Métrica de Schwarzschild

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Solución a las ecuaciones de campo de Einstein

En la teoría de la relatividad general de Einstein, la métrica de Schwarzschild (también conocida como la solución de Schwarzschild) es una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein que describen el campo gravitacional fuera de una masa esférica, suponiendo que la carga eléctrica de la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica universal son cero. La solución es una aproximación útil para describir objetos astronómicos que giran lentamente, como muchas estrellas y planetas, incluidos la Tierra y el Sol. Fue encontrado por Karl Schwarzschild en 1916, y casi al mismo tiempo de forma independiente por Johannes Droste, quien publicó su discusión más completa y de aspecto moderno cuatro meses después de Schwarzschild.

Según el teorema de Birkhoff, la métrica de Schwarzschild es la solución de vacío esféricamente simétrica más general de las ecuaciones de campo de Einstein. Un agujero negro de Schwarzschild o agujero negro estático es un agujero negro que no tiene carga eléctrica ni momento angular. Un agujero negro de Schwarzschild se describe mediante la métrica de Schwarzschild y no se puede distinguir de ningún otro agujero negro de Schwarzschild excepto por su masa.

El agujero negro de Schwarzschild se caracteriza por un límite esférico circundante, llamado horizonte de sucesos, que está situado en el radio de Schwarzschild, a menudo llamado radio de un agujero negro. El límite no es una superficie física, y una persona que cayera a través del horizonte de eventos (antes de ser destrozada por las fuerzas de las mareas), no notaría ninguna superficie física en esa posición; es una superficie matemática que es importante para determinar las propiedades del agujero negro. Cualquier masa que no gire y no esté cargada y que sea más pequeña que su radio de Schwarzschild forma un agujero negro. La solución de las ecuaciones de campo de Einstein es válida para cualquier masa $M$ , por lo que en principio (según la teoría de la relatividad general) una negra de Schwarzschild podría existir un agujero de cualquier masa si las condiciones fueran lo suficientemente favorables para permitir su formación.

En las proximidades de un agujero negro de Schwarschild, el espacio se curva tanto que incluso los rayos de luz se desvían, y la luz muy cercana se puede desviar tanto que viaja varias veces alrededor del agujero negro.

Formulación

La métrica de Schwarzschild es una métrica lorentziana esféricamente simétrica (aquí, con la convención de firma $(-, +, +, +)$ ), definida en (un subconjunto de)

{displaystyle mathbb {R} times left(E^{3}-Oright)cong mathbb {R} times (0,infty)times S^{2}}

{displaystyle E^{3}}

{displaystyle S^{2}subset E^{3}}

{displaystyle mathrm {SO} (3)=mathrm {SO} (E^{3})}

{displaystyle E^{3}-O}

S^{2}

O

mathbb {R}

afuera

R

R}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■R{displaystyle r]R}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8971c9610113faec012a76ec2d47fa6235e16d2f" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.911ex; height:2.176ex;"/>

{displaystyle r=R}

En las coordenadas Schwarzschild ${displaystyle (t,r,thetaphi)}$ la métrica Schwarzschild (o equivalente, el elemento de línea para el tiempo adecuado) tiene la forma

{displaystyle g=-c^{2},{dtau }^{2}=-left(1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}right)c^{2},dt^{2}+left(1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}right)^{-1},dr^{2}+r^{2}g_{Omega },}

{displaystyle g_{Omega }}

{displaystyle g_{Omega }=left(dtheta ^{2}+sin ^{2}theta ,dphi ^{2}right)}

${displaystyle dtau ^{2}}$ es positivo para curvas de tiempo, en cuyo caso $tau$ es el tiempo adecuado (tiempo medido por un reloj que se mueve a lo largo de la misma línea mundial con una partícula de prueba),
$c$ es la velocidad de la luz,
$t$ es, $r_{text{s}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■rs{displaystyle r confíar_{text{s}}r_{text{s}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fc3420fc0caf8350f7083bf5c5906f12a4bab4" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.076ex; height:2.176ex;"/>$ , la coordinación del tiempo (medida por un reloj situado infinitamente lejos del cuerpo masivo y estacionario con respecto a él),
$r$ es, $r_{text{s}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■rs{displaystyle r confíar_{text{s}}r_{text{s}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fc3420fc0caf8350f7083bf5c5906f12a4bab4" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.076ex; height:2.176ex;"/>$ , la coordinación radial (medida como circunferencia, dividida por 2 $π$ , de una esfera centrada alrededor del cuerpo masivo),
$Omega$ es un punto en la esfera dos $S^{2}$ ,
$theta$ es la colatitud de $Omega$ (ángulo del norte, en unidades de radians) definido después de elegir arbitrariamente un z- Eje,
$phi$ es la longitud de $Omega$ (también en radians) alrededor de los elegidos z-Eje, y
${displaystyle r_{text{s}}}$ es el radio Schwarzschild del cuerpo masivo, un factor de escala que está relacionado con su masa $M$ por ${displaystyle r_{text{s}}={frac {2GM}{c^{2}}}}$ , donde $G$ es la constante gravitacional.

La métrica Schwarzschild tiene una singularidad $r=0$ que es una singularidad de curvatura intrínseca. También parece tener una singularidad en el horizonte del evento ${displaystyle r=r_{text{s}}}$ . Dependiendo del punto de vista, la métrica se define sólo en la región exterior $r_{text{s}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■rs{displaystyle r confíar_{text{s}}r_{text{s}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fc3420fc0caf8350f7083bf5c5906f12a4bab4" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.076ex; height:2.176ex;"/>$ , sólo en la región interior $<math alttext="{displaystyle rr.rs{displaystyle r mader_{text{s}}<img alt="{displaystyle r$ o su unión descomunal. Sin embargo, la métrica es en realidad no-singular en el horizonte del evento, como se ve en coordenadas adecuadas (ver abajo). Para ${displaystyle rgg r_{text{s}}}$ , la métrica Schwarzschild es asintotica a la métrica Lorentz estándar en el espacio de Minkowski. Para casi todos los objetos astrofísicos, la relación ${displaystyle {frac {r_{text{s}}}{R}}}$ es extremadamente pequeño. Por ejemplo, el radio Schwarzschild ${displaystyle r_{text{s}}^{(mathrm {Earth})}}$ de la Tierra 8,9 mm, mientras el Sol, que es 3.3×10⁵ tiempos tan masivos tiene un radio Schwarzschild ${displaystyle r_{text{s}}^{(mathrm {Sun})}}$ de aproximadamente 3,0 km. La relación se hace grande sólo en estrecha proximidad a los agujeros negros y otros objetos ultra-denses como estrellas de neutrones.

Resulta que la coordenada radial tiene un significado físico como la "distancia adecuada entre dos eventos que ocurren simultáneamente en relación con los relojes geodésicos que se mueven radialmente, los dos eventos se encuentran en la misma línea de coordenadas radiales".

La solución de Schwarzschild es análoga a una teoría newtoniana clásica de la gravedad que corresponde al campo gravitatorio alrededor de una partícula puntual. Incluso en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones.

Historia

La solución de Schwarzschild recibe su nombre en honor a Karl Schwarzschild, quien encontró la solución exacta en 1915 y la publicó en enero de 1916, poco más de un mes después de la publicación de la teoría de la relatividad general de Einstein. Fue la primera solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein además de la solución trivial del espacio plano. Schwarzschild murió poco después de la publicación de su artículo, como resultado de una enfermedad que desarrolló mientras servía en el ejército alemán durante la Primera Guerra Mundial.

Johannes Droste en 1916 produjo de forma independiente la misma solución que Schwarzschild, utilizando una derivación más simple y directa.

En los primeros años de la relatividad general, había mucha confusión sobre la naturaleza de las singularidades encontradas en Schwarzschild y otras soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. En el artículo original de Schwarzschild, colocó lo que ahora llamamos el horizonte de eventos en el origen de su sistema de coordenadas. En este documento también introdujo lo que ahora se conoce como la coordenada radial de Schwarzschild ( $r$ en las ecuaciones anteriores), como una variable auxiliar. En sus ecuaciones, Schwarzschild estaba usando una coordenada radial diferente que era cero en el radio de Schwarzschild.

David Hilbert proporcionó un análisis más completo de la estructura de singularidad al año siguiente, identificando las singularidades en $r = 0$ y r = r_s. Aunque hubo un consenso general de que la singularidad en $r = 0$ era una 'genuina' singularidad física, la naturaleza de la singularidad en $r = r s$ seguía sin estar clara.

En 1921, Paul Painlevé y en 1922 Allvar Gullstrand produjeron de forma independiente una solución métrica, esféricamente simétrica, de las ecuaciones de Einstein, que ahora sabemos que es una transformación de coordenadas de la métrica de Schwarzschild, coordenadas Gullstrand-Painlevé, en la que había sin singularidad en $r = r s$ . Sin embargo, no reconocieron que sus soluciones eran solo transformaciones de coordenadas y, de hecho, usaron su solución para argumentar que la teoría de Einstein era incorrecta. En 1924, Arthur Eddington produjo la primera transformación de coordenadas (coordenadas de Eddington-Finkelstein) que mostró que la singularidad en $r = r s$ era un artefacto coordinado, aunque tampoco parece haber sido consciente de la importancia de este descubrimiento. Más tarde, en 1932, Georges Lemaître dio una transformación de coordenadas diferente (coordenadas de Lemaître) con el mismo efecto y fue el primero en reconocer que esto implicaba que la singularidad en $r = r s$ no era físico. En 1939, Howard Robertson demostró que un observador en caída libre que descendiera en la métrica de Schwarzschild cruzaría la $r = r s$ singularidad en una cantidad finita de tiempo propio aunque esto llevaría una cantidad infinita de tiempo en términos de tiempo coordinado $t.$

En 1950, John Synge produjo un artículo que mostraba la extensión analítica máxima de la métrica de Schwarzschild, demostrando nuevamente que la singularidad en $r = r s$ era un artefacto de coordenadas y representaba dos horizontes. Más tarde, George Szekeres e, independientemente, Martin Kruskal redescubrieron un resultado similar. Las nuevas coordenadas conocidas hoy en día como coordenadas Kruskal-Szekeres eran mucho más simples que las de Synge, pero ambas proporcionaban un único conjunto de coordenadas que cubría todo el espacio-tiempo. Sin embargo, quizás debido a la oscuridad de las revistas en las que se publicaron los artículos de Lemaître y Synge, sus conclusiones pasaron desapercibidas, y muchos de los principales actores en el campo, incluido Einstein, creyeron que la singularidad en el radio de Schwarzschild era física. La derivación posterior de Synge de la solución métrica Szekeres-Kruskal, que fue motivada por el deseo de evitar "usar 'malos' [Schwarzschild] coordenadas para obtener 'bueno' [Szekeres-Kruskal] coordenadas," ha sido generalmente subestimado en la literatura, pero Chandrasekhar lo adoptó en su monografía sobre agujeros negros.

Se logró un progreso real en la década de 1960 cuando las herramientas más exactas de la geometría diferencial entraron en el campo de la relatividad general, lo que permitió definiciones más exactas de lo que significa que una variedad lorentziana es singular. Esto condujo a la identificación definitiva de la singularidad $r = r s$ en la métrica de Schwarzschild como un horizonte de eventos (una hipersuperficie en el espacio-tiempo que se puede cruzar en una sola dirección).

Singularidades y agujeros negros

La solución de Schwarzschild parece tener singularidades en $r = 0$ y $r = r s$ ; algunos de los componentes métricos "explotan" (implica división por cero o multiplicación por infinito) en estos radios. Dado que se espera que la métrica de Schwarzschild sea válida solo para aquellos radios mayores que el radio $R$ del cuerpo gravitante, no hay problema siempre que $R > r s$ . Para estrellas y planetas ordinarios, este es siempre el caso. Por ejemplo, el radio del Sol es aproximadamente 700 000 km, mientras que su radio Schwarzschild es de solo 3 km.

La singularidad en $r = r s$ divide las coordenadas de Schwarzschild en dos coordenadas desconectadas parches La solución exterior de Schwarzschild con $r > r s$ es el que se relaciona con los campos gravitatorios de estrellas y planetas. La solución interior de Schwarzschild con $0 \leq r < r s$ , que contiene la singularidad en $r = 0$ , es completamente separado del parche exterior por la singularidad en $r = r s$ . Las coordenadas de Schwarzschild, por lo tanto, no dan una conexión física entre los dos parches, que pueden verse como soluciones separadas. Sin embargo, la singularidad en $r = r s$ es una ilusión; es una instancia de lo que se llama una singularidad coordinada. Como su nombre lo indica, la singularidad surge de una mala elección de coordenadas o condiciones de coordenadas. Al cambiar a un sistema de coordenadas diferente (por ejemplo, coordenadas de Lemaitre, coordenadas de Eddington-Finkelstein, coordenadas de Kruskal-Szekeres, coordenadas de Novikov o coordenadas de Gullstrand-Painlevé), la métrica se vuelve regular en $r = r s$ y puede extender el parche externo a valores de $r$ menor que $r s$ . Usando una transformación de coordenadas diferente, se puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno.

Sin embargo, el caso $r = 0$ es diferente. Si uno pide que la solución sea válida para todos los $r$ , uno se topa con una verdadera singularidad física, o singularidad gravitatoria, en el origen. Para ver que esta es una verdadera singularidad, uno debe mirar cantidades que son independientes de la elección de las coordenadas. Una de esas cantidades importantes es la invariante de Kretschmann, que viene dada por

{displaystyle R^{alpha beta gamma delta }R_{alpha beta gamma delta }={frac {12r_{mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}},.}

En $r = 0$ la curvatura se vuelve infinita, indicando la presencia de una singularidad. En este punto, la métrica no se puede extender de una manera suave (el invariante de Kretschmann involucra las segundas derivadas de la métrica), el espacio-tiempo en sí ya no está bien definido. Además, Sbierski mostró que la métrica no puede extenderse ni siquiera de manera continua. Durante mucho tiempo se pensó que tal solución no era física. Sin embargo, una mayor comprensión de la relatividad general llevó a darse cuenta de que tales singularidades eran una característica genérica de la teoría y no solo un caso especial exótico.

La solución de Schwarzschild, considerada válida para todos los $r > 0$ , se denomina agujero negro de Schwarzschild. Es una solución perfectamente válida de las ecuaciones de campo de Einstein, aunque (como otros agujeros negros) tiene propiedades bastante extrañas. Para $r < r s$ la coordenada radial de Schwarzschild $r$ se vuelve temporal y la coordenada de tiempo $t$ se vuelve espacial. Una curva en $r$ constante ya no es una posible línea de tiempo de una partícula u observador, ni siquiera si se ejerce una fuerza para intentar mantenlo ahí; esto ocurre porque el espacio-tiempo se ha curvado tanto que la dirección de causa y efecto (el futuro cono de luz de la partícula) apunta hacia la singularidad. La superficie $r = r s$ delimita lo que se llama el horizonte de eventos del agujero negro. Representa el punto más allá del cual la luz ya no puede escapar del campo gravitatorio. Cualquier objeto físico cuyo radio $R$ sea menor o igual que el radio de Schwarzschild ha sufrido un colapso gravitacional y se ha convertido en un agujero negro.

Coordenadas alternativas

La solución de Schwarzschild se puede expresar en un rango de diferentes opciones de coordenadas además de las coordenadas de Schwarzschild utilizadas anteriormente. Diferentes opciones tienden a resaltar diferentes características de la solución. La siguiente tabla muestra algunas opciones populares.

Coordinaciones alternativas
Coordinaciones	Elemento de línea	Notas	Características
coordenadas Eddington-Finkelstein (ingoing)	${displaystyle -left(1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}right),dv^{2}+2,dv,dr+r^{2},g_{Omega }}$		regular en horizonte futuro --past horizonte es v=- infinity
coordenadas Eddington-Finkelstein (fuera)	${displaystyle -left(1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}right),du^{2}-2,du,dr+r^{2}g_{Omega }}$		regular en horizonte pasado se extiende a través del horizonte pasado. Futuro horizonte en u = infinito
coordenadas Gullstrand-Painlevé	${displaystyle -left(1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}right),dT^{2}pm 2{sqrt {frac {r_{mathrm {s} }}{r}}},dT,dr+dr^{2}+r^{2},g_{Omega }}$		regular en (+ futuro/pasto) horizonte
Coordenadas isotrópicas	${displaystyle -{frac {left(1-{frac {r_{mathrm {s} }}{4R}}right)^{2}}{left(1+{frac {r_{mathrm {s} }}{4R}}right)^{2}}},{dt}^{2}+left(1+{frac {r_{mathrm {s} }}{4R}}right)^{4},left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}right)}$	$R = sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 }$ Válido sólo fuera del horizonte del evento: $r_{text{s}}/4}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R■rs/4{displaystyle ¿Qué?r_{text{s}}/4}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f260394d42c6229e50cc7d9a46dfce6e0d62fc23" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.116ex; height:2.843ex;"/>$	isotropic lightcones en rebanadas de tiempo constante
Kruskal–Szekeres coordina	${displaystyle -{frac {4r_{mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{frac {r}{r_{mathrm {s} }}}},left(dT^{2}-dR^{2}right)+r^{2},g_{Omega }}$	${displaystyle T^{2}-R^{2}=left(1-{frac {r}{r_{mathrm {s} }}}right)e^{frac {r}{r_{mathrm {s} }}}}$	regular en horizonte Se extiende a tiempo completo
Coordenadas Lemaître	${displaystyle -dT^{2}+{frac {r_{mathrm {s} }}{r}},dR^{2}+r^{2},g_{Omega }}$	${displaystyle r=left({tfrac {3}{2}}(Rpm T)right)^{frac {2}{3}}r_{mathrm {s} }^{frac {1}{3}}}$	regular en futuro/pasto horizonte
Coordinaciones armónicas	${displaystyle -{frac {rho -r_{mathrm {s} }/2}{rho +r_{mathrm {s} }/2}}dt^{2}+{frac {rho +r_{mathrm {s} }/2}{rho -r_{mathrm {s} }/2}}drho ^{2}+(rho +r_{mathrm {s} }/2)^{2}g_{Omega }}$	${displaystyle rho =r-r_{mathrm {s} }/2}$

En la tabla anterior, se han introducido algunas abreviaturas por razones de brevedad. La velocidad de la luz $c$ se ha establecido en uno. la notación

{displaystyle g_{Omega }=dtheta ^{2}+sin ^{2}theta ,dvarphi ^{2}}

se utiliza para la métrica de una esfera de 2 dimensiones de radio unidad. Además, en cada entrada $R$ y $T$ denotar opciones alternativas de coordenadas radiales y temporales para las coordenadas particulares. Nota, $R$ y/o $T$ puede variar de entrada a entrada.

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres tienen la forma a la que se puede aplicar la transformada de Belinski-Zakharov. Esto implica que el agujero negro de Schwarzschild es una forma de solitón gravitacional.

Paraboloide de Flamm

La curvatura espacial de la solución de Schwarzschild para $r > r s$ se pueden visualizar como muestra el gráfico. Considere un segmento ecuatorial de tiempo constante a través de la solución de Schwarzschild ( $θ = π ⁄ 2$ , $t$ = constante) y describa la posición de una partícula que se mueve en este plano con las coordenadas restantes de Schwarzschild $(r, φ). Imagine ahora que hay una dimensión euclidiana adicional w, que no tiene realidad física (no es parte del espacio-tiempo). Luego reemplace el plano (r, φ) con una superficie con hoyuelos en el estilo w dirección según la ecuación (paraboloide de Flamm)$

{displaystyle w=2{sqrt {r_{mathrm {s} }left(r-r_{mathrm {s} }right)}}.}

Esta superficie tiene la propiedad de que las distancias medidas dentro de ella coinciden con las distancias en la métrica de Schwarzschild, porque con la definición de w anterior,

{displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2},dvarphi ^{2}=-c^{2},dtau ^{2}={frac {dr^{2}}{1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2},dvarphi ^{2}}

Por lo tanto, el paraboloide de Flamm es útil para visualizar la curvatura espacial de la métrica de Schwarzschild. Sin embargo, no debe confundirse con un pozo de gravedad. Ninguna partícula ordinaria (masiva o sin masa) puede tener una línea de universo sobre el paraboloide, ya que todas las distancias en él son similares al espacio (esta es una sección transversal en un momento del tiempo, por lo que cualquier partícula que se mueva sobre ella tendría una velocidad infinita). Un taquión podría tener una línea de mundo similar al espacio que se encuentra completamente en un solo paraboloide. Sin embargo, incluso en ese caso, su trayectoria geodésica no es la trayectoria que se obtiene a través de una "lámina de goma" analogía del pozo gravitacional: en particular, si el hoyuelo se dibuja apuntando hacia arriba en lugar de hacia abajo, la trayectoria geodésica del taquión aún se curva hacia la masa central, no alejándose. Consulte el artículo sobre pozos de gravedad para obtener más información.

El paraboloide de Flamm se puede derivar de la siguiente manera. La métrica Euclidiana en las coordenadas cilíndricas $(r, φ, w)$ se escribe

{displaystyle ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2},dvarphi ^{2},.}

Dejar que la superficie sea descrita por la función $w = w (r)$ , la métrica euclidiana se puede escribir como

{displaystyle ds^{2}=left(1+left({frac {dw}{dr}}right)^{2}right),dr^{2}+r^{2},dvarphi ^{2},,}

Comparando esto con la métrica de Schwarzschild en el plano ecuatorial ( $θ = π / 2$ ) en un momento fijo ( $t$ = constante, $dt = 0$ )

{displaystyle ds^{2}=left(1-{frac {r_{mathrm {s} }}{r}}right)^{-1},dr^{2}+r^{2},dvarphi ^{2},,}

produce una expresión integral para $w (r)$ :

{displaystyle w(r)=int {frac {dr}{sqrt {{frac {r}{r_{mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{mathrm {s} }{sqrt {{frac {r}{r_{mathrm {s} }}}-1}}+{mbox{constant}}}

cuya solución es el paraboloide de Flamm.

Movimiento orbital

Comparación entre la órbita de una partícula de ensayo en Newtonian (izquierda) y Schwarzschild (derecha) tiempo espacial; note la precesión Apsidal a la derecha.

Una partícula que orbita en la métrica de Schwarzschild puede tener una órbita circular estable con $r > 3 r s$ . Órbitas circulares con $r$ entre $1,5 r s$ y $3 r s$ son inestables y no existen órbitas circulares para r < 1.5r_s. La órbita circular de radio mínimo $1.5 r s$ corresponde a una velocidad orbital cercana a la velocidad de la luz. Es posible que una partícula tenga un valor constante de $r$ entre $r s$ y $1.5 r s$ , pero solo si algunos la fuerza actúa para mantenerlo allí.

Las órbitas no circulares, como la de Mercurio, permanecen más tiempo en radios pequeños de lo que se esperaría en la gravedad newtoniana. Esto puede verse como una versión menos extrema del caso más dramático en el que una partícula atraviesa el horizonte de sucesos y permanece en él para siempre. Intermedias entre el caso de Mercurio y el caso de un objeto que cae más allá del horizonte de sucesos, existen posibilidades exóticas como las órbitas de filo de cuchillo, en las que se puede hacer que el satélite ejecute un número arbitrariamente grande de órbitas casi circulares, después de lo cual vuela hacia afuera.

Simetrías

El grupo de isometrías de la métrica de Schwarzschild es el subgrupo del grupo de diez dimensiones de Poincaré que lleva el eje del tiempo (trayectoria de la estrella) a sí mismo. Omite las traducciones espaciales (tres dimensiones) y potencia (tres dimensiones). Conserva las traslaciones de tiempo (una dimensión) y las rotaciones (tres dimensiones). Por lo tanto, tiene cuatro dimensiones. Al igual que el grupo de Poincaré, tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente de tiempo invertido; el componente de inversión espacial; y el componente que está invertido tanto en el tiempo como en el espacio.

Curvaturas

El escalar de curvatura de Ricci y el tensor de curvatura de Ricci son cero. Los componentes distintos de cero del tensor de curvatura de Riemann son

{displaystyle R^{t}{}_{rrt}=2R^{theta }{}_{rtheta r}=2R^{phi }{}_{rphi r}={frac {r_{text{s}}}{r^{2}(r_{text{s}}-r)}},}

{displaystyle 2R^{t}{}_{theta theta t}=2R^{r}{}_{theta theta r}=R^{phi }{}_{theta phi theta }={frac {r_{text{s}}}{r}},}

{displaystyle 2R^{t}{}_{phi phi t}=2R^{r}{}_{phi phi r}=-R^{theta }{}_{phi phi theta }={frac {r_{text{s}}sin ^{2}(theta)}{r}},}

{displaystyle R^{r}{}_{trt}=-2R^{theta }{}_{ttheta t}=-2R^{phi }{}_{tphi t}=c^{2}{frac {r_{text{s}}(r_{text{s}}-r)}{r^{4}}}}

No se muestran los componentes que se pueden obtener mediante las simetrías del tensor de Riemann.

Para entender el significado físico de estas cantidades, es útil expresar el tensor de curvatura en una base ortonormal. En una base ortonormal de un observador, los componentes distintos de cero en unidades geométricas son

{displaystyle R^{hat {r}}{}_{{hat {t}}{hat {r}}{hat {t}}}=-R^{hat {theta }}{}_{{hat {phi }}{hat {theta }}{hat {phi }}}=-{frac {r_{text{s}}}{r^{3}}},}

{displaystyle R^{hat {theta }}{}_{{hat {t}}{hat {theta }}{hat {t}}}=R^{hat {phi }}{}_{{hat {t}}{hat {phi }}{hat {t}}}=-R^{hat {r}}{}_{{hat {theta }}{hat {r}}{hat {theta }}}=-R^{hat {r}}{}_{{hat {phi }}{hat {r}}{hat {phi }}}={frac {r_{text{s}}}{2r^{3}}}.}

De nuevo, no se muestran los componentes que son obtenibles por las simetrías del tensor Riemann. Estos resultados son invariantes a cualquier impulso de Lorentz, por lo que los componentes no cambian para observadores no estáticos. La ecuación de desviación geodésica muestra que la aceleración de la marea entre dos observadores separados por ${displaystyle xi ^{hat {j}}}$ es ${displaystyle D^{2}xi ^{hat {j}}/Dtau ^{2}=-R^{hat {j}}{}_{{hat {t}}{hat {k}}{hat {t}}}xi ^{hat {k}}}$ , así que un cuerpo de longitud $L$ se estira en la dirección radial por una aceleración aparente ${displaystyle (r_{text{s}}/r^{3})c^{2}L}$ y apretado en las direcciones perpendiculares por ${displaystyle -(r_{text{s}}/(2r^{3}))c^{2}L}$ .

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