivel 2: 2 estados (l = 0) + 10 estados (l = 2) = 12.
• nivel 3: 6 estados (l = 1) + 14 estados (l = 3) = 20.
• nivel 4: 2 estados (l = 0) + 10 estados (l = 2) + 18 estados (l = 4) = 30.
• nivel 5: 6 estados (l = 1) + 14 estados (l 3) + 22 estados (l 5) = 42.

donde por cada ℓ hay 2ℓ+1 valores diferentes de m_l y 2 valores de m_s, dando un total de 4ℓ+2 estados para cada nivel específico.

Estos números son el doble de los valores de los números triangulares del Triángulo de Pascal: 1, 3, 6, 10, 15, 21,....

Incluyendo una interacción espín-órbita

A continuación incluimos una interacción espín-órbita. Primero tenemos que describir el sistema por los números cuánticos j, m_j y la paridad en lugar de ℓ, < i>m_l y m_s, como en el átomo similar al hidrógeno. Dado que cada nivel par incluye solo valores pares de ℓ, incluye solo estados de paridad par (positiva). De manera similar, cada nivel impar incluye solo estados de paridad impar (negativa). Por lo tanto, podemos ignorar la paridad en los estados de conteo. Las primeras seis capas, descritas por los nuevos números cuánticos, son

• nivel 0n = 0): 2 estados (j = 1.2). Incluso la paridad.
• nivel 1n = 1): 2 estados (j = 1.2) + 4 estados (j = 3.26. Paridad extraña.
• nivel 2n 2): 2 estados (j = 1.2) + 4 estados (j = 3.2) + 6 estados (j = 5.2Incluso la paridad.
• nivel 3n 3): 2 estados (j = 1.2) + 4 estados (j = 3.2) + 6 estados (j = 5.2) + 8 estados (j = 7.2Paridad extraña.
• nivel 4n 4): 2 estados (j = 1.2) + 4 estados (j = 3.2) + 6 estados (j = 5.2) + 8 estados (j = 7.2) + 10 estados (j = 9.2Hasta la paridad.
• nivel 5n = 5): 2 estados (j = 1.2) + 4 estados (j = 3.2) + 6 estados (j = 5.2) + 8 estados (j = 7.2) + 10 estados (j = 9.2) + 12 estados (j = 11.2Paridad extraña.

donde por cada j hay 2j +1 diferentes estados de diferentes valores de m_j.

Debido a la interacción spin-orbit las energías de estados del mismo nivel pero con diferente j Ya no será idéntico. Esto es porque en los números cuánticos originales, cuando ${displaystyle scriptstyle {vec}}$ es paralelo a ${displaystyle scriptstyle {vec}}$, la energía de interacción es positiva; y en este caso j = l + s = l + 1.2. Cuando ${displaystyle scriptstyle {vec}}$ es antiparalel a ${displaystyle scriptstyle {vec}}$ (es decir, alineado opuestamente), la energía de interacción es negativa, y en este caso j=l−s=l−1.2. Además, la fuerza de la interacción es aproximadamente proporcional a l.

Por ejemplo, considere los estados en el nivel 4:

• Los 10 estados con j = 9.2 viene de l = 4 y s paralelo a l. Por lo tanto, tienen una energía positiva de interacción spin-orbit.
• Los 8 estados con j = 7.2 vino de l = 4 y s antiparalela a l. Por lo tanto, tienen una energía negativa de interacción spin-orbit.
• Los 6 estados con j = 5.2 vino de l = 2 y s paralelo a l. Por lo tanto, tienen una energía positiva de interacción spin-orbit. Sin embargo su magnitud es media en comparación con los estados con j = 9.2.
• Los 4 estados con j = 3.2 vino de l = 2 y s antiparalela a l. Por lo tanto, tienen una energía negativa de interacción spin-orbit. Sin embargo su magnitud es media en comparación con los estados con j = 7.2.
• Los 2 estados con j = 1.2 vino de l = 0 y por lo tanto tienen energía de interacción cero spin-orbit.

Cambiar el perfil del potencial

El potencial oscilador armónico ${displaystyle V(r)=muomega ^{2}r^{2}/2}$ crece infinitamente como la distancia del centro r va al infinito. Un potencial más realista, como el potencial Woods-Saxon, se acercaría a una constante en este límite. Una consecuencia principal es que el radio promedio de las órbitas de los núcleos sería mayor en un potencial realista; esto conduce a un término reducido ${displaystyle scriptstyle hbar ^{2}l(l+1)/2mr^{2}$ en el operador de Laplace del operador Hamiltoniano. Otra diferencia principal es que las órbitas con radios promedio altos, como las que tienen alta n o alto l, tendrá una energía menor que en un potencial oscilador armónico. Ambos efectos conducen a una reducción de los niveles energéticos de alto nivel l órbitas.

Números mágicos previstos

Niveles de energía de baja altitud en un modelo de shell de partículas únicas con potencial oscilador (con un pequeño negativo l² término) sin spin-orbit (izquierda) y con interacción spin-orbit (derecha). El número al derecho de un nivel indica su degeneración (2j+1). Los enteros en caja indican los números mágicos.

Junto con la interacción espín-órbita, y para las magnitudes apropiadas de ambos efectos, se llega a la siguiente imagen cualitativa: en todos los niveles, los estados j más altos tienen sus energías desplazadas hacia abajo, especialmente para n alto (donde el j más alto es alto). Esto se debe tanto a la energía de interacción espín-órbita negativa como a la reducción de energía resultante de deformar el potencial a uno más realista. Los estados j del segundo al más alto, por el contrario, tienen su energía desplazada hacia arriba por el primer efecto y hacia abajo por el segundo efecto, lo que lleva a un pequeño cambio general. Los cambios en la energía de los estados j superiores pueden así acercar la energía de los estados de un nivel a la energía de los estados de un nivel inferior. Las "conchas" del modelo de caparazón ya no son idénticos a los niveles indicados por n, y los números mágicos cambian.

Podemos suponer entonces que los estados j más altos para n = 3 tienen una energía intermedia entre las energías medias de n = 2 y n = 3, y supongamos que el j más alto establece para n más grandes (al menos hasta n = 7) tienen una energía más cercana a la energía promedio de n−1. Luego obtenemos las siguientes conchas (ver la figura)

• 1a concha: 2 estados (n = 0, j = 1.2).
• Segundo proyectil: 6 estados (n = 1, j = 1.2 o 3.2).
• 3a shell: 12 states (n = 2, j = 1.2, 3.2 o 5.2).
• 4a concha: 8 estadosn = 3, j = 7.2).
• 5a concha: 22 estados (n = 3, j = 1.2, 3.2 o 5.2; n = 4, j = 9.2).
• 6a concha: 32 estados (n = 4, j = 1.2, 3.2, 5.2 o 7.2; n = 5, j = 11.2).
• 7a shell: 44 states (n = 5, j = 1.2, 3.2, 5.2, 7.2 o 9.2; n = 6 j = 13.2).
• Octava cáscara: 58 estados (n = 6 j = 1.2, 3.2, 5.2, 7.2, 9.2 o 11.2; n = 7, j = 15.2).

y así sucesivamente.

Tenga en cuenta que los números de estados después de la cuarta capa son números triangulares duplicados más dos. El acoplamiento espín-órbita provoca los llamados 'niveles de intrusos' para descender desde el caparazón superior siguiente a la estructura del caparazón anterior. Los tamaños de los intrusos son tales que los tamaños de capa resultantes se incrementan a los números triangulares duplicados más altos que están muy cerca de los del oscilador armónico. Por ejemplo, 1f2p tiene 20 nucleones y el acoplamiento espín-órbita agrega 1g9/2 (10 nucleones) lo que da lugar a una nueva capa con 30 nucleones. 1g2d3s tiene 30 nucleones, y la adición del intruso 1h11/2 (12 nucleones) produce un nuevo tamaño de capa de 42, y así sucesivamente.

Los números mágicos son entonces

• 2
• 8=2+6
• 20=2+6+12
• 28=2+6+12+8
• 50=2+6+12+8+22
• 82=2+6+12+8+22+32
• 126=2+6+12+8+22+32+44
• 184=2+6+12+8+22+32+44+58

y así sucesivamente. Esto da todos los números mágicos observados, y también predice uno nuevo (la llamada isla de estabilidad) al valor de 184 (para protones, el número mágico 126 aún no se ha observado, y consideraciones teóricas más complicadas predicen que el número mágico es 114).

Otra forma de predecir números mágicos (y semimágicos) es trazar el orden de llenado idealizado (con división espín-órbita pero sin superposición de niveles de energía). Por consistencia, s se divide en j = 1⁄2 y j = -1⁄2 componentes con 2 y 0 miembros respectivamente. Tomando los conteos totales más a la izquierda y más a la derecha dentro de las secuencias marcadas como limitadas por / aquí se obtienen los números mágicos y semimágicos.

• s(2,0)/p(4,2) Ø 2,2/6,8, así que (semi)ma números 2,2/6,8
• d(6,4):s(2,0)/f(8,6):p(4,2) Ø 14,18:20,20/28,34:38,40, so 14,20/28,40
• g(10,8):d(6,4):s(2,0)/h(12,10):f(8,6):p(4,2) 50,58,64,68,70,70/82,92,100,106,110,112, por lo que 50,70/82,112
• i(14,12):g(10,8):d(6,4):s(2,0)/j(16,14):h(12,10):f(8,6):p(4,2) > 126,138,148,156,162,166,168,168/184,198,210,220,228,234,238,240, so 126,168/184,240

Los números mágicos pronosticados más a la derecha de cada par dentro de los cuartetos divididos por / son números tetraédricos dobles del Triángulo de Pascal: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240 son 2x 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120,..., y los miembros de la izquierda de los pares difieren de los de la derecha por números triangulares dobles: 2 − 2 = 0, 8 − 6 = 2, 20 − 14 = 6, 40 − 28 = 12, 70 − 50 = 20, 112 − 82 = 30, 168 − 126 = 42, 240 − 184 = 56, donde 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56,... son 2 × 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,...

Otras propiedades de los núcleos

Este modelo también predice o explica con cierto éxito otras propiedades de los núcleos, en particular el espín y la paridad de los estados fundamentales de los núcleos y, hasta cierto punto, también sus estados nucleares excitados. Tome ¹⁷
₈O (oxígeno-17) como ejemplo: Su núcleo tiene ocho protones que llenan los tres primeros protones " "capas", ocho neutrones que llenan las tres primeras "capas" de neutrones y un neutrón adicional. Todos los protones en una capa de protones completa tienen un momento angular total cero, ya que sus momentos angulares se cancelan entre sí. Lo mismo es cierto para los neutrones. Todos los protones en el mismo nivel (n) tienen la misma paridad (ya sea +1 o −1), y dado que la paridad de un par de partículas es el producto de sus paridades, un número par de protones del mismo nivel (n) tendrá +1 de paridad. Así, el momento angular total de los ocho protones y los primeros ocho neutrones es cero, y su paridad total es +1. Esto significa que el espín (es decir, el momento angular) del núcleo, así como su paridad, están completamente determinados por el del noveno neutrón. Este está en el primer estado (es decir, la energía más baja) de la cuarta capa, que es una capa d (ℓ = 2), y dado que p = (−1)^ℓ, esto le da al núcleo una paridad total de +1. Este cuarto caparazón d tiene un j = 5⁄2, por lo tanto, el núcleo de ¹⁷ Se espera que
₈O tenga paridad positiva y total momento angular 5⁄2, que de hecho posee.

Las reglas para el ordenamiento de las capas del núcleo son similares a las Reglas de Hund de las capas atómicas, sin embargo, a diferencia de su uso en la física atómica, la finalización de una capa no significa alcanzar el siguiente n , como tal, el modelo de capa no puede predecir con precisión el orden de los estados de los núcleos excitados, aunque tiene mucho éxito en la predicción de los estados fundamentales. El orden de los primeros términos se muestra a continuación: 1s, 1p3⁄ 2, 1p1⁄2, 1d5⁄2, 2s, 1d3⁄2... Para obtener más aclaraciones sobre la notación, consulte el artículo sobre el símbolo del término de Russell-Saunders.

Para núcleos más alejados de los números cuánticos mágicos hay que añadir la suposición de que debido a la relación entre la fuerza nuclear fuerte y el momento angular total, los protones o neutrones con el mismo n tienden a formar pares de momentos angulares opuestos. Por lo tanto, un núcleo con un número par de protones y un número par de neutrones tiene espín 0 y paridad positiva. Un núcleo con un número par de protones y un número impar de neutrones (o viceversa) tiene la paridad del último neutrón (o protón) y el giro es igual al momento angular total de este neutrón (o protón). Por "último" nos referimos a las propiedades provenientes del nivel de energía más alto.

En el caso de un núcleo con un número impar de protones y un número impar de neutrones, se debe considerar el momento angular total y la paridad tanto del último neutrón como del último protón. La paridad del núcleo será un producto de ellos, mientras que el espín del núcleo será uno de los posibles resultados de la suma de sus momentos angulares (siendo otros posibles resultados los estados excitados del núcleo).

El orden de los niveles de momento angular dentro de cada capa está de acuerdo con los principios descritos anteriormente, debido a la interacción espín-órbita, con estados de momento angular alto que tienen sus energías desplazadas hacia abajo debido a la deformación del potencial (es decir, pasando de un estado armónico potencial del oscilador a uno más realista). Sin embargo, para los pares de nucleones, a menudo es energéticamente favorable estar en un momento angular alto, incluso si su nivel de energía para un solo nucleón fuera mayor. Esto se debe a la relación entre el momento angular y la fuerza nuclear fuerte.

El momento magnético nuclear del neutrón y el protón se predice en parte con esta versión simple del modelo de capa. El momento magnético se calcula a través de j, ℓ y s de la "última" nucleón, pero los núcleos no están en estados de ℓ y s bien definidos. Además, para los núcleos impares, hay que considerar los dos "últimos" nucleones, como en el deuterio. Por lo tanto, se obtienen varias respuestas posibles para el momento magnético nuclear, una para cada posible estado combinado de ℓ y s, y el estado real del núcleo es una superposición de ellos. Por lo tanto, el momento magnético nuclear real (medido) está en algún lugar entre las posibles respuestas.

El dipolo eléctrico de un núcleo es siempre cero, porque su estado fundamental tiene una paridad definida, por lo que su densidad de materia (ψ², donde ψ< /i> es la función de onda) siempre es invariante bajo paridad. Esta suele ser la situación con el dipolo eléctrico atómico también.

Esta versión simple del modelo de capa no puede predecir momentos multipolares eléctricos y magnéticos más altos, por razones similares a las del caso del deuterio.

Incluyendo interacciones residuales

Las interacciones residuales entre los núcleos de valence se incluyen diagonalizando a un Hamiltonian eficaz en un espacio de valence fuera de un núcleo inerte. Como se indicó, sólo los estados de una sola partícula que se encuentran en el espacio de valence están activos en la base utilizada.

Para los núcleos que tienen dos o más nucleones de valencia (es decir, nucleones fuera de una capa cerrada), se debe agregar una interacción residual de dos cuerpos. Este término residual proviene de la parte de la interacción entre nucleones no incluida en el potencial promedio aproximado. A través de esta inclusión, se mezclan diferentes configuraciones de capas y se rompe la degeneración energética de los estados correspondientes a la misma configuración.

Estas interacciones residuales se incorporan a través de cálculos del modelo de capas en un espacio modelo truncado (o espacio de valencia). Este espacio está atravesado por una base de estados de muchas partículas donde solo están activos los estados de una sola partícula en el espacio modelo. La ecuación de Schrödinger se resuelve sobre esta base, utilizando un hamiltoniano efectivo específicamente adecuado para el espacio modelo. Este hamiltoniano es diferente al de los nucleones libres ya que, entre otras cosas, tiene que compensar las configuraciones excluidas.

Se puede eliminar por completo la aproximación del potencial promedio extendiendo el espacio modelo al núcleo previamente inerte y tratando todos los estados de una sola partícula hasta el truncamiento del espacio modelo como activos. Esto forma la base del modelo de shell sin núcleo, que es un método ab initio. Es necesario incluir una interacción de tres cuerpos en dichos cálculos para lograr un acuerdo con los experimentos.

Rotación colectiva y potencial deformado

En 1953 se encontraron los primeros ejemplos experimentales de bandas rotativas en núcleos, con sus niveles de energía siguiendo el mismo patrón de energías J(J+1) como en moléculas rotativas. Quantum mecánicamente, es imposible tener una rotación colectiva de una esfera, por lo que esto implicaba que la forma de estos núcleos era no esférica. En principio, estos estados de rotación podrían haberse descrito como superposiciones coherentes de excitaciones de agujeros de partículas en la base que consiste en estados de partículas únicas del potencial esférico. Pero en realidad, la descripción de estos estados de esta manera es intrínseca, debido a un gran número de partículas de valencia, y esta intractibilidad fue aún mayor en la década de 1950 cuando el poder de cálculo fue extremadamente rudimentario. Por estas razones, Aage Bohr, Ben Mottelson y Sven Gösta Nilsson construyeron modelos en los que el potencial se deformó en forma elipsoidal. El primer modelo exitoso de este tipo es el que ahora se conoce como el modelo Nilsson. Es esencialmente el modelo de oscilador armónico descrito en este artículo, pero con anisotropía añadido, de modo que las frecuencias osciladoras a lo largo de los tres ejes cartesianos no son todas iguales. Típicamente la forma es un elipsoide prolato, con el eje de la simetría tomada para ser z. Debido a que el potencial no es simétrico esféricamente, los estados de una sola partícula no son estados de buen impulso angular J. Sin embargo, un multiplicador Lagrange ${displaystyle -omega cdot J.$, conocido como un término "agrillido", se puede añadir al Hamiltonian. Por lo general, el vector de frecuencia angular ω se toma para ser perpendicular al eje de simetría, aunque también se puede considerar la cría de eje inclinado. Llenar los estados de una sola partícula hasta el nivel de Fermi entonces produce estados cuyo impulso angular esperado a lo largo del eje cranking ${displaystyle langle J_{x}rangle }$ es el valor deseado.

Modelos relacionados

Igal Talmi desarrolló un método para obtener la información de los datos experimentales y utilizarla para calcular y predecir energías que no han sido medidas. Este método ha sido utilizado con éxito por muchos físicos nucleares y ha llevado a una comprensión más profunda de la estructura nuclear. Se desarrolló la teoría que da una buena descripción de estas propiedades. Esta descripción resultó proporcionar la base del modelo de caparazón del elegante y exitoso modelo de bosones interactivos.

Un modelo derivado del modelo de capa nuclear es el modelo de partículas alfa desarrollado por Henry Margenau, Edward Teller, J. K. Pering, T. H. Skyrme, también llamado a veces modelo Skyrme. Tenga en cuenta, sin embargo, que el modelo de Skyrme generalmente se toma como un modelo del propio nucleón, como una "nube" de mesones (piones), en lugar de un modelo del núcleo como una "nube" de partículas alfa.