Modelo de Beltrami-Klein

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En geometría, el modelo de Beltrami-Klein, también llamado modelo proyectivo, modelo de disco de Klein y modelo de Cayley-Klein, es un modelo de geometría hiperbólica en el que los puntos se representan por los puntos en el interior del disco unitario (o bola unitaria de n dimensión) y las líneas se representan por las cuerdas, segmentos de línea recta con puntos finales ideales en la esfera límite.

El modelo Beltrami–Klein debe su nombre al geómetra italiano Eugenio Beltrami y al alemán Felix Klein, mientras que el término "Cayley" en el modelo Cayley–Klein hace referencia al geómetra inglés Arthur Cayley.

El modelo de Beltrami-Klein es análogo a la proyección gnomónica de la geometría esférica, en el sentido de que las geodésicas (círculos máximos en la geometría esférica) se asignan a líneas rectas.

Este modelo no es conforme, lo que significa que los ángulos y los círculos están distorsionados, mientras que el modelo del disco de Poincaré los conserva.

En este modelo, las líneas y los segmentos son segmentos euclidianos rectos, mientras que en el modelo del disco de Poincaré, las líneas son arcos que se encuentran con el límite de manera ortogonal.

Historia

Este modelo apareció por primera vez para la geometría hiperbólica en dos memorias de Eugenio Beltrami publicadas en 1868, primero para la dimensión n = 2 y luego para la dimensión n general. Estos ensayos demostraron la equiconsistencia de la geometría hiperbólica con la geometría euclidiana ordinaria.

Los trabajos de Beltrami pasaron desapercibidos hasta hace poco y el modelo recibió el nombre de Klein (el "modelo del disco de Klein"). Esto ocurrió de la siguiente manera: en 1859, Arthur Cayley utilizó la definición de ángulo en razón cruzada de Laguerre para demostrar cómo se podía definir la geometría euclidiana utilizando la geometría proyectiva. Su definición de distancia se conocería más tarde como la métrica de Cayley.

En 1869, el joven Felix Klein (de veinte años) conoció la obra de Cayley. Recordó que en 1870 dio una conferencia sobre la obra de Cayley en el seminario de Weierstrass y escribió:

"Terminé con una pregunta si podría existir una conexión entre las ideas de Cayley y Lobachevsky. Me dieron la respuesta de que estos dos sistemas estaban conceptualmente ampliamente separados".

Más tarde, Felix Klein se dio cuenta de que las ideas de Cayley dan lugar a un modelo proyectivo del plano no euclidiano.

Como dice Klein, "me dejé convencer por estas objeciones y dejé de lado esta idea ya madura". Sin embargo, en 1871, volvió a esta idea, la formuló matemáticamente y la publicó.

fórmula de distancia

La función de distancia para el modelo de Beltrami–Klein es una métrica de Cayley–Klein. Dados dos puntos distintos p y q en la esfera unitaria abierta, la única línea recta que los conecta interseca el límite en dos puntos ideales, a y b, etiquételos de modo que los puntos sean, en orden, a, p, q, b de modo que |aq| > |ap| y |pb| > |qb|.

La distancia hiperbólica entre p y q es entonces: ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}}}}$

Las barras verticales indican las distancias euclidianas entre los puntos del modelo, donde ln es el logaritmo natural y se necesita el factor de la mitad para dar al modelo la curvatura estándar de −1.

Cuando uno de los puntos es el origen y la distancia euclidiana entre los puntos es r entonces la distancia hiperbólica es:

{\frac {1}{2}}\ln\left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=\operatorname {artanh} r,

donde artanh es la función hiperbólica inversa de la tangente hiperbólica.

El modelo de disco Klein

En dos dimensiones, el modelo de Beltrami-Klein se denomina modelo de disco de Klein. Es un disco y el interior del disco es un modelo de todo el plano hiperbólico. Las líneas de este modelo se representan mediante cuerdas del círculo límite (también llamado absoluto). Los puntos del círculo límite se denominan puntos ideales; aunque están bien definidos, no pertenecen al plano hiperbólico. Tampoco los puntos fuera del disco, que a veces se denominan puntos ultra ideales.

El modelo no es conforme, lo que significa que los ángulos están distorsionados y los círculos en el plano hiperbólico en general no son circulares en el modelo. Solo los círculos que tienen su centro en el centro del círculo límite no están distorsionados. Todos los demás círculos están distorsionados, al igual que los horociclos y los hiperciclos.

Propiedades

Las cuerdas que se encuentran en el círculo límite son líneas paralelas limitantes.

Dos cuerdas son perpendiculares si, cuando se extienden fuera del disco, cada una pasa por el polo de la otra. (El polo de una cuerda es un punto ultra ideal: el punto fuera del disco donde se encuentran las tangentes al disco en los puntos finales de la cuerda.) Las cuerdas que pasan por el centro del disco tienen su polo en el infinito, ortogonal a la dirección de la cuerda (esto implica que los ángulos rectos de los diámetros no están distorsionados).

Compass and straightedge constructions

A continuación se muestra cómo se pueden utilizar las construcciones con regla y compás en el modelo para lograr el efecto de las construcciones básicas en el plano hiperbólico.

El polo de una línea. Mientras que el polo no es un punto en el plano hiperbólico (es un punto ultra ideal) la mayoría de las construcciones utilizarán el polo de una línea de una o más maneras.

Para una línea: construir los tangentes al círculo de límites a través de los puntos ideales (fin) de la línea. el punto donde estos tangentes se intersectan es el polo.

Para diámetros del disco: el polo está en infinidad perpendicular al diámetro.

A construir un perpendicular a una línea dada a través de un punto dado dibujar el rayo del polo de la línea a través del punto dado. La parte del rayo que está dentro del disco es el perpendicular.

Cuando la línea es un diámetro del disco entonces el perpendicular es el acorde que es (Euclidean) perpendicular a ese diámetro y pasando por el punto dado.

A encontrar el punto medio del segmento dado $AB$ : Dibujar las líneas a través de A y B que son perpendiculares a $AB$ . (ver arriba) Dibuja las líneas que conectan el puntos ideales de estas líneas, dos de estas líneas intersecarán el segmento $AB$ y lo hará en el mismo punto. Este punto es el punto medio (hiperbólico) $AB$ .
A bisectar un ángulo dado $\angle BAC$ : Dibuja los rayos AB y AC. Dibuja tangentes al círculo donde los rayos intersectan el círculo de límites. Dibuja una línea de A hasta el punto donde los tangentes se intersectan. La parte de esta línea entre A y el círculo de límites es el bisector.
El perpendicular común de dos líneas es el acorde que cuando se extiende pasa por ambos polos de los acordes.

Cuando uno de los acordes es un diámetro del círculo de límites entonces el perpendicular común es el acorde que es perpendicular al diámetro y que cuando se alarga pasa por el polo del otro acorde.

A reflejar un punto P en una línea l: Desde un punto R en la línea l dibujar el rayo a través de P. Que X sea el punto ideal donde el rayo interseque el absoluto. Dibuja el rayo del polo de la línea l a través de la X, deja que Y sea otro punto ideal que interseque el rayo. Dibuja el segmento RY. El reflejo del punto P es el punto donde el rayo del polo de la línea l a través de P intersecta RY.

Círculos, hiperciclos y horociclos

Si bien las líneas en el plano hiperbólico son fáciles de dibujar en el modelo de disco de Klein, no sucede lo mismo con los círculos, hiperciclos y horociclos.

Los círculos (el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia dada de un punto dado, su centro) en el modelo se convierten en elipses cada vez más aplanadas a medida que se acercan al borde. También los ángulos en el modelo del disco de Klein se deforman.

Para construcciones en el plano hiperbólico que contengan círculos, hiperciclos, horociclos o ángulos no rectos es mejor utilizar el modelo de disco de Poincaré o el modelo de semiplano de Poincaré.

Relación con el modelo de disco Poincaré

Proyecciones combinadas del modelo de disco Klein (amarillo) al modelo de disco Poincaré (rojo) a través del modelo hemisférico (azul)

El modelo Beltrami-Klein (K en la imagen) es una proyección ortográfica del modelo hemisférico y una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) con el centro del hiperboloide (O) como su centro.

Tanto el modelo del disco de Poincaré como el del disco de Klein son modelos del plano hiperbólico. Una ventaja del modelo del disco de Poincaré es que es conforme (los círculos y los ángulos no se distorsionan); una desventaja es que las líneas de la geometría son arcos circulares ortogonales al círculo límite del disco.

Los dos modelos están relacionados a través de una proyección sobre o desde el modelo hemisférico. El modelo de Klein es una proyección ortográfica al modelo hemisférico mientras que el modelo del disco de Poincaré es una proyección estereográfica.

Al proyectar las mismas líneas en ambos modelos sobre un mismo disco, ambas líneas pasan por los mismos dos puntos ideales. (los puntos ideales permanecen en el mismo lugar) además el polo de la cuerda es el centro del círculo que contiene el arco.

Si P es un punto a distancia $s$ desde el centro del círculo de la unidad en el modelo Beltrami-Klein, luego el punto correspondiente en el modelo de disco Poincaré una distancia de u en el mismo radio:

u={\frac {}{1+{\sqrt {1-s^{ {\fnMicroc} {\fnMicroc {\cH00}}}}= {\fnMicroc {\left(1-{\sqrt {1-s^{2}} {}}} {}}} {\fnMicrosoft Sans Serif

Por el contrario, Si P es un punto a distancia $u$ desde el centro del círculo de unidad en el modelo de disco Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo Beltrami-Klein es una distancia de s en el mismo radio:

s={\frac {2u}{1+u^{2}}

Relación del modelo de disco con el modelo hiperboloide

Tanto el modelo hiperboloide como el modelo de disco de Klein son modelos del plano hiperbólico.

El disco de Klein (K, en la imagen) es una proyección gnomónica del modelo hiperboloide (Hy) que tiene como centro el centro del hiperboloide (O) y el plano de proyección es tangente al punto más cercano del hiperboloide.

Distancia y tensor métrico

Dados dos puntos distintos U y V en la esfera unitaria abierta del modelo en el espacio euclidiano, la única línea recta que los conecta interseca la esfera unitaria en dos puntos ideales A y B, etiquetados de modo que los puntos sean, en orden a lo largo de la línea, A, U, V, B. Tomando el centro de la esfera unitaria del modelo como origen y asignando los vectores de posición u, v, a, b respectivamente a los puntos U, V, A, B, tenemos que ‖a − v‖ > ‖a − u‖ y ‖u − b‖ > ‖v − b‖, donde ‖ · ‖ denota la norma euclidiana. Entonces, la distancia entre U y V en el espacio hiperbólico modelado se expresa como

{\displaystyle d(\mathbf {u}\mathbf {v}={\frac {1}{2}\ln {\frac {\left\ eterna\mathbf {v} -\mathbf {a}\derecha\derecha\derecha\de,\left\fnMithbf {b} - Mathbf {u} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} - 'mathbf {a} \right\fn,\left\fnMitbf {b} - Mathbf {v} 'derecha'

donde se necesita el factor de la mitad para que la curvatura sea −1.

El tensor métrico asociado viene dado por

ds^{2}=g(\mathbf {x}d\mathbf {x})={\frac {\left\perfectd\mathbf {x}\right\f}{2}{1-\left\\mathbf {x} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\f}}} {\f}}} {\b}} {\f}}\f}\f} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\f}}\f}}\f}\f}\cH0}\b} {\b}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {2}

Relación con el modelo hiperboloide

Parcial {7,3} Tiling hiperbólico del hiperboloide visto en la perspectiva Beltrami-Klein.

Animación de la inclinación hiperbólica parcial {7,3} del hiperboloide girando en la perspectiva Beltrami-Klein.

El modelo hiperboloide es un modelo de geometría hiperbólica dentro del espacio de Minkowski de (n + 1)-dimensional. El producto interno de Minkowski está dado por

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots - ¿Qué?

y la norma por $\left\fnMitbf {x}\right\fnh={\sqrt {\mathbf {x} {x}$ . El plano hiperbólico está incrustado en este espacio como vectores x con .xØ 1 y x₀ (el componente "tiempo similar") positivo. La distancia intrínseca (en la incrustación) entre puntos u y v es entonces dado por

d(\mathbf {u}\mathbf {v})=\operatorname {arcosh} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}).

Esto también puede escribirse en forma homogénea

d(\mathbf {u}\mathbf {v}=\operatorname {arcosh} \left({\frac {\mathbf {u} {\cdot {\fnMithbf {\f}} {\cdot {\fnMithbf {} {\f} {\f} {\fnMitbf {\f}\fnMitbf {\fnh}\fnMit,}}

lo que permite reescalar los vectores para mayor comodidad.

El modelo de Beltrami-Klein se obtiene a partir del modelo hiperboloide reescalando todos los vectores de modo que el componente temporal sea 1, es decir, proyectando la incrustación hiperboloide a través del origen sobre el plano x₀ = 1. La función de distancia, en su forma homogénea, no cambia. Dado que las líneas intrínsecas (geodésicas) del modelo hiperboloide son la intersección de la incrustación con los planos a través del origen de Minkowski, las líneas intrínsecas del modelo de Beltrami-Klein son las cuerdas de la esfera.

Relación con el modelo de bolas Poincaré

Tanto el modelo de bolas Poincaré como el modelo Beltrami-Klein son modelos del n- espacio hiperbólico dimensional en el n- bola unidad dimensional en Rⁿ. Si $u$ es un vector de norma menos de uno que representa un punto del modelo de disco Poincaré, entonces el punto correspondiente del modelo Beltrami-Klein es dado por

s={\frac {2u}{1+u\cdot u}

Por el contrario, de un vector $s$ de la norma menos de uno que representa un punto del modelo Beltrami-Klein, el punto correspondiente del modelo de disco Poincaré es dado por

u={\frac {}{1+{\sqrt {1-s\cdot {\fnMicroc {\fnMicrosoft Sans}} {\cdot s} {\cdot s} {\cdot s}} {\cdot s}}} {\cdot s}}}} {\cdot}}}} {\cdot {\cdot {\cdot}}}}}} {\cdot}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Dados dos puntos en el límite del disco unitario, que tradicionalmente se denominan puntos ideales, la línea recta que los conecta en el modelo de Beltrami-Klein es la cuerda entre ellos, mientras que en el modelo de Poincaré correspondiente la línea es un arco circular en el subespacio bidimensional generado por los dos vectores de puntos límite, que se encuentra con el límite de la bola en ángulos rectos. Los dos modelos están relacionados a través de una proyección desde el centro del disco; un rayo desde el centro que pasa por un punto de una línea del modelo pasa por el punto correspondiente de la línea en el otro modelo.

Véase también

Poincaré half-plane model
Modelo de disco Poincaré
Poincaré metric
Geometría inversiva

Notas

^ Beltrami, Eugenio (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea". Giornale di Mathematiche. VI: 285-315.
^ Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante". Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie II. 2: 232–255. doi:10.1007/BF02419615. S2CID 120773141.
^ Stillwell, John (1999). Fuentes de geometría hiperbólica (2. impresión. ed.). Providence: American mathematics society. pp. 7–62. ISBN 0821809229.
^ Cayley, Arthur (1859). "Una Sexta Memoria sobre Cuántica". Transacciones filosóficas de la Sociedad Real. 159: 61–91. doi:10.1098/rstl.1859.0004.
^ Klein, Felix (1926). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer. p. 152.
^ Klein, Felix (1871). "Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie". Mathematische Annalen. 4 (4): 573-625. doi:10.1007/BF02100583.
^ Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Álgebra lineal y geometría. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.
^ caja de herramientas hiperbólicas
^ caja de herramientas hiperbólicas
^ Greenberg, Marvin Jay (2003). Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia (3a edición). Nueva York: Freeman. pp. 272–273. ISBN 9780716724469.
^ Hwang, Andrew D. "Analogía de la proyección de geometría esférica e hiperbólica". Stack Exchange. Retrieved 1° de enero 2017.
^ J. W. Cannon; W. J. Floyd; R. Kenyon; W. R. Parry. " Geometría hiperbólica" (PDF). Archivado desde el original (PDF) el 2020-11-01.
^ respuesta de Stack Exchange

Referencias

Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas, EUDEBA.
Stahl, Saul (2007), Una puerta de entrada a la geometría moderna: el medio ambiente Poincare (2a edición), Jones & Bartlett Learning, ISBN 978-0-7637-5381-8
Nielsen, Frank; Nock, Richard (2009), "Hyperbolic Voronoi diagramas hecho fácil", 2010 Conferencia Internacional sobre Ciencia y Sus Aplicaciones, págs. 74 a 80, arXiv:0903.3287, doi:10.1109/ICCSA.2010.37, ISBN 978-1-4244-6461-6, S2CID 14129082

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