Métrica de Kerr

La métrica de Kerr o la geometría de Kerr describe la geometría del espacio-tiempo vacío alrededor de un agujero negro axialmente simétrico, giratorio y sin carga, con un horizonte de sucesos cuasiesférico. La métrica de Kerr es una solución exacta de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein; Estas ecuaciones son altamente no lineales, lo que hace que sea muy difícil encontrar soluciones exactas.

Descripción general

La métrica de Kerr es una generalización a un cuerpo giratorio de la métrica de Schwarzschild, descubierta por Karl Schwarzschild en 1915, que describía la geometría del espacio-tiempo alrededor de un cuerpo sin carga, esféricamente simétrico y no giratorio. Poco después (1916-1918) se descubrió la solución correspondiente para un cuerpo cargado, esférico y no giratorio, la métrica de Reissner-Nordström. Sin embargo, la solución exacta para un agujero negro giratorio sin carga, la métrica de Kerr, permaneció sin resolver hasta 1963, cuando fue descubierta por Roy Kerr. La extensión natural de un agujero negro cargado y giratorio, la métrica de Kerr-Newman, se descubrió poco después, en 1965. Estas cuatro soluciones relacionadas se pueden resumir en la siguiente tabla, donde Q representa el cuerpo's carga eléctrica y J representa su momento angular de giro:

	No rotación (J = 0)	RotaciónJ ل 0)
Suplemento (recarga)Q = 0)	Schwarzschild	Kerr
Cargado (Q ل 0)	Reissner–Nordström	Kerr-Newman

Según la métrica de Kerr, un cuerpo en rotación debería exhibir arrastre de cuadro (también conocido como precesión Lense-Thirring), una predicción distintiva de la relatividad general. La primera medición de este efecto de arrastre de cuadros se realizó en 2011 mediante el experimento Gravity Probe B. En términos generales, este efecto predice que los objetos que se acerquen a una masa en rotación serán arrastrados para participar en su rotación, no debido a ninguna fuerza o torsión aplicada que pueda sentirse, sino más bien debido a la curvatura arremolinada del espacio-tiempo asociada con los cuerpos en rotación.. En el caso de un agujero negro en rotación, a distancias suficientemente cercanas, todos los objetos (incluso la luz) deben girar con el agujero negro; la región donde esto ocurre se llama ergosfera.

La luz de fuentes distantes puede viajar alrededor del horizonte de sucesos varias veces (si está lo suficientemente cerca); creando múltiples imágenes del mismo objeto. Para un espectador distante, la distancia perpendicular aparente entre imágenes disminuye en un factor de e^2π (alrededor de 500). Sin embargo, los agujeros negros que giran rápidamente tienen menos distancia entre imágenes de multiplicidad.

Los agujeros negros en rotación tienen superficies donde la métrica parece tener singularidades aparentes; El tamaño y la forma de estas superficies dependen de la masa y el momento angular del agujero negro. La superficie exterior encierra la ergosfera y tiene una forma similar a una esfera aplanada. La superficie interior marca el horizonte de sucesos; los objetos que pasan al interior de este horizonte nunca más podrán comunicarse con el mundo exterior a ese horizonte. Sin embargo, ninguna de las superficies es una verdadera singularidad, ya que su aparente singularidad puede eliminarse en un sistema de coordenadas diferente. Se produce una situación similar al considerar la métrica de Schwarzschild, que también parece dar como resultado una singularidad en r = r_s que divide el espacio arriba y abajo r_s en dos parches desconectados; Usando una transformación de coordenadas diferente, se puede relacionar el parche externo extendido con el parche interno (ver Métrica de Schwarzschild § Singularidades y agujeros negros); dicha transformación de coordenadas elimina la aparente singularidad donde se encuentran las superficies interna y externa.. Los objetos entre estas dos superficies deben co-rotar con el agujero negro en rotación, como se señaló anteriormente; En principio, esta característica se puede utilizar para extraer energía de un agujero negro en rotación, hasta su energía de masa invariante, Mc².

El experimento LIGO que detectó por primera vez ondas gravitacionales, anunciado en 2016, también proporcionó la primera observación directa de un par de agujeros negros de Kerr.

Métrica

La métrica de Kerr se expresa comúnmente en una de dos formas: la forma de Boyer-Lindquist y la forma de Kerr-Schild. Se puede derivar fácilmente de la métrica de Schwarzschild, utilizando el algoritmo de Newman-Janis mediante el formalismo de Newman-Penrose (también conocido como formalismo de coeficiente de espín), la ecuación de Ernst o la transformación de coordenadas elipsoides.

Coordenadas de Boyer-Lindquist

La métrica Kerr describe la geometría del tiempo espacial en las proximidades de una masa M{displaystyle M} giratorio con impulso angular J{displaystyle J}. La métrica (o equivalentemente su elemento de línea para el tiempo apropiado) en las coordenadas Boyer-Lindquist es

ds2=− − c2dτ τ 2=− − ()1− − rsr.. )c2dt2+.. Δ Δ dr2+.. dSilencio Silencio 2+()r2+a2+rsra2.. pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio )pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio dφ φ 2− − 2rsrapecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio .. cdtdφ φ {displaystyle {begin{aligned}ds^{2} limit=-c^{2}dtau ^{2}\\cH00}r} {fnMicroc {fnMicrosoft}r} {fnMicrosoft Sans} Sigma ¿Por qué? {Sigma}{Delta}dr^{2}+ Sigma dtheta ¿Qué? Sigma }sin ^{2}theta right)sin ^{2}theta {fnMicrosoft Sans}rasin ^{2}theta } {Sigma }c,dt,dphi end{aligned}}

()1)

donde las coordenadas r,Silencio Silencio ,φ φ {displaystyle r,thetaphi } son coordenadas esteroideas estándar, que son equivalentes a las coordenadas cartesianas

x=r2+a2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ {displaystyle x={sqrt {r^{2}}sin theta cos phi }

()2)

Sí.=r2+a2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ {displaystyle y={sqrt {fnK}fn} theta sin phi }

()3)

z=r#⁡ ⁡ Silencio Silencio ,{displaystyle z=rcos theta}

()4)

Donde rs{displaystyle r_{text{s}} es el radio Schwarzschild

rs=2GMc2,{displaystyle r_{text{}={frac {2GM}{c^{2}}}}}

()5)

y dónde para brevedad, las escalas de longitud a,.. {displaystyle a,Sigma } y Δ Δ {displaystyle Delta } han sido introducidos

a=JMc,{displaystyle a={frac} {fnMic}}

()6)

.. =r2+a2#2⁡ ⁡ Silencio Silencio ,{displaystyle Sigma =r^{2}+a^{2}cos ^{2}theta}

()7)

Δ Δ =r2− − rsr+a2.{displaystyle Delta =r^{2}-r_{text{s}r+a^{2}

()8)

Una característica clave para notar en la métrica anterior es el término del producto cruzado dtdφ φ .{displaystyle dt,dphi.} Esto implica que hay un acoplamiento entre el tiempo y el movimiento en el plano de rotación que desaparece cuando el impulso angular del agujero negro va a cero.

En el límite no relativista donde M{displaystyle M} (o, equivalentemente, rs{displaystyle r_{text{s}}) va a cero, la métrica Kerr se convierte en la métrica ortogonal para las coordenadas esferoidales oblatas

grestablecimiento restablecimiento M→ → 0− − c2dt2+.. r2+a2dr2+.. dSilencio Silencio 2+()r2+a2)pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio dφ φ 2{displaystyle gmathop {longrightarrow } _{Mto 0}-c^{2}dt^{2}+{\\\ frac {Sigma}{2}}dr^{2}+c} Sigma dtheta ^{2}+left(r^{2}+a^{2}right)sin ^{2}theta dphi ^{2}}

()9)

Coordenadas de Kerr-Schild

The Kerr metric can be expressed in "Kerr–Schild " form, using a particular set of Cartesian coordinates as follows. These solutions were proposed by Kerr and Schild in 1965.

gμ μ .. =.. μ μ .. +fkμ μ k.. {displaystyle g_{munu }=eta _{mu nu }+fk_{mu ¡No!

()10)

f=2GMr3r4+a2z2{displaystyle f={frac {2GMr^{3}{4}+a^{2} z}}} {2}}}} {}}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

()11)

k=()kx,kSí.,kz)=()rx+aSí.r2+a2,rSí.− − axr2+a2,zr){displaystyle mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z}=left({frac} {rx+ay}{2}+a^{2}}} {frac} {fnMicrosoft Sans Serif}

()12)

k0=1.{displaystyle k_{0}=1.

()13)

Note que k es una unidad 3-vector, haciendo el 4-vector un vector nulo, con respecto a ambos g y .. Aquí. M es la masa constante del objeto giratorio, . es el tensor de Minkowski, y a es un parámetro rotativo constante del objeto giratorio. Se entiende que el vector a→ → {displaystyle {vec}} se dirige a lo largo del eje z positivo. La cantidad r no es el radio, sino que se define implícitamente

x2+Sí.2r2+a2+z2r2=1{fnMicroc} {x^{2}+y^{2}{2}}}+{2}}}+{frac} {cH00}} {c}}}=1}

()14)

Notice that the quantity r becomes the usual radius R

r→ → R=x2+Sí.2+z2{displaystyle rto R={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

cuando el parámetro rotacional a se acerca a cero. En esta forma de solución, las unidades se seleccionan de modo que la velocidad de la luz sea la unidad (c = 1). A grandes distancias de la fuente (R ≫ a), estas ecuaciones se reducen a la forma de Eddington-Finkelstein de la métrica de Schwarzschild.

En la forma de Kerr-Schild de la métrica de Kerr, el determinante del tensor métrico es igual a menos uno en todas partes, incluso cerca de la fuente.

Coordenadas de Solitón

Como la métrica de Kerr (junto con la métrica de Kerr-NUT) es axialmente simétrica, se puede convertir en una forma a la que se pueda aplicar la transformada de Belinski-Zakharov. Esto implica que el agujero negro de Kerr tiene la forma de un solitón gravitacional.

Masa de energía rotacional

Si la energía rotacional completa Erot=c2()M− − Mirr){displaystyle E_{rm}=c^{2}left(M-M_{rm {irr}right)} de un agujero negro se extrae, por ejemplo con el proceso Penrose, la masa restante no puede reducirse por debajo de la masa irreducible. Por lo tanto, si un agujero negro gira con la vuelta a=M{displaystyle a=M}, su total equivalente de masa M{displaystyle M} es mayor por un factor 2{displaystyle {sqrt {2}} en comparación con un agujero negro Schwarzschild correspondiente donde M{displaystyle M} es igual a Mirr{displaystyle M_{rm {irr}}. La razón de esto es que para conseguir un cuerpo estático para girar, la energía necesita ser aplicada al sistema. Debido a la equivalencia masiva-energía, esta energía también tiene un equivalente masivo, que añade a la energía total del sistema, M{displaystyle M}.

El equivalente total de masa M{displaystyle M} (la masa gravitatoria) del cuerpo (incluyendo su energía rotacional) y su masa irreducible Mirr{displaystyle M_{rm {irr}} relacionados por

2Mirr2=M2+M4− − J2c2/G2⟹ ⟹ M2=Mirr2+J2c24Mirr2G2.{displaystyle 2M_{rm {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}}=M^{2}+{sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}Longrightarrow M^{2}=M_{rm {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}} {4M_{rm} {\fn} {fn}}} {fn}} {fn}} {fnfn}}} {fn}}}} {f}}fn}f}fn}}}}}}}\\\\\\\fn}}}\\\\\\\fn}\\fn}\\\\\\\\\fn}\\\\fn}\\\\\fn}\fn}\\fn}\fn}fn}fn}\fn}fn}fn}fn}\\fn}\\\\\\fn ¿Qué?

Operador de onda

Ya que incluso un cheque directo en la métrica Kerr implica cálculos engorrosos, los componentes contravariantes gik{displaystyle g^{ik} del tensor métrico en las coordenadas Boyer-Lindquist se muestran a continuación en la expresión para la plaza del operador de cuatro grados:

gμ μ .. ∂ ∂ ∂ ∂ xμ μ ∂ ∂ ∂ ∂ x.. =− − 1c2Δ Δ ()r2+a2+rsra2.. pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio )()∂ ∂ ∂ ∂ t)2− − 2rsrac.. Δ Δ ∂ ∂ ∂ ∂ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ t+1Δ Δ pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio ()1− − rsr.. )()∂ ∂ ∂ ∂ φ φ )2+Δ Δ .. ()∂ ∂ ∂ ∂ r)2+1.. ()∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio )2{displaystyle g^{munu }{frac {fnMicrosoft Sans Serif} }{partial x^{mu {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} ##{partial x^{nu }=-{2}{2}Delta }left(r^{2}+a^{2}+{frac {frac {r_{text{s}ra^{2}{2} {f}} {f}} {f}}} {f} {f} {fnKf}f}}}}}}} {f}}}f}}}}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}fnf}f}f}f}f}fnfnf}f}f}f}f}f}f}f}fn Sigma. Sigma Delta } {frac {partial }{partial phi }{frac {partial }{partial {}}+{frac} {1}{Delta sin ^{2}theta }left(1-{text{}r}r} {fnMicroc {fnh}r} {fnMicroc} Sigma. {Delta {fnMicrosoft Sans Serif}derechoso* {1}{ Sigma. - Sí.

()15)

Arrastrar fotograma

Podemos reescribir la métrica de Kerr (1) de la siguiente forma:

c2dτ τ 2=()gtt− − gtφ φ 2gφ φ φ φ )dt2+grrdr2+gSilencio Silencio Silencio Silencio dSilencio Silencio 2+gφ φ φ φ ()dφ φ +gtφ φ gφ φ φ φ dt)2.{displaystyle c^{2}dtau ^{2}=left(g_{tt}-{frac {g_{tphi ¿Qué? }dr^{2}+g_{theta theta }dtheta ^{2}+g_{phi phi }left(dphi +{frac {g_{tphi } {g_{phiphi}}dtright)} {2}

()16)

Esta métrica es equivalente a un sistema de referencia co-rotativo que gira con una velocidad angular Ω que depende tanto del radio r como de la colatitud θ, donde Ω es llamado el horizonte asesino.

Ω Ω =− − gtφ φ gφ φ φ φ =rsrac.. ()r2+a2)+rsra2pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle Omega =-{frac {g_{tphi }{g_{phi phi {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicroc {f} {fnMicroc {fnMicroc}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}} {f}} {f}} {f}} {f} {f} {f} {f}f}f}}f}f}f}f}f}f}fnf}f}fnf}fnf}fnfnf}f}f}fnfnfnfnfnf}fnf}fnfnf}f}f Sigma left(r^{2}+a^{2}right)+r_{text{s}ra^{2}sin ^{2}theta }}

()17)

Así, un sistema de referencia inercial es arrastrado por la masa central giratoria para participar en la rotación de esta última; esto se llama arrastre de fotogramas y se ha probado experimentalmente. Cualitativamente, el arrastre de fotogramas puede verse como el análogo gravitacional de la inducción electromagnética. Una "patinadora sobre hielo", en órbita sobre el ecuador y en reposo rotacional con respecto a las estrellas, extiende sus brazos. El brazo extendido hacia el agujero negro será torcido hacia el giro. El brazo extendido lejos del agujero negro se apretará en sentido contrario al giro. Por lo tanto, se acelerará rotacionalmente, en un sentido contrario al del agujero negro. Esto es lo contrario de lo que sucede en la experiencia cotidiana. Si ya está girando a cierta velocidad cuando extiende los brazos, los efectos de inercia y los efectos de arrastre del cuadro se equilibrarán y su giro no cambiará. Debido al principio de equivalencia, los efectos gravitacionales son localmente indistinguibles de los efectos inerciales, por lo que esta velocidad de rotación, a la que cuando extiende los brazos no sucede nada, es su referencia local para la no rotación. Este marco gira con respecto a las estrellas fijas y contrarota con respecto al agujero negro. Una metáfora útil es un sistema de engranajes planetarios en el que el agujero negro es el engranaje solar, el patinador sobre hielo es un engranaje planetario y el universo exterior es el engranaje anular. Esto también se puede interpretar a través del principio de Mach.

Superficies importantes

Hay varias superficies importantes en la métrica de Kerr (1). La superficie interior corresponde a un horizonte de sucesos similar al observado en la métrica de Schwarzschild; esto ocurre cuando el componente puramente radial g_rr de la métrica llega al infinito. Resolver la ecuación cuadrática 1⁄g _rr = 0 produce la solución:

rH± ± =rs± ± rs2− − 4a22{fnMicrosoft Sans Serif}fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}pm {fnK}} {fnK}}}}} {2}}}}}}} {2}}}}}}} {f} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

que en unidades naturales (que dan G = M = c = 1) se simplifica a:

rH± ± =1± ± 1− − a2{fnh00}=1pm {fnfnfnfnh00} {fnfnfnfn} {1-a^{2}}}

Mientras que en la métrica de Schwarzschild el horizonte de eventos es también el lugar donde el componente puramente temporal g_tt de la métrica cambia de signo de positivo a negativo, en la métrica de Kerr ese sucede a una distancia diferente. Nuevamente, al resolver una ecuación cuadrática g_tt = 0 se obtiene la solución:

rE± ± =rs± ± rs2− − 4a2#2⁡ ⁡ Silencio Silencio 2{displaystyle r_{rm}{pm}={frac {f}fnh}fnh} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} } {2}}}

o en unidades naturales:

rE± ± =1± ± 1− − a2#2⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle r_{rm}{pm}=1pm {sqrt {1-a^{2}cos ^{2}theta }

Debido al término cos²θ en la raíz cuadrada, esta superficie exterior se asemeja a una esfera aplanada que toca la superficie interior en los polos del eje de rotación, donde la colatitud θ es igual a 0 o π; el espacio entre estas dos superficies se llama ergosfera. Dentro de este volumen, el componente puramente temporal g_tt es negativo, es decir, actúa como un componente métrico puramente espacial. En consecuencia, las partículas dentro de esta ergosfera deben co-rotar con la masa interna, si quieren conservar su carácter temporal. Una partícula en movimiento experimenta un tiempo propio positivo a lo largo de su línea mundial, su camino a través del espacio-tiempo. Sin embargo, esto es imposible dentro de la ergosfera, donde g_tt es negativo, a menos que la partícula esté co-girando alrededor de la masa interior M con una velocidad angular al menos de Ω. Por tanto, ninguna partícula puede moverse en dirección opuesta a la rotación de la masa central dentro de la ergosfera.

Como con el horizonte de eventos en la métrica Schwarzschild, la aparente singularidad en r_H es debido a la elección de coordenadas (es decir, es una singularidad de coordenadas). De hecho, la hora espacial puede continuar sin problemas a través de ella mediante una elección adecuada de coordenadas. A su vez, el límite exterior de la energía r_E no es singular por sí mismo incluso en las coordenadas Kerr debido a no-cero dtdφ φ {displaystyle dtdfnK} termino.

La ergosfera y el proceso de Penrose

Un agujero negro en general está rodeado por una superficie, llamada horizonte de sucesos y situada en el radio de Schwarzschild para un agujero negro que no gira, donde la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz. Dentro de esta superficie, ningún observador/partícula puede mantenerse en un radio constante. Se ve obligado a caer hacia adentro, por lo que a veces se le llama límite estático.

A rotating black hole has the same static limit at its event horizon but there is an additional surface outside the event horizon named the n#34;ergosurface n#34; given by

()r− − M)2=M2− − J2#2⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle (r-M)}=M^{2}-J^{2}cos ^{2}theta }

en coordenadas de Boyer-Lindquist, que se puede caracterizar intuitivamente como la esfera donde "la velocidad de rotación del espacio circundante" es arrastrado con la velocidad de la luz. Dentro de esta esfera, el arrastre es mayor que la velocidad de la luz, y cualquier observador/partícula se ve obligado a co-rotar.

La región fuera del horizonte de sucesos pero dentro de la superficie donde la velocidad de rotación es la velocidad de la luz, se llama ergosfera (del griego ergon que significa trabajo). ). Las partículas que caen dentro de la ergosfera se ven obligadas a girar más rápido y, por tanto, ganar energía. Como todavía están fuera del horizonte de sucesos, pueden escapar del agujero negro. El proceso neto es que el agujero negro en rotación emite partículas energéticas a costa de su propia energía total. La posibilidad de extraer energía de espín de un agujero negro en rotación fue propuesta por primera vez por el matemático Roger Penrose en 1969 y por eso se denomina proceso de Penrose. Los agujeros negros giratorios en astrofísica son una fuente potencial de grandes cantidades de energía y se utilizan para explicar fenómenos energéticos, como los estallidos de rayos gamma.

Características de la geometría de Kerr

La geometría de Kerr exhibe muchas características notables: la extensión analítica máxima incluye una secuencia de regiones exteriores asintóticamente planas, cada una asociada con una ergosfera, superficies límite estacionarias, horizontes de sucesos, horizontes de Cauchy, curvas temporales cerradas y una curvatura en forma de anillo. singularidad. La ecuación geodésica se puede resolver exactamente en forma cerrada. Además de dos campos vectoriales Killing (correspondientes a la traducción del tiempo y la axisimmetría), la geometría de Kerr admite un notable tensor Killing. Hay un par de congruencias nulas principales (una entrante y otra saliente). El tensor de Weyl es algebraicamente especial, de hecho tiene tipo Petrov D. La estructura global es conocida. Topológicamente, el tipo de homotopía del espacio-tiempo de Kerr se puede caracterizar simplemente como una línea con círculos unidos en cada punto entero.

Tenga en cuenta que la geometría interna de Kerr es inestable con respecto a las perturbaciones en la región interior. Esta inestabilidad significa que, aunque la métrica de Kerr es simétrica en el eje, un agujero negro creado mediante un colapso gravitacional puede no serlo. Esta inestabilidad también implica que muchas de las características de la geometría de Kerr descritas anteriormente pueden no estar presentes dentro de dicho agujero negro.

Una superficie en la que la luz puede orbitar un agujero negro se llama esfera de fotones. La solución Kerr tiene infinitamente muchas esferas de fotones, que se encuentran entre una interior y una exterior. En la solución no rotativa Schwarzschild, con a = 0, las esferas fotones internas y externas degeneran, de modo que sólo hay una esfera de fotones en un solo radio. Cuanto mayor sea el giro de un agujero negro, más lejos de uno del otro se mueven las esferas fotones internas y externas. Un rayo de luz que viaja en una dirección opuesta a la vuelta del agujero negro orbitará circularmente el agujero en la esfera del fotón exterior. Un rayo de luz que viaja en la misma dirección que la columna del agujero negro orbitará circularmente en la esfera de fotones interior. La geodésica orbitante con algún impulso angular perpendicular al eje de rotación del agujero negro orbitará sobre las esferas fotones entre estos dos extremos. Debido a que la hora espacial está girando, tales órbitas exhiben una precesión, ya que hay un cambio en el φ φ {displaystyle phi ,} variable después de completar un período en el Silencio Silencio {displaystyle theta ,} variable.

Ecuaciones de trayectoria

Las ecuaciones de movimiento para las partículas de prueba en la hora espacial Kerr se rigen por cuatro constantes de movimiento. La primera es la masa invariante μ μ {displaystyle mu } de la partícula de prueba, definida por la relación

− − μ μ 2=pα α gα α β β pβ β ,{displaystyle -mu ^{2}=p^{alpha }g_{alpha beta }p^{beta }

pα α {displaystyle p^{alpha }

E{displaystyle E}

Lz{displaystyle L_{z}

E=− − pt,{displaystyle E=-p_{t},}

Lz=pφ φ {displaystyle L_{z}=p_{phi }

Usando la teoría Hamilton-Jacobi, Brandon Carter mostró que existe una cuarta constante de movimiento, Q{displaystyle Q}, ahora referido como la constante Carter. Está relacionado con el impulso angular total de la partícula y es dado por

Q=pSilencio Silencio 2+#2⁡ ⁡ Silencio Silencio ()a2()μ μ 2− − E2)+()Lzpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio )2).{displaystyle Q=p_{theta }{2}+cos ^{2}theta left(a^{2}left(mu ^{2}-E^{2}right)+left({frac {L_{z}{sin theta }right)^{2}right). }

Dado que hay cuatro constantes de movimiento (independientes) para los grados de libertad, las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba en el espacio-tiempo de Kerr son integrables.

Usando estas constantes de movimiento, se pueden escribir las ecuaciones de trayectoria para una partícula de prueba (usando unidades naturales de G = M = c = 1),

.. drdλ λ =± ± R()r).. dSilencio Silencio dλ λ =± ± .. ()Silencio Silencio ).. dφ φ dλ λ =− − ()aE− − Lzpecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio )+aΔ Δ P()r).. dtdλ λ =− − a()aEpecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio − − Lz)+r2+a2Δ Δ P()r){displaystyle {begin{aligned} Sigma {frac {dr}{dlambda ♪♪♪ Sigma {frac {dtheta }{dlambda {fnMicrosoft Sans Serif}\\fnMicrosoft Sans Serif}\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} Sigma {frac {dfi}{dlambda {fn} {fn} {fn} {fn} {fn0}Theta}}}}right)+{frac {fn}{f}{f}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnK}}}}} {fnfnfnfnf}}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Delta. Sigma {frac {dt}{dlambda } {=-aleft(aEsin ^{2}theta -L_{z}right)+{frac {r^{2}+a^{2}{2}{2}{f} {f}}{f} Delta.

• .. ()Silencio Silencio )=Q− − #2⁡ ⁡ Silencio Silencio ()a2()μ μ 2− − E2)+Lz2pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle Theta (theta)=Q-cos ^{2}theta left(a^{2}left(mu ^{2}-E^{2}right)+{frac {L_{z}{2}{sin ^{2}theta}right)}
• P()r)=E()r2+a2)− − aLz{displaystyle P(r)=Eleft(r^{2}+a^{2}right)-aL_{z}
• R()r)=P()r)2− − Δ Δ ()μ μ 2r2+()Lz− − aE)2+Q){displaystyle R(r)=P(r)^{2}-Delta left(mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Qright)}

¿Dónde? λ λ {displaystyle lambda } es un parámetro affine tal que dxα α dλ λ =pα α {displaystyle {frac {dx^{alpha }{dlambda }=p^{alpha }. En particular, cuando 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">μ μ ■0{displaystylemu }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67319256f71b2ecddcb2a1f2a58bef0494135e62" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.663ex; height:2.676ex;"/> el parámetro affine λ λ {displaystyle lambda }, está relacionado con el tiempo adecuado τ τ {displaystyle tau } a través de λ λ =τ τ /μ μ {displaystyle lambda =tau /mu }.

Debido al efecto de tracción del marco, un observador de momento cero-angular (ZAMO) está corotizando con la velocidad angular Ω Ω {displaystyle Omega } que se define con respecto al tiempo de coordenadas del contable t{displaystyle t}. La velocidad local v{displaystyle v} de la partícula de prueba se mide en relación con una sonda corotizante Ω Ω {displaystyle Omega }. La relación de tiempo gravitacional entre un ZAMO fijo r{displaystyle r} y un observador estacionario lejos de la misa

tτ τ =()a2+r2)2− − a2Δ Δ pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio Δ Δ .. .{displaystyle {frac}{tau} }={2}right)^{2}-a^{2}Theta } {Delta \Sigma}}}}

x.. +iSí... =4iMar.. 2W[xÍ Í +iSí.Í Í − − x+iSí.rrÍ Í ]− − M()x+iSí.)()4r2.. − − 1)C− − a2W2r.. 2{displaystyle {ddot {x}+i{ddot {y}=4iMa{frac} {fnK} {fnK}} ¿Qué? ¿Qué? Sigma. Sigma

z.. =− − Mz()4r2.. − − 1)Cr.. 2{displaystyle {ddot {}=-Mzleft({frac {4r^{2}{Sigma }}}-1right){frac {C} {rSigma }}}

C{displaystyle C}

W{displaystyle W.

C=pSilencio Silencio 2+()aEpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio − − Lzpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio )2{displaystyle C=p_{theta }{2}+left(aEsin {theta {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans}}} {fnMicroc} {fnMicroc {f}}} {fnMicroc}} {fn}}}} {f}f}f}f}fnfnfnfnfnf}fnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnMicrocfn}fnfnfnMicrocfnfn}fnfnfn}fnfnfnfnfn}fnfn}f}fn - Sí.

W=tÍ Í − − apecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio φ φ Í Í {displaystyle ¿Qué? }

Si nos fijamos a=0{displaystyle a=0}, la geodésica Schwarzschild se restaura.

Simetrías

El grupo de isometrías de la métrica de Kerr es el subgrupo del grupo decadimensional de Poincaré que toma el lugar bidimensional de la singularidad para sí mismo. Conserva las traslaciones temporales (una dimensión) y las rotaciones alrededor de su eje de rotación (una dimensión). Por tanto tiene dos dimensiones. Al igual que el grupo Poincaré, tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente que invierte el tiempo y la longitud; el componente que se refleja a través del plano ecuatorial; y el componente que hace ambas cosas.

En física, las simetrías suelen asociarse con constantes de movimiento conservadas, de acuerdo con el teorema de Noether. Como se muestra arriba, las ecuaciones geodésicas tienen cuatro cantidades conservadas: una de las cuales proviene de la definición de geodésica y dos surgen de la simetría de rotación y traslación del tiempo de la geometría de Kerr. La cuarta cantidad conservada no surge de una simetría en el sentido estándar y comúnmente se la denomina simetría oculta.

Over Extreme Kerr solutions

La ubicación del horizonte de eventos está determinada por la raíz más grande de Δ Δ =0{displaystyle Delta =0}. Cuando <math alttext="{displaystyle r_{text{s}}/2rs/2.a{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle r_{text{s}}/2 (i.e. <math alttext="{displaystyle GM^{2}GM2.Jc{displaystyle GM^{2}<img alt="GM^{2}), no hay (valor real) soluciones a esta ecuación, y no hay horizonte de eventos. Sin horizontes de eventos para ocultarlo del resto del universo, el agujero negro deja de ser un agujero negro y será en cambio una singularidad desnuda.

Los agujeros negros de Kerr como agujeros de gusano

Aunque la solución Kerr parece ser singular en las raíces de Δ = 0, en realidad se coordinan singularidades, y, con una elección adecuada de nuevas coordenadas, la solución Kerr puede ampliarse sin problemas a través de los valores de r{displaystyle r} correspondiente a estas raíces. El mayor de estas raíces determina la ubicación del horizonte del evento, y el menor determina la ubicación de un horizonte de Cauchy. Una curva (dirigida por el futuro) puede comenzar en el exterior y pasar por el horizonte del evento. Una vez pasado por el horizonte del evento, r{displaystyle r} la coordinación ahora se comporta como una coordinación temporal, por lo que debe disminuir hasta que la curva pase por el horizonte Cauchy.

La región más allá del horizonte de Cauchy tiene varias características sorprendentes. El r{displaystyle r} coordinar de nuevo se comporta como una coordinación espacial y puede variar libremente. La región interior tiene una simetría de reflexión, de modo que una curva (como el tiempo dirigido por el futuro) pueda continuar por un camino simétrico, que continúa a través de un segundo horizonte Cauchy, a través de un segundo horizonte de eventos, y hacia una nueva región exterior que es isométrica a la región exterior original de la solución Kerr. La curva podría entonces escapar al infinito en la nueva región o entrar en el futuro horizonte de eventos de la nueva región exterior y repetir el proceso. Este segundo exterior se piensa a veces como otro universo. Por otro lado, en la solución Kerr, la singularidad es un anillo, y la curva puede pasar por el centro de este anillo. La región más allá permite curvas cerradas de tiempo. Dado que la trayectoria de observadores y partículas en la relatividad general se describe por curvas de tiempo, es posible que los observadores de esta región regresen a su pasado. Esta solución interior no es probable que sea física y considerada como un artefacto puramente matemático.

Si bien se espera que la región exterior de la solución de Kerr sea estable y que todos los agujeros negros en rotación eventualmente se acerquen a una métrica de Kerr, la región interior de la solución parece ser inestable, muy parecida a un lápiz en equilibrio sobre su punta.. Esto está relacionado con la idea de censura cósmica.

Relación con otras soluciones exactas

La geometría de Kerr es un ejemplo particular de una solución de vacío estacionaria axialmente simétrica para la ecuación de campo de Einstein. La familia de todas las soluciones de vacío estacionarias axialmente simétricas de la ecuación de campo de Einstein son los vacíos de Ernst.

La solución de Kerr también está relacionada con varias soluciones sin vacío que modelan los agujeros negros. Por ejemplo, el electrovacío de Kerr-Newman modela un agujero negro (giratorio) dotado de una carga eléctrica, mientras que el polvo nulo de Kerr-Vaidya modela un agujero (giratorio) con radiación electromagnética entrante.

El caso especial a=0{displaystyle a=0} de la métrica Kerr produce la métrica Schwarzschild, que modela un no rotación agujero negro que es estático y esféricamente simétrico, en las coordenadas Schwarzschild. (En este caso, cada momento de Geroch, pero la masa desaparece.)

El interior de la geometría de Kerr, o más bien una parte de ella, es localmente isométrico al vacío Chandrasekhar-Ferrari CPW, un ejemplo de modelo de onda plana en colisión. Esto es particularmente interesante, porque la estructura global de esta solución CPW es bastante diferente de la de la geometría de Kerr y, en principio, un experimentador podría esperar estudiar la geometría de (la porción exterior de) el interior de Kerr disponiendo la colisión de dos ondas planas gravitacionales adecuadas.

Momentos multipolares

Cada vacío de Ernst asintóticamente plano se puede caracterizar dando la secuencia infinita de momentos multipolares relativistas, los dos primeros de los cuales pueden interpretarse como la masa y el momento angular de la fuente del campo. Existen formulaciones alternativas de momentos multipolares relativistas debidas a Hansen, Thorne y Geroch, que resultan concordar entre sí. Hansen calculó los momentos multipolares relativistas de la geometría de Kerr; resultan ser

Mn=M[ia]n{displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}