Modelo Black-Scholes

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Modelo matemático de mercados financieros

El modelo Black-Scholes o Black-Scholes-Merton es un modelo matemático para la dinámica de un mercado financiero que contiene instrumentos de inversión derivados. A partir de la ecuación diferencial parcial parabólica del modelo, conocida como ecuación de Black-Scholes, se puede deducir la fórmula de Black-Scholes, que proporciona una estimación teórica del precio de las opciones de estilo europeo y muestra que la opción tiene un precio único dado el riesgo del valor y su rendimiento esperado (en lugar de reemplazar el rendimiento esperado del valor con la tasa neutral al riesgo). La ecuación y el modelo llevan el nombre de los economistas Fischer Black y Myron Scholes; Robert C. Merton, quien escribió por primera vez un artículo académico sobre el tema, a veces también recibe crédito.

El principio principal detrás del modelo es cubrir la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de una manera específica para eliminar el riesgo. Este tipo de cobertura se denomina "cobertura delta continuamente revisada" y es la base de estrategias de cobertura más complicadas, como las que emplean los bancos de inversión y los fondos de cobertura.

El modelo es ampliamente utilizado, aunque a menudo con algunos ajustes, por los participantes del mercado de opciones. Los supuestos del modelo se han relajado y generalizado en muchas direcciones, lo que ha dado lugar a una plétora de modelos que se utilizan actualmente en la fijación de precios de derivados y la gestión de riesgos. Las ideas del modelo, como lo ejemplifica la fórmula de Black-Scholes, son utilizadas con frecuencia por los participantes del mercado, a diferencia de los precios reales. Estos conocimientos incluyen límites sin arbitraje y precios neutrales al riesgo (gracias a la revisión continua). Además, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción, permite la fijación de precios utilizando métodos numéricos cuando no es posible una fórmula explícita.

La fórmula de Black-Scholes tiene solo un parámetro que no se puede observar directamente en el mercado: la volatilidad futura promedio del activo subyacente, aunque se puede encontrar a partir del precio de otras opciones. Dado que el valor de la opción (ya sea de venta o de compra) aumenta en este parámetro, se puede invertir para producir una "superficie de volatilidad" que luego se usa para calibrar otros modelos, p. para derivados OTC.

Historia

Los economistas Fischer Black y Myron Scholes demostraron en 1968 que una revisión dinámica de una cartera elimina el rendimiento esperado del valor, inventando así el argumento neutral al riesgo. Basaron su pensamiento en el trabajo realizado anteriormente por investigadores de mercado y profesionales, incluidos Louis Bachelier, Sheen Kassouf y Edward O. Thorp. Black y Scholes luego intentaron aplicar la fórmula a los mercados, pero incurrieron en pérdidas financieras debido a la falta de gestión de riesgos en sus operaciones. En 1970, decidieron regresar al ambiente académico. Después de tres años de esfuerzos, la fórmula, nombrada en honor a ellos por hacerla pública, finalmente se publicó en 1973 en un artículo titulado "El precio de las opciones y los pasivos corporativos", en el Journal of Economía Política. Robert C. Merton fue el primero en publicar un artículo que ampliaba la comprensión matemática del modelo de valoración de opciones y acuñó el término "modelo de valoración de opciones de Black-Scholes".

La fórmula condujo a un auge en el comercio de opciones y proporcionó legitimidad matemática a las actividades del Chicago Board Options Exchange y otros mercados de opciones de todo el mundo.

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1997 por su trabajo, y el comité citó su descubrimiento de la revisión dinámica neutral al riesgo como un avance que separa la opción del riesgo del valor subyacente. Aunque no fue elegible para el premio debido a su muerte en 1995, la Academia Sueca mencionó a Black como colaborador.

Hipótesis fundamentales

El modelo de Black-Scholes supone que el mercado consta de al menos un activo de riesgo, generalmente llamado acción, y un activo sin riesgo, generalmente llamado mercado monetario, efectivo o bono.

Se hacen las siguientes suposiciones sobre los activos (que se relacionan con los nombres de los activos):

Tasa de riesgo: La tasa de rendimiento del activo sin riesgo es constante y por lo tanto se llama la tasa de interés libre de riesgo.
Camina aleatoriamente: El rendimiento instantáneo del precio del stock es un paseo aleatorio infinitesimal con deriva; más precisamente, el precio del stock sigue un movimiento geométrico de Brownian, y se supone que la deriva y volatilidad del movimiento son constantes. Si la deriva y la volatilidad están variando tiempo, se puede deducir una fórmula adecuada de Black-Scholes, siempre y cuando la volatilidad no sea aleatoria.
El stock no paga un dividendo.

Las suposiciones sobre el mercado son:

No hay oportunidad de arbitraje (es decir, no hay manera de obtener beneficios sin riesgo).
Capacidad para pedir prestado y prestar cualquier cantidad, incluso fraccionada, de efectivo a la tasa de riesgo.
Capacidad para comprar y vender cualquier cantidad, incluso fraccional, del stock (esto incluye la venta corta).
Las transacciones anteriores no incurren en cargos ni costos (es decir, mercado sin fricción).

Con estas suposiciones, suponga que hay un valor derivado que también se negocia en este mercado. Se especifica que este valor tendrá un pago determinado en una fecha determinada en el futuro, dependiendo de los valores que tome la acción hasta esa fecha. Aunque se desconoce el camino que tomará el precio de las acciones en el futuro, el precio del derivado se puede determinar en el momento actual. Para el caso especial de una opción de compra o venta europea, Black y Scholes demostraron que “es posible crear una posición cubierta, que consiste en una posición larga en la acción y una posición corta en la opción, cuyo valor no cambiará”. dependen del precio de la acción". Su estrategia de cobertura dinámica condujo a una ecuación diferencial parcial que gobierna el precio de la opción. Su solución viene dada por la fórmula de Black-Scholes.

Varias de estas suposiciones del modelo original se han eliminado en extensiones posteriores del modelo. Las versiones modernas tienen en cuenta las tasas de interés dinámicas (Merton, 1976), los costos de transacción y los impuestos (Ingersoll, 1976) y el pago de dividendos.

Notación

La notación utilizada en el análisis del modelo Black-Scholes se define de la siguiente manera (definiciones agrupadas por tema):

General y relacionado con el mercado:

t

es un tiempo en años;

t=0

representando en general el presente año.

r

es el tipo de interés anualizado libre de riesgos, compuesto continuamente (también conocido como fuerza de interés).

Relacionado con los activos:

S(t)

es el precio del activo subyacente a la vez t, también denotado

S_{t}

mu

es la tasa de deriva

S

, anualizado.

sigma

es la desviación estándar de los retornos del stock. Esta es la raíz cuadrada de la variación cuadrática del proceso de precio del tronco de la acción, una medida de su volatilidad.

Opción relacionada:

V(S,t)

es el precio de la opción como función del activo subyacente S a la vez t, en particular:

C(S,t)

es el precio de una opción de llamada europea y

P(S,t)

es el precio de una opción de colocación europea.

T

es el tiempo de expiración de la opción.

tau

es el tiempo hasta la madurez:

tau =T-t

K

es el precio de huelga de la opción, también conocido como el precio del ejercicio.

$N(x)$ denota la función de distribución acumulativa normal:

{displaystyle N(x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{-z^{2}/2},dz.}

$N'(x)$ denota la función normal de densidad de probabilidad normal:

{displaystyle N'(x)={frac {dN(x)}{dx}}={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-x^{2}/2}.}

Ecuación de Black-Scholes

geométrica simulada Movimientos marrones con parámetros de datos del mercado

La ecuación de Black-Scholes es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe el precio de la opción a lo largo del tiempo. la ecuacion es:

{frac {partial V}{partial t}}+{frac {1}{2}}sigma ^{2}S^{2}{frac {partial ^{2}V}{partial S^{2}}}+rS{frac {partial V}{partial S}}-rV=0

Una idea financiera clave detrás de la ecuación es que se puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente y el activo de la cuenta bancaria (efectivo) de tal manera que se "elimine el riesgo". Esta cobertura, a su vez, implica que solo hay un precio correcto para la opción, como lo devuelve la fórmula de Black-Scholes (ver la siguiente sección).

Fórmula de Black-Scholes

Una llamada europea valorada usando la ecuación de precios de Black-Scholes para el precio de activos variable

S

y tiempo a costo

T

. En este ejemplo particular, el precio de la huelga se fija en 1.

La fórmula de Black-Scholes calcula el precio de las opciones de compra y venta europeas. Este precio es consistente con la ecuación de Black-Scholes. Esto se deduce ya que la fórmula se puede obtener resolviendo la ecuación para las condiciones terminales y de contorno correspondientes:

{displaystyle {begin{aligned}&C(0,t)=0{text{ for all }}t\&C(S,t)rightarrow S-K{text{ as }}Srightarrow infty \&C(S,T)=max{S-K,0}end{aligned}}}

El valor de una opción de compra para una acción subyacente que no paga dividendos en términos de los parámetros de Black-Scholes es:

{displaystyle {begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{1})S_{t}-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\d_{1}&={frac {1}{sigma {sqrt {T-t}}}}left[ln left({frac {S_{t}}{K}}right)+left(r+{frac {sigma ^{2}}{2}}right)(T-t)right]\d_{2}&=d_{1}-sigma {sqrt {T-t}}\end{aligned}}}

El precio de una opción de colocación correspondiente basado en paridad de puestos con factor de descuento $e^{{-r(T-t)}}$ es:

{displaystyle {begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\&=N(-d_{2})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{1})S_{t}end{aligned}},}

Formulación alternativa

La introducción de variables auxiliares permite simplificar y reformular la fórmula en una forma que puede ser más conveniente (este es un caso especial de la fórmula Black '76):

{displaystyle {begin{aligned}C(F,tau)&=Dleft[N(d_{+})F-N(d_{-})Kright]\d_{+}&={frac {1}{sigma {sqrt {tau }}}}left[ln left({frac {F}{K}}right)+{frac {1}{2}}sigma ^{2}tau right]\d_{-}&=d_{+}-sigma {sqrt {tau }}end{aligned}}}

donde:

$D=e^{-rtau }$ es el factor de descuento

$F=e^{rtau }S={frac {S}{D}}$ es el precio del activo subyacente, y $S=DF$

Dada la paridad put-call, que se expresa en estos términos como:

C-P=D(F-K)=S-DK

el precio de una opción de venta es:

P(F,tau)=Dleft[N(-d_{-})K-N(-d_{+})Fright]

Interpretación

Es posible tener interpretaciones intuitivas de la fórmula Black-Scholes, siendo la principal sutileza la interpretación de la $N(d_{pm })$ (y) a fortiori $d_{pm }$ ) términos, particularmente $d_{+}$ y por qué hay dos términos diferentes.

La fórmula se puede interpretar descomponiendo primero una opción de compra en la diferencia de dos opciones binarias: una opción call de activos o nada menos una opción call de efectivo o nada (una opción call de activos o nada larga, una opción call de activos o nada corta -o-nada llamada). Una opción de compra intercambia efectivo por un activo al vencimiento, mientras que una opción de compra de activo o nada solo produce el activo (sin efectivo a cambio) y una opción de compra de efectivo o nada solo produce efectivo (sin activo a cambio). La fórmula de Black-Scholes es una diferencia de dos términos, y estos dos términos son iguales a los valores de las opciones de compra binarias. Estas opciones binarias se negocian con menos frecuencia que las opciones de compra estándar, pero son más fáciles de analizar.

Por lo tanto, la fórmula:

C=Dleft[N(d_{+})F-N(d_{-})Kright]

se divide como:

{displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}

Donde $DN(d_{+})F$ es el valor actual de una llamada de activos o nada $DN(d_{-})K$ es el valor actual de una llamada en efectivo o nada. El D factor es para el descuento, porque la fecha de vencimiento es en el futuro, y la eliminación de cambios presentes valor futuro valor (valor al expirar). Así $N(d_{+})~F$ es el valor futuro de una llamada de activos o nada $N(d_{-})~K$ es el valor futuro de una llamada en efectivo o nada. En términos neutros en el riesgo, estos son el valor esperado del activo y el valor esperado del efectivo en la medida neutral en el riesgo.

Una interpretación ingenua y ligeramente incorrecta de estos términos es que $N(d_{+})F$ es la probabilidad de la opción que expira en el dinero $N(d_{+})$ , multiplicado por el valor del subyacente al vencimiento F, mientras $N(d_{-})K$ es la probabilidad de la opción que expira en el dinero $N(d_{-}),$ multiplicado por el valor del efectivo al expirar K. Esta interpretación es incorrecta porque ambos binarios caducan en el dinero o ambos caducan fuera del dinero (ya sea efectivo se intercambia por el activo o no lo es), pero las probabilidades $N(d_{+})$ y $N(d_{-})$ no son iguales. De hecho, $d_{pm }$ puede ser interpretado como medidas de dinero (en desviaciones estándar) y $N(d_{pm })$ como probabilidades de expirar ITM (por ciento dinero), en el numéraire respectivo, como se describe a continuación. En pocas palabras, la interpretación de la opción en efectivo, $N(d_{-})K$ , es correcto, ya que el valor del efectivo es independiente de los movimientos del activo subyacente, y por lo tanto puede ser interpretado como un simple producto de "valor de tiempos de probabilidad", mientras que el $N(d_{+})F$ es más complicado, ya que la probabilidad de expirar en el dinero y el valor del activo a la expiración no son independientes. Más precisamente, el valor del activo a la expiración es variable en términos de efectivo, pero es constante en términos del activo mismo (una cantidad fija del activo), y por lo tanto estas cantidades son independientes si uno cambia numéraire al activo en lugar de efectivo.

Si uno usa el punto S en lugar de avanzar F, dentro $d_{pm }$ en lugar de la ${textstyle {frac {1}{2}}sigma ^{2}}$ término hay ${textstyle left(rpm {frac {1}{2}}sigma ^{2}right)tau}$ que puede interpretarse como un factor de deriva (en la medida neutral de riesgo para el numéraire apropiado). El uso de d₋ por dinero en lugar de la moneda estandarizada ${textstyle m={frac {1}{sigma {sqrt {tau }}}}ln left({frac {F}{K}}right)}$ – en otras palabras, la razón de ${textstyle {frac {1}{2}}sigma ^{2}}$ factor – se debe a la diferencia entre la mediana y la media de la distribución log-normal; es el mismo factor que en la lema de Itō aplicada al movimiento marroniano geométrico. Además, otra manera de ver que la interpretación ingenua es incorrecta es que reemplazar $N(d_{+})$ por $N(d_{-})$ en la fórmula produce un valor negativo para las opciones de llamadas fuera del dinero.

En detalle, los términos $N(d_{1}),N(d_{2})$ son probabilidades de la opción que expira en el dinero bajo la medida de probabilidad de martingale exponencial equivalente (numéraire=stock) y la medida de probabilidad de martingale equivalente (numéraire=activo libre de riesgo), respectivamente. La densidad de probabilidad neutra de riesgo para el precio del stock $S_{T}in (0,infty)$ es

p(S,T)={frac {N^{prime }[d_{2}(S_{T})]}{S_{T}sigma {sqrt {T}}}}

Donde $d_{2}=d_{2}(K)$ se define como arriba.

Específicamente, $N(d_{2})$ es la probabilidad de que la llamada sea ejercida siempre que se asuma que la deriva del activo es la tasa libre de riesgo. $N(d_{1})$ , sin embargo, no se presta a una interpretación de probabilidad simple. $SN(d_{1})$ se interpreta correctamente como el valor actual, utilizando la tasa de interés libre de riesgos, del precio de activo previsto al vencimiento, dado que el precio de activo al vencimiento está por encima del precio de ejercicio. Para discusión relacionada – y representación gráfica – vea el método Datar–Mathews para la valoración de opción real.

La medida de probabilidad martingala equivalente también se denomina medida de probabilidad neutral al riesgo. Tenga en cuenta que ambas son probabilidades en un sentido teórico de medida, y ninguna de ellas es la verdadera probabilidad de expirar en el dinero bajo la medida de probabilidad real. Para calcular la probabilidad bajo la medida de probabilidad real ('física'), se requiere información adicional: el término de deriva en la medida física o, de manera equivalente, el precio de mercado del riesgo.

Derivaciones

En el artículo Ecuación de Black-Scholes se proporciona una derivación estándar para resolver la EDP de Black-Scholes.

La fórmula de Feynman-Kac dice que la solución a este tipo de PDE, cuando se descuenta adecuadamente, es en realidad una martingala. Por tanto, el precio de la opción es el valor esperado del pago descontado de la opción. Calcular el precio de la opción a través de esta expectativa es el enfoque de neutralidad al riesgo y se puede hacer sin conocimiento de las PDE. Tenga en cuenta que la expectativa del pago de la opción no se realiza bajo la medida de probabilidad del mundo real, sino una medida neutral al riesgo artificial, que difiere de la medida del mundo real. Para conocer la lógica subyacente, consulte la sección "valoración neutral al riesgo" en Precios racionales, así como en la sección "Precios derivados: el mundo Q" en Finanzas Matemáticas; para más detalles, una vez más, consulte Hull.

Las Opciones Griegas

"Los griegos" medir la sensibilidad del valor de un producto derivado o una cartera financiera a los cambios en los valores de los parámetros mientras se mantienen fijos los demás parámetros. Son derivadas parciales del precio con respecto a los valores de los parámetros. Un griego, "gamma" (así como otros que no se enumeran aquí) es un derivado parcial de otro griego, "delta" en este caso.

Los griegos son importantes no solo en la teoría matemática de las finanzas, sino también para quienes comercian activamente. Las instituciones financieras normalmente establecerán valores límite (de riesgo) para cada uno de los griegos que sus comerciantes no deben exceder.

Delta es el griego más importante ya que suele conferir el mayor riesgo. Muchos comerciantes pondrán a cero su delta al final del día si no están especulando sobre la dirección del mercado y siguiendo un enfoque de cobertura neutral delta como lo define Black-Scholes. Cuando un comerciante busca establecer una cobertura delta efectiva para una cartera, el comerciante también puede buscar neutralizar la gamma de la cartera, ya que esto garantizará que la cobertura sea efectiva en una gama más amplia de movimientos de precios subyacentes.

Los griegos para Black–Scholes se dan en forma cerrada a continuación. Se pueden obtener por diferenciación de la fórmula de Black-Scholes.

		Call	Put
Delta	${frac {partial V}{partial S}}$	$N(d_{1}),$	$-N(-d_{1})=N(d_{1})-1,$
Gamma	${displaystyle {frac {partial ^{2}V}{partial S^{2}}}}$	${frac {N'(d_{1})}{Ssigma {sqrt {T-t}}}},$
Vega	${displaystyle {frac {partial V}{partial sigma }}}$	$SN'(d_{1}){sqrt {T-t}},$
Theta	${frac {partial V}{partial t}}$	$-{frac {SN'(d_{1})sigma }{2{sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2}),$	$-{frac {SN'(d_{1})sigma }{2{sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2}),$
Rho	${displaystyle {frac {partial V}{partial r}}}$	$K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2}),$	$-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2}),$

Tenga en cuenta que, a partir de las fórmulas, está claro que la gamma tiene el mismo valor para las opciones de compra y venta, al igual que la vega tiene el mismo valor para las opciones de compra y venta. Esto se puede ver directamente a partir de la paridad put-call, ya que la diferencia entre una opción put y una opción call es un forward, que es lineal en S e independiente de σ (por lo que un adelante tiene cero gamma y cero vega). N' es la función de densidad de probabilidad normal estándar.

En la práctica, algunas sensibilidades suelen citarse en términos reducidos, para que coincidan con la escala de cambios probables en los parámetros. Por ejemplo, rho a menudo se informa dividido por 10,000 (cambio de tasa de 1 punto base), vega por 100 (cambio de 1 punto de volumen) y theta por 365 o 252 (descenso de 1 día basado en días calendario o días comerciales por año).

Tenga en cuenta que "Vega" no es una letra en el alfabeto griego; el nombre surge de la lectura errónea de la letra griega nu (variablemente renderizado como $nu$ , $.$ Como V.

Extensiones del modelo

El modelo anterior se puede ampliar para tasas y volatilidades variables (pero deterministas). El modelo también puede utilizarse para valorar opciones europeas sobre instrumentos que pagan dividendos. En este caso, las soluciones de forma cerrada están disponibles si el dividendo es una proporción conocida del precio de las acciones. Las opciones americanas y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar y hay disponible una selección de técnicas de solución (por ejemplo, celosías y cuadrículas).

Instrumentos que pagan dividendos de rendimiento continuo

Para las opciones sobre índices, es razonable hacer la suposición simplificada de que los dividendos se pagan continuamente y que el monto del dividendo es proporcional al nivel del índice.

El pago de dividendo pagado durante el período de tiempo $[t,t+dt]$ entonces se modela como:

qS_{t},dt

para alguna constante $q$ (el rendimiento de dividendo).

Según esta formulación, se puede demostrar que el precio libre de arbitraje implícito en el modelo de Black-Scholes es:

{displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})],}

{displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})],}

dónde ahora

{displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)},}

es el precio de avance modificado que ocurre en los términos $d_{1},d_{2}$ :

{displaystyle d_{1}={frac {1}{sigma {sqrt {T-t}}}}left[ln left({frac {S_{t}}{K}}right)+left(r-q+{frac {1}{2}}sigma ^{2}right)(T-t)right]}

{displaystyle d_{2}=d_{1}-sigma {sqrt {T-t}}={frac {1}{sigma {sqrt {T-t}}}}left[ln left({frac {S_{t}}{K}}right)+left(r-q-{frac {1}{2}}sigma ^{2}right)(T-t)right]}

Instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos

También es posible extender el marco Black-Scholes a opciones sobre instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto es útil cuando la opción se activa en una sola acción.

Un modelo típico es asumir que una proporción $delta$ el precio del stock se paga en tiempos predeterminados ${displaystyle t_{1},t_{2},ldotst_{n}}$ . El precio del stock se modela como:

S_{t}=S_{0}(1-delta)^{n(t)}e^{ut+sigma W_{t}}

Donde $n(t)$ es el número de dividendos que han sido pagados por el tiempo $t$ .

El precio de una opción de compra sobre dicha acción es nuevamente:

C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})],

dónde ahora

F=S_{0}(1-delta)^{n(T)}e^{rT},

es el precio a plazo de las acciones que pagan dividendos.

Opciones americanas

El problema de encontrar el precio de una opción americana está relacionado con el problema de parada óptima de encontrar el tiempo para ejecutar la opción. Dado que la opción americana se puede ejercer en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, la ecuación de Black-Scholes se convierte en una desigualdad variacional de la forma:

{frac {partial V}{partial t}}+{frac {1}{2}}sigma ^{2}S^{2}{frac {partial ^{2}V}{partial S^{2}}}+rS{frac {partial V}{partial S}}-rVleq 0

junto con $V(S,t)geq H(S)$ Donde $H(S)$ denota el pago al precio del stock $S$ y la condición terminal: $V(S,T)=H(S)$ .

En general, esta desigualdad no tiene una solución de forma cerrada, aunque una opción call estadounidense sin dividendos es igual a una opción call europea y el método Roll-Geske-Whaley brinda una solución para una opción call estadounidense con un dividendo; véase también la aproximación de Black.

Barone-Adesi y Whaley es otra fórmula de aproximación. Aquí, la ecuación diferencial estocástica (que es válida para el valor de cualquier derivado) se divide en dos componentes: el valor de opción europeo y la prima de ejercicio temprano. Con algunas suposiciones, se obtiene una ecuación cuadrática que aproxima la solución para este último. Esta solución implica encontrar el valor crítico, $s*$ , tal que uno es indiferente entre el ejercicio temprano y aferrarse a la madurez.

Bjerksund y Stensland proporcionan una aproximación basada en una estrategia de ejercicio correspondiente a un precio de activación. Aquí, si el precio del activo subyacente es mayor o igual al precio del gatillo es óptimo para el ejercicio, y el valor debe igualar $S-X$ , de lo contrario la opción "boils down to: (i) a European up-and-out call option... and (ii) a rebate that is received at the knock-out date if the option is knocked out prior to the age". La fórmula se modifica fácilmente para la valoración de una opción de puesta, utilizando la paridad put-call. Esta aproximación es computacionalmente barata y el método es rápido, con evidencia que indica que la aproximación puede ser más precisa en las opciones de precios de fecha larga que Barone-Adesi y Whaley.

Puesta perpetua

A pesar de la falta de una solución analítica general para las opciones estadounidenses, es posible derivar tal fórmula para el caso de una opción perpetua - lo que significa que la opción nunca expira (es decir, $Trightarrow infty$ ). En este caso, el tiempo de desintegración de la opción es igual a cero, lo que lleva a que el PDE negro-escuelas se convierta en un ODE:

{displaystyle {1 over {2}}sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV over {dS}}-rV=0}

{displaystyle S_{-}}

{displaystyle V(S_{-})=K-S_{-},quad V_{S}(S_{-})=-1,quad V(S)leq K}

{displaystyle V(S)=A_{1}S^{lambda _{1}}+A_{2}S^{lambda _{2}}}

{displaystyle S_{-}leq S}

{displaystyle i={1,2}}

{displaystyle left[{1 over {2}}sigma ^{2}lambda _{i}(lambda _{i}-1)+(r-q)lambda _{i}-rright]S^{lambda _{i}}=0}

{displaystyle {1 over {2}}sigma ^{2}lambda _{i}^{2}+left(r-q-{1 over {2}}sigma ^{2}right)lambda _{i}-r=0}

lambda_{i}

{displaystyle {begin{aligned}lambda _{1}&={-left(r-q-{1 over {2}}sigma ^{2}right)+{sqrt {left(r-q-{1 over {2}}sigma ^{2}right)^{2}+2sigma ^{2}r}} over {sigma ^{2}}}\lambda _{2}&={-left(r-q-{1 over {2}}sigma ^{2}right)-{sqrt {left(r-q-{1 over {2}}sigma ^{2}right)^{2}+2sigma ^{2}r}} over {sigma ^{2}}}end{aligned}}}

{displaystyle A_{1}=0}

{displaystyle V(S)=A_{2}S^{lambda _{2}}}

{displaystyle V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{lambda _{2}}=K-S_{-}implies A_{2}={K-S_{-} over {(S_{-})^{lambda _{2}}}}}

{displaystyle V(S)=(K-S_{-})left({S over {S_{-}}}right)^{lambda _{2}}}

{displaystyle V_{S}(S_{-})=lambda _{2}{K-S_{-} over {S_{-}}}=-1implies S_{-}={lambda _{2}K over {lambda _{2}-1}}}

{textstyle Sgeq S_{-}={lambda _{2}K over {lambda _{2}-1}}}

{displaystyle V(S)={K over {1-lambda _{2}}}left({lambda _{2}-1 over {lambda _{2}}}right)^{lambda _{2}}left({S over {K}}right)^{lambda _{2}}}

Opciones binarias

Al resolver la ecuación diferencial de Black-Scholes con la función de Heaviside como condición límite, se obtiene el precio de las opciones que pagan una unidad por encima de un precio de ejercicio predefinido y nada por debajo.

De hecho, la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción call estándar (u opción put) se puede interpretar descomponiendo una opción call en una opción call activo o nada menos una opción call efectivo o nada, y de manera similar para una opción de venta: las opciones binarias son más fáciles de analizar y corresponden a los dos términos en la fórmula de Black-Scholes.

Llamada de efectivo o nada

Esto paga una unidad de efectivo si el spot está por encima del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

{displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).,}

Poner dinero o nada

Esto paga una unidad de efectivo si el spot está por debajo del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

{displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).,}

Llamada de activos o nada

Esto paga una unidad de activo si el spot está por encima del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

{displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).,}

Poner activo o nada

Esto paga una unidad de activo si el spot está por debajo del precio de ejercicio al vencimiento. Su valor viene dado por:

{displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}

Divisas (FX)

Denotar por S el tipo de cambio FOR/DOM (es decir, 1 unidad de moneda extranjera vale unidades S de moneda nacional) se puede observar que pagar 1 unidad de la moneda nacional si el lugar de vencimiento está por encima o por debajo de la huelga es exactamente como una llamada en efectivo o nada puesto respectivamente. Del mismo modo, pagar 1 unidad de la moneda extranjera si el lugar de vencimiento está por encima o por debajo de la huelga es exactamente como una llamada de activo o nada y poner respectivamente. Por lo tanto, tomando $r_{{FOR}}$ , la tasa de interés extranjera, $r_{{DOM}}$ , la tasa de interés nacional y el resto como se ha indicado anteriormente, se pueden obtener los siguientes resultados:

En el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR/put DOM) pagando una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente:

{displaystyle C=e^{-r_{DOM}T}N(d_{2}),}

En el caso de una opción de venta digital (esta es una opción de opción de compra/venta de DOM) que paga una unidad de la moneda nacional obtenida como valor presente:

{displaystyle P=e^{-r_{DOM}T}N(-d_{2}),}

En el caso de una llamada digital (esta es una llamada FOR/put DOM) pagando una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor presente:

{displaystyle C=Se^{-r_{FOR}T}N(d_{1}),}

En el caso de una opción put digital (esta es una opción put FOR/call DOM) que paga una unidad de la moneda extranjera obtenida como valor actual:

{displaystyle P=Se^{-r_{FOR}T}N(-d_{1}),}

Sesgado

En el modelo estándar Black–Scholes, se puede interpretar la prima de la opción binaria en el mundo neutro de riesgo como el valor esperado = probabilidad de estar en la unidad * del dinero, descontado al valor actual. El modelo Black-Scholes se basa en la simetría de la distribución e ignora la asiduidad de la distribución del activo. Los fabricantes de mercados se ajustan para tal asiduidad, en lugar de utilizar una única desviación estándar para el activo subyacente $sigma$ en todas las huelgas, incorporando una variable $sigma (K)$ donde la volatilidad depende del precio de la huelga, incorporando así el flujo de volatilidad en cuenta. El skew importa porque afecta el binario considerablemente más que las opciones regulares.

Una opción de llamada binaria es, a largo plazo, similar a una llamada ajustada que se extiende utilizando dos opciones de vainilla. Uno puede modelar el valor de una opción binaria en efectivo o nada, C, en huelga K, como una extensión infinitamente estrecha, donde $C_{v}$ es una llamada europea de vainilla:

C=lim _{{epsilon to 0}}{frac {C_{v}(K-epsilon)-C_{v}(K)}{epsilon }}

Así, el valor de una call binaria es el negativo de la derivada del precio de una call vanilla con respecto al precio de ejercicio:

C=-{frac {dC_{v}}{dK}}

Cuando uno tiene en cuenta la volatilidad, $sigma$ es una función $K$ :

C=-{frac {dC_{v}(K,sigma (K))}{dK}}=-{frac {partial C_{v}}{partial K}}-{frac {partial C_{v}}{partial sigma }}{frac {partial sigma }{partial K}}

El primer término es igual a la prima de la opción binaria ignorando el sesgo:

{displaystyle -{frac {partial C_{v}}{partial K}}=-{frac {partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{text{no skew}}}

${frac {partial C_{v}}{partial sigma }}$ es la Vega de la llamada de vainilla; ${frac {partial sigma }{partial K}}$ a veces se llama la "skew slope" o simplemente "skew". Si el corte es normalmente negativo, el valor de una llamada binaria será más alto cuando se tenga en cuenta.

{displaystyle C=C_{text{no skew}}-{text{Vega}}_{v}cdot {text{Skew}}}

Relación con las opciones estándar n#39; griegos

Dado que una opción call binaria es una derivada matemática de una opción call estándar con respecto al precio de ejercicio, el precio de una opción call binaria tiene la misma forma que la delta de una opción call estándar, y la delta de una opción call binaria tiene la misma forma que la gamma de una llamada de vainilla.

Black–Scholes en la práctica

La suposición de normalidad del modelo Black-Scholes no captura movimientos extremos tales como caídas del mercado de valores.

No todos los supuestos del modelo Black-Scholes son empíricamente válidos. El modelo se emplea ampliamente como una aproximación útil a la realidad, pero la aplicación adecuada requiere comprender sus limitaciones: seguir el modelo a ciegas expone al usuario a riesgos inesperados. Entre las limitaciones más significativas se encuentran:

la subestimación de los movimientos extremos, lo que da lugar al riesgo de cola, que se puede captar con opciones fuera del dinero;
la asunción de un comercio instantáneo, sin costo, que produce riesgo de liquidez, que es difícil de cobertura;
la asunción de un proceso estacionario, que da lugar a un riesgo de volatilidad, que puede ser atendido con la cobertura de volatilidad;
la asunción del tiempo continuo y el comercio continuo, dando un riesgo de brecha, que se puede controlar con la cobertura de Gamma;
el modelo tiende a subestimar las opciones profundas fuera del dinero y sobreprecio profundas opciones en el dinero.

En resumen, mientras que en el modelo de Black-Scholes uno puede cubrir perfectamente las opciones simplemente mediante la cobertura delta, en la práctica existen muchas otras fuentes de riesgo.

Los resultados que utilizan el modelo Black-Scholes difieren de los precios del mundo real debido a la simplificación de los supuestos del modelo. Una limitación importante es que, en realidad, los precios de los valores no siguen un proceso logarítmico normal estacionario estricto, ni se conoce realmente el interés libre de riesgo (y no es constante en el tiempo). Se ha observado que la varianza no es constante, lo que lleva a modelos como GARCH para modelar los cambios de volatilidad. Las discrepancias de precios entre el modelo empírico y el de Black-Scholes se han observado durante mucho tiempo en opciones que están muy fuera del dinero, lo que corresponde a cambios de precios extremos; tales eventos serían muy raros si los rendimientos estuvieran distribuidos lognormalmente, pero se observan mucho más a menudo en la práctica.

Sin embargo, la fijación de precios de Black-Scholes se usa ampliamente en la práctica, porque es:

fácil de calcular
una aproximación útil, especialmente cuando se analiza la dirección en la que los precios se mueven al cruzar puntos críticos
una base sólida para modelos más refinados
reversible, como la salida original del modelo, precio, se puede utilizar como una entrada y una de las otras variables resueltas para; la volatilidad implícita calculada de esta manera se utiliza a menudo para citar precios de opción (es decir, como convención).

El primer punto es evidentemente útil. Los otros pueden ser discutidos más a fondo:

Aproximación útil: aunque la volatilidad no es constante, los resultados del modelo suelen ser útiles para establecer coberturas en las proporciones correctas para minimizar el riesgo. Incluso cuando los resultados no son completamente precisos, sirven como una primera aproximación a la que se pueden hacer ajustes.

Base para modelos más refinados: el modelo Black-Scholes es robusto en el sentido de que puede ajustarse para lidiar con algunas de sus fallas. En lugar de considerar algunos parámetros (como la volatilidad o las tasas de interés) como constantes, uno los considera como variables y, por lo tanto, agrega fuentes de riesgo. Esto se refleja en los griegos (el cambio en el valor de la opción por un cambio en estos parámetros, o equivalentemente los derivados parciales con respecto a estas variables), y la cobertura de estos griegos mitiga el riesgo causado por la naturaleza no constante de estos parámetros. Sin embargo, otros defectos no pueden mitigarse modificando el modelo, en particular el riesgo de cola y el riesgo de liquidez, y estos se gestionan fuera del modelo, principalmente minimizando estos riesgos y mediante pruebas de tensión.

Modelado explícito: esta función significa que, en lugar de suponer una volatilidad a priori y calcular los precios a partir de ella, se puede usar el modelo para resolver la volatilidad, lo que da la volatilidad implícita de una opción a precios, duraciones y precios de ejercicio dados. Resolviendo la volatilidad sobre un conjunto dado de duraciones y precios de ejercicio, se puede construir una superficie de volatilidad implícita. En esta aplicación del modelo de Black-Scholes se obtiene una transformación de coordenadas del dominio de precios al dominio de volatilidad. En lugar de cotizar los precios de las opciones en términos de dólares por unidad (que son difíciles de comparar entre precios de ejercicio, duraciones y frecuencias de cupones), los precios de las opciones pueden cotizarse en términos de volatilidad implícita, lo que conduce a negociar la volatilidad en los mercados de opciones.

La sonrisa de la volatilidad

Una de las características atractivas del modelo Black-Scholes es que los parámetros del modelo distintos de la volatilidad (el tiempo hasta el vencimiento, el ejercicio, la tasa de interés libre de riesgo y el precio subyacente actual) son inequívocamente observables.. En igualdad de condiciones, el valor teórico de una opción es una función creciente monótona de la volatilidad implícita.

Al calcular la volatilidad implícita de las opciones negociadas con diferentes ejercicios y vencimientos, se puede probar el modelo de Black-Scholes. Si se mantuviera el modelo de Black-Scholes, la volatilidad implícita de una acción en particular sería la misma para todos los strikes y vencimientos. En la práctica, la superficie de volatilidad (el gráfico 3D de la volatilidad implícita contra el ejercicio y el vencimiento) no es plana.

La forma típica de la curva de volatilidad implícita para un vencimiento determinado depende del instrumento subyacente. Las acciones tienden a tener curvas sesgadas: en comparación con at-the-money, la volatilidad implícita es sustancialmente más alta para los strikes bajos y ligeramente más baja para los strikes altos. Las divisas tienden a tener curvas más simétricas, con la volatilidad implícita más baja en el dinero y volatilidades más altas en ambas alas. Las materias primas a menudo tienen el comportamiento inverso al de las acciones, con mayor volatilidad implícita para precios de ejercicio más altos.

A pesar de la existencia de la sonrisa de la volatilidad (y la violación de todos los demás supuestos del modelo de Black-Scholes), la PDE de Black-Scholes y la fórmula de Black-Scholes todavía se utilizan ampliamente en la práctica. Un enfoque típico es considerar la superficie de volatilidad como un hecho sobre el mercado y utilizar una volatilidad implícita en un modelo de valoración de Black-Scholes. Esto se ha descrito como usar "el número incorrecto en la fórmula incorrecta para obtener el precio correcto". Este enfoque también proporciona valores utilizables para los índices de cobertura (los griegos). Incluso cuando se utilizan modelos más avanzados, los operadores prefieren pensar en términos de volatilidad implícita de Black-Scholes, ya que les permite evaluar y comparar opciones de diferentes vencimientos, strikes, etc. Para una discusión sobre los diversos enfoques alternativos desarrollados aquí, consulte Economía financiera § Desafíos y críticas.

Valoración de opciones sobre bonos

Black–Scholes no se puede aplicar directamente a valores de renta fija debido al pull-to-par. A medida que el bono alcanza su fecha de vencimiento, se conocen todos los precios involucrados en el bono, lo que disminuye su volatilidad, y el modelo simple de Black-Scholes no refleja este proceso. Se han utilizado un gran número de extensiones de Black-Scholes, comenzando con el modelo Black, para tratar este fenómeno. Ver Opción Bono § Valoración.

Curva de tipos de interés

En la práctica, las tasas de interés no son constantes: varían según el plazo (frecuencia del cupón), lo que genera una curva de tasa de interés que se puede interpolar para elegir una tasa apropiada para usar en la fórmula de Black-Scholes. Otra consideración es que las tasas de interés varían con el tiempo. Esta volatilidad puede hacer una contribución significativa al precio, especialmente de las opciones a largo plazo. Esto es simplemente como la relación entre la tasa de interés y el precio de los bonos, que está inversamente relacionada.

Tasa de acciones cortas

Tomar una posición corta en acciones, como parte inherente de la derivación, no suele ser gratuito; de manera equivalente, es posible prestar una posición larga en acciones por una pequeña tarifa. En cualquier caso, esto puede tratarse como un dividendo continuo a los efectos de una valoración de Black-Scholes, siempre que no haya una asimetría evidente entre el costo del préstamo de acciones cortas y el ingreso del préstamo de acciones largas.

Críticas y comentarios

Espen Gaarder Haug y Nassim Nicholas Taleb argumentan que el modelo de Black-Scholes simplemente reformula los modelos existentes ampliamente utilizados en términos de una "cobertura dinámica" prácticamente imposible; en lugar de 'riesgo', para hacerlos más compatibles con la teoría económica neoclásica dominante. También afirman que Boness en 1964 ya había publicado una fórmula que es "realmente idéntica" a la ecuación de fijación de precios de opciones de compra de Black-Scholes. Edward Thorp también afirma haber adivinado la fórmula Black-Scholes en 1967, pero se la guardó para ganar dinero para sus inversores. Emanuel Derman y Taleb también han criticado la cobertura dinámica y afirman que varios investigadores habían presentado modelos similares antes de Black y Scholes. En respuesta, Paul Wilmott ha defendido el modelo.

En su carta de 2008 a los accionistas de Berkshire Hathaway, Warren Buffett escribió: "Creo que la fórmula de Black-Scholes, aunque es el estándar para establecer el pasivo en dólares para las opciones, produce resultados extraños cuando el largo -la variedad de plazos se está valorando... La fórmula Black-Scholes se ha acercado al estatus de escritura sagrada en las finanzas... Sin embargo, si la fórmula se aplica a períodos de tiempo prolongados, puede producir resultados absurdos. Para ser justos, es casi seguro que Black y Scholes entendieron bien este punto. Pero sus devotos seguidores pueden estar ignorando las advertencias que los dos hombres agregaron cuando dieron a conocer la fórmula por primera vez.

El matemático británico Ian Stewart, autor del libro de 2012 titulado En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo, dijo que Black–Scholes había "apoyado un crecimiento económico masivo" y el "sistema financiero internacional negociaba derivados valorados en mil billones de dólares por año" en 2007. Dijo que la ecuación de Black-Scholes era la "justificación matemática para el comercio" y, por lo tanto, "un ingrediente en un rico estofado de irresponsabilidad financiera, ineptitud política, incentivos perversos y laxitud". regulación" que contribuyó a la crisis financiera de 2007-08. Aclaró que 'la ecuación en sí no era el verdadero problema', sino su abuso en la industria financiera.

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