Modelo de Black-Scholes

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El modelo Black–Scholes o Black–Scholes–Merton es un modelo matemático para la dinámica de un mercado financiero que contiene instrumentos de inversión derivados. A partir de la ecuación diferencial parcial parabólica del modelo, conocida como ecuación de Black-Scholes, se puede deducir la fórmula de Black-Scholes, que proporciona una estimación teórica del precio de las opciones de estilo europeo y muestra que la opción tiene un precio único.precio dado el riesgo del valor y su rendimiento esperado (en lugar de reemplazar el rendimiento esperado del valor con la tasa neutral al riesgo). La ecuación y el modelo llevan el nombre de los economistas Fischer Black y Myron Scholes; Robert C. Merton, quien escribió por primera vez un artículo académico sobre el tema, a veces también recibe crédito.

La idea clave detrás del modelo es cubrir la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de la manera correcta y, como consecuencia, eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina "cobertura delta continuamente revisada" y es la base de estrategias de cobertura más complicadas, como las que emplean los bancos de inversión y los fondos de cobertura.

El modelo es ampliamente utilizado, aunque a menudo con algunos ajustes, por los participantes del mercado de opciones. Los supuestos del modelo se han relajado y generalizado en muchas direcciones, lo que ha dado lugar a una plétora de modelos que se utilizan actualmente en la fijación de precios de derivados y la gestión de riesgos. Son las ideas del modelo, como se ejemplifica en la fórmula de Black-Scholes, las que los participantes del mercado utilizan con frecuencia, a diferencia de los precios reales. Estos conocimientos incluyen límites sin arbitraje y precios neutrales al riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción, permite la fijación de precios utilizando métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.

La fórmula de Black-Scholes tiene un solo parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura promedio del activo subyacente, aunque se puede encontrar a partir del precio de otras opciones. Dado que el valor de la opción (ya sea de venta o de compra) aumenta en este parámetro, se puede invertir para producir una "superficie de volatilidad" que luego se usa para calibrar otros modelos, por ejemplo, para derivados OTC.

Historia

Los economistas Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del valor, inventando así el argumento de riesgo neutral. Basaron su pensamiento en el trabajo realizado anteriormente por investigadores de mercado y profesionales, incluidos Louis Bachelier, Sheen Kassouf y Edward O. Thorp. Black y Scholes luego intentaron aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras debido a la falta de gestión de riesgos en sus operaciones. En 1970, decidieron regresar al ambiente académico. Después de tres años de esfuerzos, la fórmula, nombrada en honor a ellos por hacerla pública, finalmente se publicó en 1973 en un artículo titulado "El precio de las opciones y los pasivos corporativos", en el Journal of Political Economy.. Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que ampliaba la comprensión matemática del modelo de valoración de opciones y acuñó el término "modelo de valoración de opciones Black-Scholes".

La fórmula condujo a un auge en el comercio de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones en todo el mundo.

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1997 por su trabajo, y el comité citó su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un avance que separa la opción del riesgo del valor subyacente. Aunque no fue elegible para el premio debido a su muerte en 1995, la Academia Sueca mencionó a Black como colaborador.

Hipótesis fundamentales

El modelo de Black-Scholes supone que el mercado consta de al menos un activo de riesgo, generalmente llamado acción, y un activo sin riesgo, generalmente llamado mercado de dinero, efectivo o bono.

Ahora se hacen suposiciones sobre los activos (que explican sus nombres):

Tasa sin riesgo: la tasa de rendimiento del activo sin riesgo es constante y, por lo tanto, se denomina tasa de interés sin riesgo.
Paseo aleatorio: el rendimiento logarítmico instantáneo del precio de las acciones es un paseo aleatorio infinitesimal con deriva; más precisamente, el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico, y se supone que su deriva y volatilidad son constantes (si varían en el tiempo, se puede deducir de manera bastante simple una fórmula de Black-Scholes convenientemente modificada, siempre que la volatilidad sea no al azar).
La acción no paga dividendos.

Los supuestos en el mercado son:

No hay oportunidad de arbitraje (es decir, no hay forma de obtener una ganancia sin riesgo).
Capacidad para pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso fraccionaria, de efectivo a la tasa libre de riesgo.
Capacidad para comprar y vender cualquier cantidad, incluso fraccionada, de las acciones (esto incluye ventas en corto).
Las transacciones anteriores no incurren en tarifas ni costos (es decir, mercado sin fricciones).

Con estos supuestos vigentes, supongamos que hay un valor derivado que también se negocia en este mercado. Se especifica que este valor tendrá un pago determinado en una fecha determinada en el futuro, dependiendo de los valores que tome la acción hasta esa fecha. Es un hecho sorprendente que el precio del derivado se pueda determinar en el momento actual, teniendo en cuenta el hecho de que se desconoce el camino que tomará el precio de las acciones en el futuro. Para el caso especial de una opción call o put europea, Black y Scholes demostraron que "es posible crear una posición cubierta, consistente en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no dependerá de la precio de la acción".Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que gobernaba el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en extensiones posteriores del modelo. Las versiones modernas tienen en cuenta las tasas de interés dinámicas (Merton, 1976), los costos de transacción y los impuestos (Ingersoll, 1976) y el pago de dividendos.

Notación

La notación utilizada a lo largo de esta página se definirá de la siguiente manera, agrupada por tema:

Generales y relacionados con el mercado: $t$ es un tiempo en años; con $t=0$ la representación general del presente año. $r$ es la tasa de interés libre de riesgo anualizada, compuesta continuamente (también conocida como la fuerza de interés).

Relacionado con activos: $S t)$ es el precio del activo subyacente en el momento t, también indicado como $S t}$ . $mu$ es la tasa de deriva de $S$ , anualizada. $sigma$ es la desviación estándar de los rendimientos de las acciones. Esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso de precio logarítmico de la acción, una medida de su volatilidad.

Opción relacionada: $V(S,t)$ es el precio de la opción en función del activo subyacente S en el momento t, en particular: $C(S,t)$ es el precio de una opción call europea y $P(S,t)$ es el precio de una opción de venta europea. $T$ es el tiempo de vencimiento de la opción. $tau$ es el tiempo hasta el vencimiento: $tau = Tt$ . $k$ es el precio de ejercicio de la opción, también conocido como precio de ejercicio.

$N(x)$ denotará la función de distribución acumulativa normal estándar: ${displaystyle N(x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int_{-infty}^{x}e^{-z^{2}/2}, dz.}$

$N'(x)$ denotará la función de densidad de probabilidad normal estándar: ${displaystyle N'(x)={frac {dN(x)}{dx}}={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-x^{2}/2 }.}$

Ecuación de Black-Scholes

La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial parabólica, que describe el precio de la opción a lo largo del tiempo. la ecuacion es: ${frac {parcial V}{parcial t}}+{frac {1}{2}}sigma ^{2}S^{2}{frac {parcial^{2}V}{ parcial S^{2}}}+rS{frac {parcial V}{parcial S}}-rV=0$

La idea financiera clave detrás de la ecuación es que uno puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente y el activo de la cuenta bancaria (efectivo) de la manera correcta y, en consecuencia, "eliminar el riesgo". Esta cobertura, a su vez, implica que solo hay un precio correcto para la opción, como lo devuelve la fórmula de Black-Scholes (ver la siguiente sección).

Fórmula de Black-Scholes

La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de las opciones de compra y venta europeas. Este precio es consistente con la ecuación de Black-Scholes anterior; esto se deduce ya que la fórmula se puede obtener resolviendo la ecuación para las condiciones terminales y de contorno correspondientes: ${displaystyle {begin{alineado}&C(0,t)=0{text{ para todos }}t\&C(S,t)rightarrow S{text{ as }}Srightarrow infty &C(S,T)=max{SK,0}end{alineado}}}$

El valor de una opción de compra para una acción subyacente que no paga dividendos en términos de los parámetros de Black-Scholes es: ${displaystyle {begin{alineado}C(S_{t},t)&=N(d_{1})S_{t}-N(d_{2})Ke^{-r(Tt)}\ d_{1}&={frac {1}{sigma {sqrt {Tt}}}}left[ln left({frac {S_{t}}{K}}right)+ izquierda(r+{frac {sigma ^{2}}{2}}derecha)(Tt)derecha]\d_{2}&=d_{1}-sigma {sqrt {Tt}} \end{alineado}}}$

El precio de una opción de venta correspondiente basada en la paridad put-call con factor de descuento $e^{{-r(Tt)}}$ es: ${displaystyle {begin{alineado}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(Tt)}-S_{t}+C(S_{t},t)\&=N(-d_{2})Ke^{-r(Tt)}-N(-d_{1})S_{t}end{alineado}},}$

Formulación alternativa

La introducción de algunas variables auxiliares permite simplificar y reformular la fórmula en una forma que suele ser más conveniente (este es un caso especial de la fórmula Black '76): ${displaystyle {begin{alineado}C(F,tau)&=Dleft[N(d_{+})FN(d_{-})Kright]\d_{+}&={ fracción {1}{sigma {sqrt {tau }}}}left[ln left({frac {F}{K}}right)+{frac {1}{2}} sigma ^{2}tau right]\d_{-}&=d_{+}-sigma {sqrt {tau }}end{alineado}}}$

donde:

$D = e^{-rtau}$ es el factor de descuento

$F=e^{rtau}S={frac{S}{D}}$ es el precio a plazo del activo subyacente, y $S=DF$

Dada la paridad put-call, que se expresa en estos términos como: $CP = D (FK) = S-DK$

El precio de una opción de venta es: $P(F,tau)=Dizquierda[N(-d_{-})KN(-d_{+})Fderecha]$

Interpretación

La fórmula de Black-Scholes se puede interpretar con bastante facilidad, con la principal sutileza de la interpretación de los términos $norte (d _ { pm})$ (ya fortiori $d_{pm}$ ), en particular $d_{+}$ y por qué hay dos términos diferentes.

La fórmula se puede interpretar descomponiendo primero una opción de compra en la diferencia de dos opciones binarias: una opción call de activo o nada menos una opción call de efectivo o nada (una opción call de activo o nada larga, una opción call de activo o nada corta nada llamar). Una opción de compra intercambia efectivo por un activo al vencimiento, mientras que una opción de compra de activo o nada solo produce el activo (sin efectivo a cambio) y una opción de compra de efectivo o nada solo produce efectivo (sin activo a cambio). La fórmula de Black-Scholes es una diferencia de dos términos, y estos dos términos equivalen a los valores de las opciones de compra binarias. Estas opciones binarias se negocian con mucha menos frecuencia que las opciones de compra estándar, pero son más fáciles de analizar.

Así la fórmula: $C=Dizquierda[N(d_{+})FN(d_{-})Kderecha]$

se descompone como: ${displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

donde $DN(d_{+})F$ es el valor actual de una opción de compra de activo o nada y $DN(d_{-})K$ es el valor actual de una opción de compra de efectivo o nada. El factor D es para descontar, porque la fecha de vencimiento está en el futuro, y al eliminarlo, se cambia el valor presente por el valor futuro (valor al vencimiento). Por lo tanto $N(d_{+})~F$ , es el valor futuro de una opción call de activos o nada y $N(d_{-})~K$ es el valor futuro de una opción call de efectivo o nada. En términos neutrales al riesgo, estos son el valor esperado del activo y el valor esperado del efectivo en la medida neutral al riesgo.

La interpretación ingenua, y no del todo correcta, de estos términos es que $N(d_{+})F$ es la probabilidad de que la opción expire en el dinero $N(d_{+})$ multiplicada por el valor del subyacente al vencimiento F, mientras $N(d_{-})K$ que la probabilidad de que la opción expire en el dinero $Dakota del Norte_{-}),$ multiplicada por el valor de el efectivo al vencimiento K. Esto es incorrecto, ya que ambos binarios vencen en el dinero o ambos vencen fuera del dinero (o el efectivo se intercambia por activos o no), pero las probabilidades $N(d_{+})$ y $Dakota del Norte_{-})$ no son iguales. De hecho, $d_{pm}$ puede interpretarse como medidas de moneyness (en desviaciones estándar) y $norte (d _ { pm})$ como probabilidades de expirar ITM (porcentaje moneyness), en el numerario respectivo, como se analiza a continuación. En pocas palabras, la interpretación de la opción en efectivo $N(d_{-})K$ es correcta, ya que el valor del efectivo es independiente de los movimientos del activo subyacente y, por lo tanto, puede interpretarse como un simple producto de "probabilidad por valor", mientras que $N(d_{+})F$ es más complicado., ya que la probabilidad de vencimiento en dinero y el valor del activo al vencimiento no son independientes. Más precisamente, el valor del activo al vencimiento es variable en términos de efectivo, pero es constante en términos del activo mismo (una cantidad fija del activo) y, por lo tanto, estas cantidades son independientes si se cambia el numerario del activo en lugar de dinero en efectivo.

Si se usa spot S en lugar de forward F, en $d_{pm}$ lugar del ${estilo de texto {frac{1}{2}}sigma^{2}}$ término hay ${textstyle left(rpm {frac {1}{2}}sigma ^{2}right)tau,}$ que puede interpretarse como un factor de deriva (en la medida neutral al riesgo para el numerario apropiado). El uso de d ₋ para moneyness en lugar de moneyness estandarizado ${textstyle m={frac {1}{sigma {sqrt {tau}}}}ln left({frac {F}{K}}right)}$ , en otras palabras, la razón del ${estilo de texto {frac{1}{2}}sigma^{2}}$ factor, se debe a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución log-normal; es el mismo factor que en el lema de Itō aplicado al movimiento browniano geométrico. Además, otra forma de ver que la interpretación ingenua es incorrecta es que reemplazar $N(d_{+})$ por $Dakota del Norte_{-})$ en la fórmula arroja un valor negativo para las opciones de compra fuera del dinero.

En detalle, los términos $N(d_{1}),N(d_{2})$ son las probabilidades de que la opción venza en el dinero bajo la medida de probabilidad exponencial martingala equivalente (numéraire=acción) y la medida de probabilidad martingala equivalente (numéraire=activo libre de riesgo), respectivamente. La densidad de probabilidad neutral al riesgo para el precio de las acciones $S_{T}in (0,infty)$ es $p(S,T)={frac {N^{prime}[d_{2}(S_{T})]}{S_{T}sigma {sqrt {T}}}}$

donde $d_{2}=d_{2}(K)$ se define como arriba.

En concreto, $N(d_{2})$ es la probabilidad de que se ejerza la call siempre que se asuma que la deriva del activo es la tasa libre de riesgo. $N(d_{1})$ , sin embargo, no se presta a una simple interpretación de probabilidad. $NS(d_{1})$ se interpreta correctamente como el valor presente, utilizando la tasa de interés libre de riesgo, del precio esperado del activo al vencimiento, dado que el precio del activo al vencimiento está por encima del precio de ejercicio. Para una discusión relacionada, y una representación gráfica, consulte el método de Datar-Mathews para la valoración de opciones reales.

La medida de probabilidad martingala equivalente también se denomina medida de probabilidad neutral al riesgo. Tenga en cuenta que ambas son probabilidades en un sentido teórico de medida, y ninguna de ellas es la verdadera probabilidad de expirar en el dinero bajo la medida de probabilidad real. Para calcular la probabilidad bajo la medida de probabilidad real ("física"), se requiere información adicional: el término de deriva en la medida física o, de manera equivalente, el precio de mercado del riesgo.

Derivaciones

En el artículo Ecuación de Black-Scholes se proporciona una derivación estándar para resolver la PDE de Black-Scholes.

La fórmula de Feynman-Kac dice que la solución a este tipo de PDE, cuando se descuenta adecuadamente, es en realidad una martingala. Por tanto, el precio de la opción es el valor esperado del pago descontado de la opción. Calcular el precio de la opción a través de esta expectativa es el enfoque de neutralidad al riesgo y se puede hacer sin conocimiento de las PDE. Tenga en cuenta que la expectativa del pago de la opción no se realiza bajo la medida de probabilidad del mundo real, sino una medida neutral al riesgo artificial, que difiere de la medida del mundo real. Para conocer la lógica subyacente, consulte la sección "Valoración neutral al riesgo" en Precios racionales, así como la sección "Precio de derivados: el mundo Q" en Finanzas matemáticas; para más detalles, una vez más, consulte Hull.

Las opciones griegas

"Los griegos" miden la sensibilidad del valor de un producto derivado o una cartera financiera a los cambios en los valores de los parámetros mientras mantienen fijos los demás parámetros. Son derivadas parciales del precio con respecto a los valores de los parámetros. Un griego, "gamma" (así como otros que no se enumeran aquí) es un derivado parcial de otro griego, "delta" en este caso.

Los griegos son importantes no solo en la teoría matemática de las finanzas, sino también para aquellos que comercian activamente. Las instituciones financieras normalmente establecerán valores límite (de riesgo) para cada uno de los griegos que sus comerciantes no deben exceder.

Delta es el griego más importante ya que este suele conferir el mayor riesgo. Muchos comerciantes pondrán a cero su delta al final del día si no están especulando sobre la dirección del mercado y siguiendo un enfoque de cobertura neutral delta como lo define Black-Scholes. Cuando un comerciante busca establecer una cobertura delta efectiva para una cartera, el comerciante también puede buscar neutralizar la gamma de la cartera, ya que esto garantizará que la cobertura sea efectiva en una gama más amplia de movimientos de precios subyacentes.

Los griegos para Black-Scholes se dan en forma cerrada a continuación. Se pueden obtener por diferenciación de la fórmula de Black-Scholes.

	Llamar	Poner
Delta	${frac {V parcial}{S parcial}}$	$N(d_{1}),$	$-N(-d_{1})=N(d_{1})-1,$
Gama	${displaystyle {frac {parcial ^{2}V}{parcial S^{2}}}}$	${frac{N'(d_{1})}{Ssigma {sqrt {Tt}}}},$
Vega	${displaystyle {frac {parcial V}{parcial sigma }}}$	$SN'(d_{1}){raíz cuadrada {Tt}},$
theta	${frac {V parcial}{t parcial}}$	$-{frac {SN'(d_{1})sigma }{2{sqrt {Tt}}}}-rKe^{-r(Tt)}N(d_{2}),$	$-{frac {SN'(d_{1})sigma }{2{sqrt {Tt}}}}+rKe^{-r(Tt)}N(-d_{2}),$
Rho	${displaystyle {frac {V parcial}{r parcial}}}$	$K(Tt)e^{-r(Tt)}N(d_{2}),$	$-K(Tt)e^{-r(Tt)}N(-d_{2}),$

Tenga en cuenta que, a partir de las fórmulas, está claro que la gamma tiene el mismo valor para las opciones de compra y venta, al igual que la vega tiene el mismo valor para las opciones de compra y venta. Esto se puede ver directamente a partir de la paridad put-call, ya que la diferencia entre una put y una call es un forward, que es lineal en S e independiente de σ (por lo que un forward tiene cero gamma y cero vega). N' es la función de densidad de probabilidad normal estándar.

En la práctica, algunas sensibilidades suelen citarse en términos reducidos, para que coincidan con la escala de cambios probables en los parámetros. Por ejemplo, rho a menudo se informa dividido por 10,000 (cambio de tasa de 1 punto base), vega por 100 (cambio de 1 punto de volumen) y theta por 365 o 252 (descenso de 1 día basado en días calendario o días comerciales por año).

Tenga en cuenta que "Vega" no es una letra del alfabeto griego; el nombre surge de la mala lectura de la letra griega nu (traducida de diversas formas como $no$ , ν y ν) como una V.

Extensiones del modelo

El modelo anterior se puede extender para tasas y volatilidades variables (pero deterministas). El modelo también puede utilizarse para valorar opciones europeas sobre instrumentos que pagan dividendos. En este caso, las soluciones de forma cerrada están disponibles si el dividendo es una proporción conocida del precio de las acciones. Las opciones americanas y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar y hay disponible una selección de técnicas de solución (por ejemplo, celosías y cuadrículas).

Instrumentos que pagan dividendos de rendimiento continuo

Para las opciones sobre índices, es razonable hacer la suposición simplificada de que los dividendos se pagan continuamente y que el monto del dividendo es proporcional al nivel del índice.

El pago de dividendos pagado durante el período de tiempo $[t,t+dt]$ se modela como: $qS_{t},dt$

para alguna constante $q$ (la rentabilidad por dividendo).

Según esta formulación, se puede demostrar que el precio libre de arbitraje implícito en el modelo de Black-Scholes es: ${displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(Tt)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})],}$

y ${displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(Tt)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})],}$

donde ahora ${displaystyle F=S_{t}e^{(rq)(Tt)},}$

es el precio a plazo modificado que se produce en los términos $d_{1},d_{2}$ : ${displaystyle d_{1}={frac {1}{sigma {sqrt {Tt}}}}left[ln left({frac {S_{t}}{K}}right) +izquierda(r-q+{frac {1}{2}}sigma ^{2}derecha)(Tt)derecha]}$

y ${displaystyle d_{2}=d_{1}-sigma {sqrt {Tt}}={frac {1}{sigma {sqrt {Tt}}}}left[ln left({ frac {S_{t}}{K}}derecha)+izquierda(rq-{frac {1}{2}}sigma ^{2}derecha)(Tt)derecha]}$ .

Instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos

También es posible extender el marco Black-Scholes a opciones sobre instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto es útil cuando la opción se activa en una sola acción.

Un modelo típico es suponer que una proporción $delta$ del precio de las acciones se paga en momentos predeterminados ${displaystyle t_{1},t_{2},ldots,t_{n}}$ . El precio de la acción se modela entonces como: $S_{t}=S_{0}(1-delta)^{n(t)}e^{ut+sigma W_{t}}$

donde $Nuevo Testamento)$ es el número de dividendos que se han pagado por tiempo $t$ .

El precio de una opción de compra sobre dicha acción es nuevamente: $C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})],$

donde ahora $F=S_{0}(1-delta)^{n(T)}e^{rT},$

es el precio a plazo de las acciones que pagan dividendos.

Opciones americanas

El problema de encontrar el precio de una opción americana está relacionado con el problema de parada óptima de encontrar el tiempo para ejecutar la opción. Dado que la opción americana se puede ejercer en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, la ecuación de Black-Scholes se convierte en una desigualdad variacional de la forma ${frac {parcial V}{parcial t}}+{frac {1}{2}}sigma ^{2}S^{2}{frac {parcial^{2}V}{ parcial S^{2}}}+rS{frac {parcial V}{parcial S}}-rVleq 0$

junto con $V (S, t) geq H (S)$ donde $H(S)$ denota el pago al precio de las acciones $S$ y la condición terminal: $V(S,T)=H(S)$ .

En general, esta desigualdad no tiene una solución de forma cerrada, aunque una llamada estadounidense sin dividendos es igual a una opción europea y el método Roll-Geske-Whaley proporciona una solución para una opción estadounidense con un dividendo; véase también la aproximación de Black.

Barone-Adesi y Whaley es otra fórmula de aproximación. Aquí, la ecuación diferencial estocástica (que es válida para el valor de cualquier derivado) se divide en dos componentes: el valor de la opción europea y la prima de ejercicio anticipado. Con algunas suposiciones, se obtiene entonces una ecuación cuadrática que aproxima la solución de este último. Esta solución consiste en encontrar el valor crítico $s*$ , tal que sea indiferente entre el ejercicio temprano y mantener hasta el vencimiento.

Bjerksund y Stensland proporcionan una aproximación basada en una estrategia de ejercicio correspondiente a un precio de activación. Aquí, si el precio del activo subyacente es mayor o igual que el precio de activación, es óptimo ejercerlo, y el valor debe ser igual a $SX$ , de lo contrario, la opción "se reduce a: (i) una opción europea de compra up-and-out... y (ii) un descuento que se recibe en la fecha de cancelación si la opción se cancela antes de la fecha de vencimiento". La fórmula se modifica fácilmente para la valoración de una opción de venta, utilizando la paridad put-call. Esta aproximación es computacionalmente económica y el método es rápido, con evidencia que indica que la aproximación puede ser más precisa en la fijación de precios de opciones a largo plazo que Barone-Adesi y Whaley.

Puesta perpetua

A pesar de la falta de una solución analítica general para las opciones de venta estadounidenses, es posible derivar una fórmula de este tipo para el caso de una opción perpetua, lo que significa que la opción nunca vence (es decir, $Trightarrowinfty$ ). En este caso, el decaimiento temporal de la opción es igual a cero, lo que lleva a que la PDE de Black-Scholes se convierta en una ODE:

{displaystyle {1 over {2}}sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V over {dS^{2}}}+(rq)S{dV over {dS }}-rV=0}

Denotemos ${ estilo de visualización S_ {-}}$ el límite inferior de ejercicio, por debajo del cual es óptimo para ejercer la opción. Las condiciones de contorno son:

{displaystyle V(S_{-})=K-S_{-},quad V_{S}(S_{-})=-1,quad V(S)leq K}

Las soluciones de la ODE son una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes cualesquiera:

{displaystyle V(S)=A_{1}S^{lambda _{1}}+A_{2}S^{lambda _{2}}}

Para ${displaystyle S_{-}leq S}$ , la sustitución de esta solución en la ODE por ${ estilo de visualización i = {1,2}}$ rendimientos:

{displaystyle left[{1 over {2}}sigma ^{2}lambda _{i}(lambda _{i}-1)+(rq)lambda _{i}-rright ]S^{lambda_{i}}=0}

Reordenando los términos en da:

{displaystyle {1 over {2}}sigma ^{2}lambda _{i}^{2}+left(rq-{1 over {2}}sigma ^{2}right) lambda _{i}-r=0}

Usando la fórmula cuadrática, las soluciones para $lambda_{i}$ son:

{displaystyle {begin{alineado}lambda _{1}&={-left(rq-{1 over {2}}sigma ^{2}right)+{sqrt {left(rq -{1 sobre {2}}sigma ^{2}right)^{2}+2sigma ^{2}r}} sobre {sigma ^{2}}}\lambda _{ 2}&={-left(rq-{1 over {2}}sigma ^{2}right)-{sqrt {left(rq-{1 over {2}}sigma ^{ 2}right)^{2}+2sigma ^{2}r}} over {sigma ^{2}}}end{alineado}}}

Para tener una solución finita para la opción put perpetua, dado que las condiciones de contorno implican límites finitos superior e inferior en el valor de la opción put, es necesario establecer ${ estilo de visualización A_ {1} = 0}$ , lo que conduce a la solución ${displaystyle V(S)=A_{2}S^{lambda_{2}}}$ . De la primera condición de frontera se sabe que:

{displaystyle V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{lambda _{2}}=K-S_{-}implica A_{2}={K-S_{- } sobre {(S_{-})^{lambda _{2}}}}}

Por lo tanto, el valor de la opción put perpetua se convierte en:

{displaystyle V(S)=(K-S_{-})left({S over {S_{-}}}right)^{lambda_{2}}}

La segunda condición de contorno produce la ubicación del límite inferior del ejercicio:

{displaystyle V_{S}(S_{-})=lambda_{2}{K-S_{-} over {S_{-}}}=-1implica S_{-}={lambda _ {2}K sobre {lambda _{2}-1}}}

Para concluir, para ${textstyle Sgeq S_{-}={lambda_{2}K over {lambda_{2}-1}}}$ , la opción de venta estadounidense perpetua vale:

{displaystyle V(S)={K over {1-lambda _{2}}}left({lambda _{2}-1 over {lambda _{2}}}right)^ {lambda _{2}}left({S over {K}}right)^{lambda _{2}}}

Opciones binarias

Al resolver la ecuación diferencial de Black-Scholes con la función de Heaviside como condición de contorno, uno termina con el precio de las opciones que pagan una unidad por encima de un precio de ejercicio predefinido y nada por debajo.

De hecho, la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción de compra estándar (u opción de venta) se puede interpretar descomponiendo una opción de compra en una opción de compra de activo o nada menos una opción de compra de efectivo o nada, y de manera similar para una opción de venta: las opciones binarias son más fáciles de analizar y corresponden a los dos términos de la fórmula de Black-Scholes.

Llamada de efectivo o nada

Esto paga una unidad de efectivo si el spot está por encima del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por: ${displaystyle C=e^{-r(Tt)}N(d_{2}).,}$

Poner dinero en efectivo o nada

Esto paga una unidad de efectivo si el spot está por debajo del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por: ${displaystyle P=e^{-r(Tt)}N(-d_{2}).,}$

Llamada de activo o nada

Esto paga una unidad de activo si el spot está por encima del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por: ${displaystyle C=Se^{-q(Tt)}N(d_{1}).,}$

Venta de activo o nada

Esto paga una unidad de activo si el spot está por debajo del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por: ${displaystyle P=Se^{-q(Tt)}N(-d_{1}),}$

Divisas (FX)

Denotando con S el tipo de cambio FOR/DOM (es decir, 1 unidad de moneda extranjera vale S unidades de moneda nacional), se puede observar que pagar 1 unidad de moneda nacional si el spot al vencimiento está por encima o por debajo del precio de ejercicio es exactamente como una opción call y put de efectivo o nada, respectivamente. Del mismo modo, pagar 1 unidad de la moneda extranjera si el punto al vencimiento está por encima o por debajo del precio de ejercicio es exactamente como una opción call y put de activo o nada, respectivamente. Por lo tanto, tomando $r_{{PARA}}$ , la tasa de interés extranjera, $r_{{DOM}}$ , la tasa de interés interna y el resto como se indicó anteriormente, se pueden obtener los siguientes resultados:

En el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR/put DOM) pagando una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente: ${displaystyle C=e^{-r_{DOM}T}N(d_{2}),}$

En el caso de una opción de venta digital (esta es una opción de venta FOR/call DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente: ${displaystyle P=e^{-r_{DOM}T}N(-d_{2}),}$

En el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR/put DOM) pagando una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor presente: ${displaystyle C=Se^{-r_{PARA}T}N(d_{1}),}$

En el caso de una opción put digital (esta es una opción put FOR/call DOM) que paga una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor presente: ${displaystyle P=Se^{-r_{PARA}T}N(-d_{1}),}$

Sesgar

En el modelo estándar de Black-Scholes, se puede interpretar la prima de la opción binaria en el mundo neutral al riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar en el dinero * unidad, descontada al valor presente. El modelo de Black-Scholes se basa en la simetría de la distribución e ignora la asimetría de la distribución del activo. Los creadores de mercado ajustan dicho sesgo, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente $sigma$ en todos los strikes, incorporando una variable en la $sigma (K)$ que la volatilidad depende del precio de ejercicio, incorporando así el sesgo de volatilidad en cuenta. El sesgo es importante porque afecta al binario considerablemente más que a las opciones normales.

Una opción de compra binaria es, en vencimientos largos, similar a un diferencial de llamada ajustado que utiliza dos opciones de vainilla. Se puede modelar el valor de una opción binaria de efectivo o nada, C, en el ejercicio K, como un diferencial infinitesimalmente estrecho, donde $CV}$ es una opción de compra estándar europea: $C=lim _{{epsilon to 0}}{frac {C_{v}(K-epsilon)-C_{v}(K)}{epsilon }}$

Así, el valor de una call binaria es el negativo de la derivada del precio de una call vanilla con respecto al precio de ejercicio: $C = - { fracción {dC_ {v}} {dK}}$

Cuando se tiene en cuenta el sesgo de volatilidad, $sigma$ es una función de $k$ : $C=-{frac {dC_{v}(K,sigma (K))}{dK}}=-{frac {parcial C_{v}}{parcial K}}-{frac { parcial C_{v}}{parcial sigma }}{frac {parcial sigma }{parcial K}}$

El primer término es igual a la prima de la opción binaria ignorando el sesgo: ${displaystyle -{frac {parcial C_{v}}{parcial K}}=-{frac {parcial (SN(d_{1})-Ke^{-r(Tt)}N(d_ {2}))}{K parcial}}=e^{-r(Tt)}N(d_{2})=C_{text{sin sesgo}}}$

${frac {parcial C_{v}}{parcial sigma }}$ es la Vega de la llamada vainilla; ${frac {parcial sigma}{parcial K}}$ a veces se denomina "pendiente sesgada" o simplemente "sesgada". Si el sesgo suele ser negativo, el valor de una llamada binaria será mayor cuando se tenga en cuenta el sesgo. ${displaystyle C=C_{text{sin sesgo}}-{text{Vega}}_{v}cdot {text{sesgo}}}$

Relación con las opciones de vainilla griegas

Dado que una opción call binaria es una derivada matemática de una opción call estándar con respecto al precio de ejercicio, el precio de una opción call binaria tiene la misma forma que la delta de una opción call estándar, y la delta de una opción call binaria tiene la misma forma que la gamma de una llamada de vainilla.

Black-Scholes en la práctica

Los supuestos del modelo Black-Scholes no son todos empíricamente válidos. El modelo se emplea ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero la aplicación adecuada requiere comprender sus limitaciones: seguir el modelo a ciegas expone al usuario a riesgos inesperados. Entre las limitaciones más significativas se encuentran:

la subestimación de los movimientos extremos, lo que genera un riesgo de cola, que puede cubrirse con opciones fuera del dinero;
la asunción de negociación instantánea y sin costo, que genera un riesgo de liquidez, que es difícil de cubrir;
la asunción de un proceso estacionario, que genera riesgo de volatilidad, que puede cubrirse con cobertura de volatilidad;
el supuesto de tiempo continuo y negociación continua, lo que genera un riesgo de brecha, que puede cubrirse con cobertura Gamma.

En resumen, mientras que en el modelo de Black-Scholes se pueden cubrir perfectamente las opciones simplemente mediante la cobertura Delta, en la práctica existen muchas otras fuentes de riesgo.

Los resultados que utilizan el modelo Black-Scholes difieren de los precios del mundo real debido a la simplificación de los supuestos del modelo. Una limitación importante es que, en realidad, los precios de los valores no siguen un proceso logarítmico normal estacionario estricto, ni se conoce realmente el interés libre de riesgo (y no es constante en el tiempo). Se ha observado que la varianza no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar los cambios de volatilidad. Las discrepancias de precios entre el modelo empírico y el de Black-Scholes se han observado durante mucho tiempo en opciones que están muy fuera del dinero, lo que corresponde a cambios de precios extremos; tales eventos serían muy raros si los rendimientos estuvieran distribuidos lognormalmente, pero se observan mucho más a menudo en la práctica.

Sin embargo, la fijación de precios de Black-Scholes se usa ampliamente en la práctica porque es:

fácil de calcular
una aproximación útil, particularmente cuando se analiza la dirección en la que se mueven los precios cuando cruzan puntos críticos
una base sólida para modelos más refinados
reversible, ya que la salida original del modelo, el precio, puede usarse como entrada y una de las otras variables resueltas; la volatilidad implícita calculada de esta manera se usa a menudo para cotizar precios de opciones (es decir, como una convención de cotización).

El primer punto es evidentemente útil. Los otros pueden ser discutidos más a fondo:

Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo a menudo son útiles para establecer coberturas en las proporciones correctas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente precisos, sirven como una primera aproximación a la que se pueden hacer ajustes.

Base para modelos más refinados: el modelo de Black-Scholes es robusto en el sentido de que puede ajustarse para lidiar con algunas de sus fallas. En lugar de considerar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, uno los considera variables y, por lo tanto, fuentes adicionales de riesgo. Esto se refleja en las griegas (el cambio en el valor de la opción por un cambio en estos parámetros, o equivalentemente las derivadas parciales con respecto a estas variables), y la cobertura de estas griegas mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, en particular el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se gestionan fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de tensión.

Modelado explícito: esta característica significa que, en lugar de asumir una volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, se puede usar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción a precios, duraciones y precios de ejercicio dados. Resolviendo la volatilidad sobre un conjunto dado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita. En esta aplicación del modelo de Black-Scholes, una transformación de coordenadas del dominio de precios al dominio de volatilidades obtenido. En lugar de cotizar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar entre precios de ejercicio, duraciones y frecuencias de cupones), los precios de las opciones pueden cotizarse en términos de volatilidad implícita, lo que conduce a negociar la volatilidad en los mercados de opciones.

La sonrisa de la volatilidad

Una de las características atractivas del modelo de Black-Scholes es que los parámetros del modelo distintos de la volatilidad (el tiempo hasta el vencimiento, el ejercicio, la tasa de interés libre de riesgo y el precio subyacente actual) son inequívocamente observables. En igualdad de condiciones, el valor teórico de una opción es una función creciente monótona de la volatilidad implícita.

Al calcular la volatilidad implícita de las opciones negociadas con diferentes strikes y vencimientos, se puede probar el modelo Black-Scholes. Si se mantuviera el modelo de Black-Scholes, la volatilidad implícita de una acción en particular sería la misma para todos los strikes y vencimientos. En la práctica, la superficie de volatilidad (el gráfico 3D de la volatilidad implícita contra el ejercicio y el vencimiento) no es plana.

La forma típica de la curva de volatilidad implícita para un vencimiento dado depende del instrumento subyacente. Las acciones tienden a tener curvas sesgadas: en comparación con at-the-money, la volatilidad implícita es sustancialmente más alta para los strikes bajos y ligeramente más baja para los strikes altos. Las divisas tienden a tener curvas más simétricas, con la volatilidad implícita más baja en el dinero y volatilidades más altas en ambas alas. Las materias primas a menudo tienen el comportamiento inverso al de las acciones, con mayor volatilidad implícita para precios de ejercicio más altos.

A pesar de la existencia de la sonrisa de volatilidad (y la violación de todos los demás supuestos del modelo de Black-Scholes), la PDE de Black-Scholes y la fórmula de Black-Scholes todavía se usan ampliamente en la práctica. Un enfoque típico es considerar la superficie de volatilidad como un hecho sobre el mercado y utilizar una volatilidad implícita en un modelo de valoración de Black-Scholes. Esto se ha descrito como usar "el número incorrecto en la fórmula incorrecta para obtener el precio correcto".Este enfoque también proporciona valores utilizables para los índices de cobertura (los griegos). Incluso cuando se utilizan modelos más avanzados, los operadores prefieren pensar en términos de volatilidad implícita de Black-Scholes, ya que les permite evaluar y comparar opciones de diferentes vencimientos, strikes, etc. Para una discusión sobre los diversos enfoques alternativos desarrollados aquí, consulte Economía financiera § Desafíos y críticas.

Valoración de opciones de bonos

Black-Scholes no se puede aplicar directamente a los títulos de bonos debido al pull-to-par. A medida que el bono alcanza su fecha de vencimiento, se conocen todos los precios involucrados en el bono, lo que disminuye su volatilidad, y el modelo simple de Black-Scholes no refleja este proceso. Se han utilizado un gran número de extensiones de Black-Scholes, comenzando con el modelo Black, para tratar este fenómeno. Ver Opción Bono § Valoración.

Curva de tipos de interés

En la práctica, las tasas de interés no son constantes: varían según el plazo (frecuencia del cupón), lo que da una curva de tasa de interés que puede interpolarse para elegir una tasa adecuada para usar en la fórmula de Black-Scholes. Otra consideración es que las tasas de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede hacer una contribución significativa al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente como la relación entre la tasa de interés y el precio de los bonos, que está inversamente relacionada.

Tasa de acciones cortas

Tomar una posición corta en acciones, como inherente a la derivación, no suele ser gratuito; de manera equivalente, es posible prestar una posición larga en acciones por una pequeña tarifa. En cualquier caso, esto puede tratarse como un dividendo continuo a los efectos de una valoración de Black-Scholes, siempre que no haya una asimetría evidente entre el costo del préstamo de acciones cortas y el ingreso del préstamo de acciones largas.

Críticas y comentarios.

Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb argumentan que el modelo Black-Scholes simplemente reformula modelos existentes ampliamente utilizados en términos de "cobertura dinámica" prácticamente imposible en lugar de "riesgo", para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica dominante. También afirman que Boness en 1964 ya había publicado una fórmula que es "realmente idéntica" a la ecuación de precios de opciones de compra de Black-Scholes. Edward Thorp también afirma haber adivinado la fórmula Black-Scholes en 1967, pero se la guardó para ganar dinero para sus inversores. Emanuel Derman y Nassim Taleb también han criticado la cobertura dinámica y afirman que varios investigadores habían presentado modelos similares antes de Black y Scholes. En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo.

En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway, Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula Black-Scholes, a pesar de que es el estándar para establecer la responsabilidad del dólar por las opciones, produce resultados extraños cuando se valora la variedad a largo plazo.... La fórmula Black-Scholes se ha acercado al estado de las escrituras sagradas en las finanzas... Sin embargo, si la fórmula se aplica a períodos de tiempo prolongados, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, Black y Scholes casi seguramente entendieron bien este punto Pero sus devotos seguidores pueden estar ignorando las advertencias que los dos hombres hicieron cuando revelaron la fórmula por primera vez".

El matemático británico Ian Stewart, autor del libro de 2012 titulado En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo, dijo que Black-Scholes había "resaltado un crecimiento económico masivo" y que "el sistema financiero internacional estaba negociando derivados valorados en un cuatrillón de dólares". por año" para 2007. Dijo que la ecuación Black-Scholes era la "justificación matemática para el comercio" y, por lo tanto, "un ingrediente en un rico estofado de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y regulación laxa" que contribuyó a la crisis financiera de 2007-08. Aclaró que "la ecuación en sí no era el verdadero problema", sino su abuso en la industria financiera.