Modelo cuántico de Heisenberg

El quantum Modelo Heisenberg, desarrollado por Werner Heisenberg, es un modelo mecánico estadístico utilizado en el estudio de puntos críticos y transiciones de fase de sistemas magnéticos, en el que se tratan mecánicamente los giros de los sistemas magnéticos. Está relacionado con el modelo de Ising prototípico, donde en cada sitio de una celosía, una vuelta ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm #$ representa un dipolo magnético microscópico al que el momento magnético está arriba o abajo. Excepto el acoplamiento entre los momentos de dipolo magnético, también hay una versión multipolar del modelo Heisenberg llamado la interacción de intercambio multipolar.

Por razones de mecánica cuántica (véase interacción de intercambio o Magnetismo § Origen mecánico cuántico del magnetismo), el acoplamiento dominante entre dos dipolos puede provocar que los vecinos más próximos tengan la energía más baja cuando están alineados. Bajo este supuesto (de modo que las interacciones magnéticas sólo se produzcan entre dipolos adyacentes) y en una red periódica unidimensional, el hamiltoniano puede escribirse en la forma

${\displaystyle {\hat {H}=-J\sum ##{j=1} {N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum ##{j=1} {N}\sigma ¿Qué?$,

Donde ${\displaystyle J}$ es la constante de acoplamiento y los dipoles están representados por vectores clásicos (o "spins") σ_j, sujeto a la condición de límites periódicos ${\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma ¿Qué?$. El modelo Heisenberg es un modelo más realista en el que trata los giros cuántico-mecánicamente, reemplazando el giro por un operador cuántico actuando sobre el producto tensor ${\fnMicrosoft Sans Serif}$, de dimensión ${\displaystyle 2^{N}$. Para definirlo, recuerde las matrices Pauli spin-1/2

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0 tarde1\1}}$,

${\displaystyle \sigma ¿Qué?$,

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1 limit0\0 consecutivo-1\end{pmatrix}}$,

y para ${\displaystyle 1\leq j\leq N}$ y ${\displaystyle a\in \{x,y,z}$ denota ${\displaystyle \sigma _{j}{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes N-j}$, donde ${\displaystyle I}$ es ${\displaystyle 2\times 2}$ matriz de identidad. Dada una selección de constantes de acoplamiento de valor real ${\displaystyle J_{x},J_{y}$ y ${\displaystyle J_{z}$, el Hamiltonian es dado por

${\displaystyle {\hat {}=-{\frac} {1}{2}\sum ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? - ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$

Donde ${\displaystyle h}$ en el lado derecho indica el campo magnético externo, con condiciones de límites periódicos. El objetivo es determinar el espectro del Hamiltonian, desde el cual se puede calcular la función de partición y se puede estudiar la termodinámica del sistema.

Es común nombrar el modelo dependiendo de los valores de ${\displaystyle J_{x}$, ${\displaystyle J_{y}$ y ${\displaystyle J_{z}$Si ${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}$, el modelo se llama el modelo Heisenberg XYZ; en el caso de ${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta$, es el modelo Heisenberg XXZ; si ${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}$Es el modelo Heisenberg XXX. El modelo giratorio 1/2 Heisenberg en una dimensión puede ser resuelto exactamente usando el Asatz Bethe. En la formulación algebraica, estos están relacionados con álgebras de afina cuántica particular y grupos cuánticos elípticos en los casos XXZ y XYZ respectivamente. Otros enfoques lo hacen sin Bethe ansatz.

La física del modelo Heisenberg XXX depende fuertemente de la señal de la constante de acoplamiento ${\displaystyle J}$ y la dimensión del espacio. Para positivo ${\displaystyle J}$ el estado del suelo es siempre ferromagnético. At negative ${\displaystyle J}$ el estado del suelo es antiferromagnético en dos y tres dimensiones. En una dimensión la naturaleza de las correlaciones en el modelo Heisenberg antiferromagnético depende de la vuelta de los dipoles magnéticos. Si el giro es entero entonces sólo el orden de corto alcance está presente. Un sistema de tiradas de medio entero exhibe orden de rango cuasi-long.

Una versión simplificada del modelo de Heisenberg es el modelo unidimensional de Ising, donde el campo magnético transversal está en la dirección x y la interacción es solo en la dirección z:

${\displaystyle {\hat {}=-J\sum} _{j=1}\sigma _{j}\sigma ¿Por qué? ¿Por qué?$.

En pequeño g grandes g, la degeneración del estado terrestre es diferente, lo que implica que debe haber una transición de fase cuántica entre. Se puede resolver exactamente para el punto crítico usando el análisis de dualidad. La transición de la dualidad de las matrices Pauli es ${\textstyle \sigma ¿Por qué?$ y ${\displaystyle \sigma ¿Qué?$, donde ${\displaystyle S^{x}$ y ${\displaystyle S^{z}$ son también matrices Pauli que obedecen el álgebra de la matriz Pauli. Bajo condiciones de frontera periódicas, el Hamiltoniano transformado puede ser mostrado es de una forma muy similar:

${\displaystyle {\hat {}=-gJ\sum} ¿Por qué? ¿Qué?$

pero para el ${\displaystyle g}$ apegado al término de interacción de giro. Asumiendo que sólo hay un punto crítico, podemos concluir que la transición de fase ocurre en ${\displaystyle g=1}$.

Siguiendo el enfoque de Ludwig Faddeev (1996), el espectro del Hamiltonian para el modelo XXX $${\displaystyle H={\frac {1}{4}\sum _{\alphan}(\sigma _{n}\sigma ¿Por qué?$$puede ser determinado por el Asatz Bethe. En este contexto, para una familia de operadores debidamente definida ${\displaystyle B(\lambda)}$ dependiente de un parámetro espectral ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C}$ actuando en el espacio total de Hilbert ${\displaystyle {\Mathcal}=\bigotimes ¿Qué?$ con cada ${\displaystyle ¿Qué?$, a Sea el vector es un vector de la forma $${\displaystyle \Phi (\lambda _{1},\cdots\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda ¿Qué?$$Donde ${\displaystyle v_{0}=\bigotimes ¿Por qué?$. Si ${\displaystyle \lambda _{k}$ la satisfacción Sea la ecuación$${\displaystyle \left({\frac {\fnMicrode ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? {\fnMicrode ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué?$$entonces el vector Bethe es un eigenvector de ${\displaystyle H.$ con eigenvalue ${\displaystyle - ¿Qué? {1}{2}{\frac {1}{\lambda ¿Qué?$.

La familia ${\displaystyle B(\lambda)}$ así como otras tres familias provienen de una matriz de transferencia ${\displaystyle T(\lambda)}$ (a su vez definido utilizando una matriz de lax), que actúa en ${\displaystyle {\Mathcal {H}}$ junto con un espacio auxiliar ${\displaystyle ¿Qué?$, y puede ser escrito como ${\displaystyle 2\times 2}$ matriz bloque con entradas ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}}}}$, $${\displaystyle T(\lambda)={\begin{pmatrix}A(\lambda) limitadaB(\lambda)\\C(\lambda)}\end{pmatrix}},}$$que satisface las relaciones fundamentales de conmutación (FCRs) similares en forma a la ecuación Yang-Baxter utilizada para derivar las ecuaciones Bethe. Los FCR también muestran que hay un gran subalgebra de conmutación dada por la función generadora ${\displaystyle F(\lambda)=\mathrm {tr}(T(\lambda)=A(\lambda)+D(\lambda)}$, como ${\displaystyle [F(\lambda),F(\mu)]=0}$, entonces cuando ${\displaystyle F(\lambda)}$ está escrito como un polinomio en ${\displaystyle \lambda }$, los coeficientes todos conmutados, que abarcan un subalgebra conmutativa que ${\displaystyle H.$ es un elemento de. Los vectores Bethe son de hecho eigenvectores simultáneos para todo el subalgebra.

Para giros más altos, diga giro ${\displaystyle s}$, reemplazar ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }$ con ${\displaystyle S^{\alpha}$ proveniente de la representación del álgebra de Lie del álgebra ${\displaystyle {\mathfrak}(2,\mathbb {C}}$, de dimensión ${\displaystyle 2s+1}$. El XXX_s Hamiltonian $${\displaystyle H=\sum _{\alphan}(S_{n}{\alpha }S_{n+1}{\alpha - [S_{n] - Sí.$$es solvable por Bethe ansatz con Bethe ecuaciones $${\displaystyle \left({\frac {\lambda ¿Qué? ¿Por qué? {\fnMicrode ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué? - Sí.$$

Para la vuelta ${\displaystyle s}$ y un parámetro ${\displaystyle \gamma }$ para la deformación del modelo XXX, el BAE (La ecuación del asatz) es $${\displaystyle \left({\frac {\sinh(\lambda ¿Por qué? ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ Lambda.$$Notablemente, para ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}}$ estos son precisamente los BAEs para el modelo de seis-vertex, después de identificar ${\displaystyle \gamma =2\eta }$, donde ${\displaystyle \eta }$ es anisotropía Parámetro del modelo seis-verex. Esto se pensó originalmente en ser casual hasta que Baxter mostró que el XXZ Hamiltonian estaba contenido en el álgebra generada por la matriz de transferencia ${\displaystyle T(\nu)}$, dado exactamente por $${\displaystyle H_{XXZ_{1/2}=-i\sin 2\eta {\fnMicroc {d} {d\nu}\log T(\nu){\Big standing}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}$$

• Otro objeto importante es la entropía de enredamiento. Una manera de describirlo es subdividir el estado de tierra único en un bloque (severales giros secuenciales) y el medio ambiente (el resto del estado del suelo). La entropía del bloque puede considerarse como entropía de enredamiento. A temperatura cero en la región crítica (límite termodinámico) escala logarítmicamente con el tamaño del bloque. A medida que la temperatura aumenta la dependencia logarítmica cambia en una función lineal. Para grandes temperaturas la dependencia lineal sigue de la segunda ley de la termodinámica.
• El modelo Heisenberg proporciona un ejemplo teórico importante y tratable para aplicar la renormalización de la matriz de densidad.
• El modelo seis-vertex se puede resolver utilizando el asatz algebraico Bethe para la cadena de giro Heisenberg (Baxter 1982).
• El modelo Hubbard medio lleno en el límite de fuertes interacciones repulsivas se puede mapear en un modelo Heisenberg con ${\displaystyle J realizadas0}$ representando la fuerza de la interacción del superexcambio.
• Límites del modelo como el espaciamiento de la celosía se envía a cero (y se toman varios límites para las variables que aparecen en la teoría) describe teorías de campo integrados, tanto no relativistas como la ecuación no lineal Schrödinger, y relativista, como la ${\displaystyle S^{2}$ modelo de sigma, el ${\displaystyle S^{3}$ modelo de sigma (que también es un modelo principal de chiral) y el modelo sine-Gordon.
• Calculando ciertas funciones de correlación en el plano o en grande ${\displaystyle N}$ límite de N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory

La integración se basa en la existencia de grandes álgebras de simetría para los diferentes modelos. Para el caso XXX este es el Yangian ${\displaystyle Y...$, mientras que en el caso XXZ este es el grupo cuántico ${\displaystyle {\hat {\fnMithfrak} {\f}} {\f}}}} {\f}}} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}$, la q-deformación del áffine álgebra de Lie ${\displaystyle {\hat {\fnMithfrak {\fn}}} {\fn}}}$, como se explica en las notas de Faddeev (1996).

Estos aparecen a través de la matriz de transferencia, y la condición de que los vectores Bethe se generan de un estado ${\displaystyle \Omega }$ satisfacción ${\displaystyle C(\lambda)\cdot \Omega =0}$ corresponde a las soluciones que forman parte de una representación de mayor peso de los álgebras de simetría extendida.

• Modelo clásico de Heisenberg
• DMRG del modelo Heisenberg
• Modelo de rotor cuántico
• t-J modelo
• Modelo J1 J2
• Modelo Majumdar-Ghosh
• Modelo AKLT
• Interacción multipolar del intercambio

• R.J. Baxter, Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística, Londres, Academic Press, 1982
• Heisenberg, W. (1 de septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [Sobre la teoría del ferromagnetismo]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (9): 619-636. Bibcode:1928ZPhy...49..619H. doi:10.1007/BF01328601. S2CID 122524239.
• Bethe, H. (1 de marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle" [Sobre la teoría de los metales]. Zeitschrift für Physik (en alemán). 71 (3): 205–226. Bibcode:1931 ZPhy...71..205B. doi:10.1007/BF01341708. S2CID 124225487.