Modelo browniano de los mercados financieros

Los modelos de movimiento browniano para los mercados financieros se basan en el trabajo de Robert C. Merton y Paul A. Samuelson, como extensiones de los modelos de mercado de un solo período de Harold Markowitz y William F. Sharpe, y se centran en definir los conceptos de activos y mercados financieros, carteras, ganancias y riqueza en términos de procesos estocásticos de tiempo continuo.Según este modelo, estos activos tienen precios que evolucionan continuamente en el tiempo y están impulsados por procesos de movimiento browniano. Este modelo requiere el supuesto de activos perfectamente divisibles y un mercado sin fricciones (es decir, que no hay costos de transacción ni para la compra ni para la venta). Otro supuesto es que los precios de los activos no presentan saltos, es decir, no hay sorpresas en el mercado. Este último supuesto se elimina en los modelos de difusión de saltos.

Considerar un mercado financiero consistente en ${\displaystyle N+1}$ activos financieros, donde uno de estos activos llamó a bono o mercado monetario, es libre de riesgo mientras que el resto ${\displaystyle N}$ activos, llamados existencias, son arriesgados.

A mercado financiero se define como ${\displaystyle {\mathcal {}=(r,\mathbf {b}\mathbf {\delta ¿Qué?$ que satisface lo siguiente:

1. Un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega{\mathcal {F}},P)}$.
2. Un intervalo de tiempo ${\displaystyle [0,T]}$.
3. A ${\displaystyle D}$-dimensional Proceso de Brownian ${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t)',}$ Donde ${\displaystyle \;0\leq t\leq T}$ adaptado a la filtración aumentada ${\displaystyle \{\\mthcal {}(t);\;0\leq t\leq T\}$.
4. Un proceso de tasa de mercado monetario sin riesgo mensurable ${\displaystyle r(t)\in L_{1}[0,T]$.
5. Una tasa media mensurable del proceso de retorno ${\displaystyle \mathbf {b}:[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]$.
6. Una tasa de dividendos mensurable del proceso de retorno ${\displaystyle \mathbf {\delta }:[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]$.
7. Un proceso de volatilidad mensurable ${\displaystyle \mathbf {\sigma }:[0,T]\times \mathbb {R} {N\times D}\rightarrow \mathbb {R}$, tal que ${\displaystyle \sum _{n=1}{N}\sum ¿Qué? ¿Qué?$.
8. Una variación mensurable, finita, singularmente continua estocástica ${\displaystyle A(t)}$.
9. Las condiciones iniciales dadas ${\displaystyle \mathbf {S} (0)=(S_{0}(0),\ldots S_{N}(0)'}$.

Vamos. ${\displaystyle (\Omega{\mathcal {F},p)}$ ser un espacio de probabilidad, y un ${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',\;0\leq t\leq T}$ Ser D-dimensional Proceso estocástico de movimiento marroniano, con la filtración natural:

${\displaystyle {\mathcal {\\fnMithbf {W}(t)\triangleq \sigma \left(\{\mthbf {W} (s);\;0\leq s\leq t\}\right),\quad \forall t\in [0,T]. }$

Si ${\displaystyle {\fn}$ son la medida 0 (es decir, null under Medida ${\displaystyle P}$) subconjuntos de ${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMitbf}(t)}$, entonces definir la filtración aumentada:

${\displaystyle {\mathcal {F}(t)\triangleq \sigma \left({\\mathcal {F}} {\mathbf {W}(t)\cup {\mathcal {N}\right),\quad \forall t\in [0,T]}$

La diferencia entre ${\displaystyle {\fnMithcal {\f} {\fnh}(t);\;0\leq t\leq T\}$ y ${\displaystyle \{\\mthcal {}(t);\;0\leq t\leq T\}$ es que último es ambos continuos, en el sentido de que:

${\displaystyle {\mathcal {}(t)=\sigma \left(\bigcup _{0\leq s madet}{\mathcal {F}(s)\right),}$

Y continua por la derecha, tal que:

${\displaystyle {\mathcal {}(t)=\bigcap _{tcanta\leq T}{\mathcal {F}(s),}$

mientras que el primero solo es continuo por la izquierda.

Una parte de un bono (mercado monetario) tiene precio ${\displaystyle S_{0}(t)$ a la vez ${\displaystyle t}$ con ${\displaystyle S_{0}(0)=1}$, es continuo, ${\displaystyle \{\\mthcal {}(t);\;0\leq t\leq T\}$ adaptado, y tiene variación finita. Debido a que tiene variación finita, se puede descomponer en una parte absolutamente continua ${\displaystyle S_{0} { t)}$ y una parte singularmente continua ${\displaystyle S_{0}{s}(t)}$Por el teorema de descomposición de Lebesgue. Define:

${\displaystyle r(t)\triangleq ¿Qué?$ y

${\displaystyle A(t)\triangleq \int _{0}{t}{\frac {1}{S_{0}(s)}dS_{0} {s} {} {} {s} {} {} {s} {} {} {} {} {} {} {}} {}}}}} {}}}}} {}} {}}}} {}}} {}}}}}}} {}}}}} {}} {} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {} {} {}}}}}} {} {}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}} {} {} {}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

resultando en el SDE:

${\displaystyle dS_{0}(t)=S_{0}(t)[r(t)dt+dA(t)],\quad \forall 0\leq t\leq T,}$

lo que da:

${\displaystyle S_{0}(t)=\exp \left(\int _{0}{t}r(s)ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T.}$

Así, se puede ver fácilmente que si ${\displaystyle S_{0}(t)}$ es absolutamente continuo (es decir, ${\displaystyle A(\cdot)=0}$), entonces el precio del bono evoluciona como el valor de una cuenta de ahorro sin riesgo con tasa de interés instantánea ${\displaystyle r(t)}$, que es aleatorio, dependiente del tiempo y ${\displaystyle {\mathcal {}(t)}$ medible.

Los precios de las acciones se modelan de forma similar a los de los bonos, excepto por un componente de fluctuación aleatoria (llamado volatilidad). Como prima por el riesgo derivado de estas fluctuaciones aleatorias, la tasa media de rendimiento de una acción es mayor que la de un bono.

Vamos. ${\displaystyle S_{1}(t)\ldots S_{N}(t)}$ ser los precios estrictamente positivos por parte de la ${\displaystyle N}$ stocks, que son procesos estocásticos continuos satisfactorios:

${\displaystyle dS_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum) _{d=1}{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.$

Aquí, ${\displaystyle \sigma _{n,d}(t),\;d=1\ldots D}$ da la volatilidad de la ${\displaystyle n}$- el stock, mientras ${\displaystyle b_{n}(t)}$ es su promedio de rendimiento.

Para un escenario de precios libres de arbitraje, ${\displaystyle A(t)}$ debe ser como se define arriba. La solución a esto es:

${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum ¿Por qué? _{d=1}{D}\sigma _{n,d} {2}(s)\right]ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N,}$

y los precios de las acciones con descuento son:

${\displaystyle {\frac {S_{n}(t)}{S_{0}=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}{t}\sum ¿Por qué? ###{d=1}\sigma _{n,d} {2}(s)\right]ds\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.$

Tenga en cuenta que la contribución debida a las discontinuidades en el precio de la fianza ${\displaystyle A(t)}$ no aparece en esta ecuación.

Cada stock puede tener un proceso de dividendo asociado ${\displaystyle \delta _{n}(t)}$ dar la tasa de pago de dividendos por precio unitario del stock a tiempo ${\displaystyle t}$. Contabilidad para esto en el modelo, da el rendimiento proceso ${\displaystyle Y...$:

${\displaystyle dY_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)+\delta _{n}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.$

Considerar un mercado financiero ${\displaystyle {\mathcal {}=(r,\mathbf {b}\mathbf {\delta ¿Qué?$.

A de cartera ${\displaystyle (\pi _{0},\pi _{1},\ldots \pi _{N}}$ para este mercado es un ${\displaystyle {\mathcal {}(t)}$ mensurable, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N+1}$ valorado proceso de tal manera que:

${\displaystyle \int - Hola. ¿Por qué?$, casi seguro,

${\displaystyle \int - Hola. ¿Por qué?$, casi seguro, y

${\displaystyle \int _{0}}\sum ¿Qué? ¿Por qué?$, casi seguro.

El proceso de generación de ganancias para esta cartera es el siguiente:

${\displaystyle G(t)\triangleq \int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? - ¿Qué? ¿Por qué?$

Decimos que la cartera está autofinanciada si:

${\displaystyle G(t)=\sum ¿Qué?$.

Resulta que para una cartera autofinanciada, el valor adecuado de ${\displaystyle \pi _{0}$ se determina a partir de ${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\ldots \pi _{N}}$ y por lo tanto a veces ${\displaystyle \pi}$ se conoce como el proceso de cartera. También, ${\displaystyle \pi _{0}traducido0}$ implica tomar prestado dinero del mercado monetario, mientras ${\displaystyle \pi _{n}traducido0}$ implica tomar una posición corta en el stock.

El término ${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)}$ in the SDE of ${\displaystyle G(t)}$ es prima de riesgo y es la indemnización recibida a cambio de invertir en el ${\displaystyle n}$- el stock.

Considere intervalos de tiempo ${\displaystyle 0=t_{0} detectadot_{1} - No.$, y dejar ${\displaystyle \nu _{n}(t_{m}}$ ser el número de acciones de activos ${\displaystyle n=0\ldots N}$, mantenido en una cartera durante el intervalo de tiempo a tiempo ${\displaystyle [t_{m},t_{m+1}\;m=0\ldots M-1$. Para evitar el caso del comercio interior (es decir, el conocimiento previo del futuro), se requiere que ${\displaystyle \nu _{n}(t_{m}}$ es ${\displaystyle {\mathcal}(t_{m})}$ medible.

Por lo tanto, las ganancias incrementales en cada intervalo de negociación de dicha cartera son:

${\displaystyle G(0)=0,}$

${\displaystyle G(t_{m+1})-G(t_{m}=\sum ¿Por qué?$

y ${\displaystyle G(t_{m}}$ es la ganancia total con el tiempo ${\displaystyle [0,t_{m]}$, mientras que el valor total de la cartera es ${\displaystyle \sum _{n=0}{N}\nu _{n}(t_{m})S_{n}(t_{m}}$.

Define ${\displaystyle \pi _{n}(t)\triangleq \nu _{n}(t)}$, dejar que la partición del tiempo vaya a cero, y sustituir por ${\displaystyle Y(t)}$ como se define anteriormente, para obtener el SDE correspondiente para el proceso de ganancias. Aquí. ${\displaystyle \pi _{n}(t)}$ denota la cantidad de dólares invertidos en activos ${\displaystyle n}$ a la vez ${\displaystyle t}$, no el número de acciones celebradas.

Dado un mercado financiero ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, entonces un proceso acumulativo de ingresos ${\displaystyle \Gamma (t)\;0\leq t\leq T}$ es un semimartingale y representa los ingresos acumulados con el tiempo ${\displaystyle [0,t]}$, debido a fuentes distintas de las inversiones en ${\displaystyle N+1}$ activos del mercado financiero.

A proceso de riqueza ${\displaystyle X(t)}$ entonces se define como:

${\displaystyle X(t)\triangleq G(t)+\Gamma (t)}$

y representa la riqueza total de un inversor a la vez ${\displaystyle 0\leq t\leq T}$. Se dice que la cartera es ${\displaystyle \Gamma (t)}$- Financiado si:

${\displaystyle X(t)=\sum _{n=0} {N}\pi _{n}(t).}$

La SDE correspondiente para el proceso de riqueza, mediante sustituciones apropiadas, se convierte en:

${\displaystyle dX(t)=d\Gamma (t)+X(t)\left[r(t)dt+dA(t)\right]+\sum _{n=1}\left[\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\delta _{n}(t)-r(t)\right+right) ¿Por qué? ¿Por qué?$.

Nota, que de nuevo en este caso, el valor de ${\displaystyle \pi _{0}$ puede determinarse ${\displaystyle \pi ## {n},\;n=1\ldots N.$.

La teoría estándar de las finanzas matemáticas se limita a los mercados financieros viables, es decir, aquellos en los que no existen oportunidades de arbitraje. Si existen tales oportunidades, implican la posibilidad de obtener una ganancia arbitrariamente grande sin riesgo.

En un mercado financiero ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, un proceso de cartera autofinanciado ${\displaystyle \pi (t)}$ se considera un oportunidad de arbitraje si el proceso de ganancias asociadas ${\displaystyle G(T)\geq 0}$, casi seguro ${\displaystyle P[G(T)}0}$ estrictamente. Un mercado ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ en que no existe tal cartera viables.

En un mercado viable ${\displaystyle {\fnMithcal}}$, existe un ${\displaystyle {\mathcal {}(t)}$ proceso adaptado ${\displaystyle \theta:[0,T]\times \mathbb {R} ^{D}\rightarrow \mathbb {R}$ por casi todos ${\displaystyle t\in [0,T]$:

${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)=\sum ¿Por qué?$.

Esto ${\displaystyle \theta }$ se llama precio de mercado del riesgo y relaciona la prima para la ${\displaystyle n}$- el stock con su volatilidad ${\displaystyle \sigma _{n,\cdot }$.

Por el contrario, si existe un proceso D-dimensional ${\displaystyle \theta (t)}$ tal que satisface el requisito anterior, y:

${\displaystyle \int _{0}}\sum ¿Por qué?$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\exp \left\{-\int _{0}^{T}\sum ¿Por qué? ¿Qué? _{d=1} {dt}\theta _{d} {d}dt\right\right]=1}$,

Entonces el mercado es viable.

Además, un mercado viable ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ puede tener sólo un mercado de dinero (bond) y por lo tanto sólo una tasa libre de riesgos. Por lo tanto, si el ${\displaystyle n}$-la acción no entraña riesgo (es decir, ${\displaystyle \sigma ## {n,d}=0,\;d=1\ldots D}$) y no paga dividendo (es decir,.${\displaystyle \delta _{n}(t)=0}$), entonces su tasa de rendimiento es igual a la tasa de mercado monetario (es decir,. ${\displaystyle b_{n}(t)=r(t)}$) y su precio rastrea el de la fianza (es decir, ${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)S_{0}(t)}$).

Un mercado financiero ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ se dice que estándar si:

i) Es viable.

ii) Número de existencias ${\displaystyle N}$ no es mayor que la dimensión ${\displaystyle D}$ del proceso de movimiento Browniano subyacente ${\displaystyle \mathbf {W} (t)}$.

iii) El precio de mercado del proceso de riesgo ${\displaystyle \theta }$ satisfizo:

${\displaystyle \int _{0}}\sum ¿Por qué?$, casi seguro.

iv) El proceso positivo ${\displaystyle Z_{0}(t)=\exp \left\{-\int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? _{d=1} {dt\right}$ es un martingale.

En caso de que el número de acciones ${\displaystyle N}$ es mayor que la dimensión ${\displaystyle D}$, en violación del punto (ii), del álgebra lineal, se puede ver que hay ${\displaystyle N-D}$ stocks cuyas volatilidades (procedido por el vector ${\displaystyle (\sigma _{n,1}\ldots \sigma _{n,D}}$) son la combinación lineal de las volatilidades de ${\displaystyle D}$ otras acciones (porque el rango de ${\displaystyle \sigma }$ es ${\displaystyle D}$). Por lo tanto, el ${\displaystyle N}$ las existencias pueden ser reemplazadas por ${\displaystyle D}$ fondos mutuos equivalentes.

El medida estándar de martingale ${\displaystyle P_{0}$ on ${\displaystyle {\mathcal}(T)}$ para el mercado estándar, se define como:

${\displaystyle P_{0}(A)\triangleq \mathbb {E} [Z_{0}(T)\mathbf {1} _{A}],\quad \forall A\in {\mathcal {F}(T)}$.

Note que ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle P_{0}$ son absolutamente continuos con respecto al otro, es decir, son equivalentes. También, según el teorema de Girsanov,

${\displaystyle \mathbf {W} _{0}(t)\triangleq \mathbf {W} (t)+\int _{0}\theta (s)ds}$,

es un ${\displaystyle D}$-dimensional Proceso de movimiento marroniano en la filtración ${\displaystyle \{\\mthcal {}(t);\;0\leq t\leq T\}$ con respecto a ${\displaystyle P_{0}$.

Un mercado financiero completo es aquel que permite una cobertura eficaz del riesgo inherente a cualquier estrategia de inversión.

Vamos. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ ser un mercado financiero estándar, y ${\displaystyle B}$ ser un ${\displaystyle {\mathcal}(T)}$- variable aleatoria mensurable, tal que:

${\displaystyle ¿Por qué?$.

${\displaystyle x\triangleq \mathbb [E] _{0}\left [{\frac {B} {S_{0}\correcto] buscado\infty }$,

El mercado ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ se dice que completo si cada uno de esos ${\displaystyle B}$ es financieroSi hay una ${\displaystyle x}$- Proceso de cartera perfeccionado ${\displaystyle (\pi _{n}(t);\;n=1\ldots N)}$, tal que su proceso de riqueza asociado ${\displaystyle X(t)}$ satisfizo

${\displaystyle X(t)=B}$, casi seguro.

Si una estrategia de inversión determinada requiere un pago ${\displaystyle B}$ a la vez ${\displaystyle T}$, cuya cantidad se desconoce en el momento ${\displaystyle t=0}$, entonces una estrategia conservadora sería dejar de lado una cantidad ${\displaystyle x=\sup _{\omega }B(\omega)}$ para cubrir el pago. Sin embargo, en un mercado completo es posible reservar menos capital (viz. ${\displaystyle x}$) e invertirlo para que a tiempo ${\displaystyle T}$ ha crecido para igualar el tamaño de ${\displaystyle B}$.

Un mercado financiero estándar ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ está completo si y sólo si ${\displaystyle N=D}$, y ${\displaystyle N\times D}$ proceso de volatilidad ${\displaystyle \sigma (t)}$ no es lineal para casi todos ${\displaystyle t\in [0,T]$Con respecto a la medida Lebesgue.

El concepto de que los mercados financieros pueden modelarse con movimientos brownianos fue cuestionado por Benoit Mandelbrot, quien rechazó su aplicabilidad a los movimientos de los precios de las acciones, en parte porque estos son discontinuos.

• Modelo Black-Scholes
• Martingale pricing
• Finanzas matemáticas
• Método Monte Carlo

Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998). Métodos de finanzas matemáticas. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94839-2.

Korn, Ralf; Korn, Elke (2001). Valoración de opciones y optimización de carteras: métodos modernos de matemáticas financieras. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2123-7.Merton, R. C. (1 de agosto de 1969). "Selección de cartera a lo largo de la vida bajo incertidumbre: el caso de tiempo continuo" (PDF). The Review of Economics and Statistics. 51 (3): 247–257. doi:10.2307/1926560. ISSN 0034-6535. JSTOR 1926560. S2CID 8863885. Archivado desde el original (PDF) el 12 de noviembre de 2019.

Merton, R.C. (1970). "Consumo óptimo y reglas de cartera en un modelo de tiempo continuo". Revista de Teoría Económica. 3 (4): 373–413. doi:10.1016/0022-0531(71)90038-x. hdl:1721.1/63980.