Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW;) es una métrica basada en la solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general. La métrica describe un universo homogéneo, isotrópico, en expansión (o en contracción) que está conectado por trayectorias, pero no necesariamente simplemente conectado. La forma general de la métrica se deriva de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía; Las ecuaciones de campo de Einstein sólo son necesarias para derivar el factor de escala del universo en función del tiempo. Dependiendo de las preferencias geográficas o históricas, el conjunto de los cuatro científicos (Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard P. Robertson y Arthur Geoffrey Walker) se agrupan de diversas formas como Friedmann, Friedmann-Robertson-Walker. (FRW), Robertson–Walker (RW), o Friedmann–Lemaître (FL). Este modelo a veces se denomina modelo estándar de la cosmología moderna, aunque dicha descripción también está asociada con el modelo Lambda-CDM más desarrollado. El modelo FLRW fue desarrollado de forma independiente por los autores mencionados en las décadas de 1920 y 1930.

Métrica general

La métrica FLRW comienza con el supuesto de homogeneidad e isotropía del espacio. También supone que el componente espacial de la métrica puede depender del tiempo. La métrica genérica que cumple estas condiciones es

− − c2dτ τ 2=− − c2dt2+a()t)2d.. 2{displaystyle - ¿Qué? {Sigma}

Donde .. {displaystyle mathbf {Sigma} abarca un espacio tridimensional de curvatura uniforme, es decir, espacio elíptico, espacio euclidiano o espacio hiperbólico. Normalmente se escribe como función de tres coordenadas espaciales, pero hay varias convenciones para hacerlo, detalladas a continuación. d.. {displaystyle mathrm {d} mathbf {Sigma } no depende de t – todo el tiempo la dependencia está en la función a()t), conocido como el "factor de escala".

Coordenadas polares de circunferencia reducida

En coordenadas polares de circunferencia reducida, la métrica espacial tiene la forma

d.. 2=dr21− − kr2+r2dΩ Ω 2,DondedΩ Ω 2=dSilencio Silencio 2+pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio dφ φ 2.{displaystyle mathrm {d} mathbf {Sigma} {fnMicroc {fnMicrosoft} {2}} {m}m}m}m}m}m}mhm}mhm {} {m} } } } } } } {m}m}mh00}mhm {d} mathbf {Ohmega } ^{2}=mathrm {d} theta ^{2}+sin ^{2}theta ,mathrm {d}.

k es una constante que representa la curvatura del espacio. Hay dos convenciones de unidades comunes:

• k se puede tomar para tener unidades de longitud⁻², en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a()t) es sin unidad. k es entonces la curvatura gaisiana del espacio en el momento en que a()t) = 1. r a veces se llama la circunferencia reducida porque es igual a la circunferencia medida de un círculo (a ese valor de r), centrado en el origen, dividido por 2π (como el r de las coordenadas Schwarzschild). Cuando proceda, a()t) es a menudo elegido para igualar 1 en la era cosmológica actual, de modo que d.. {displaystyle mathrm {d} mathbf {Sigma } medidas comoving distance.
• Alternativamente, k puede ser tomado para pertenecer al conjunto {−10, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva respectivamente). Entonces... r no tiene unidad a()t) tiene unidades de longitud. Cuando k = ±1, a()t) es el radio de curvatura del espacio, y también puede ser escrito R()t).

Una desventaja de las coordenadas de circunferencia reducida es que cubren solo la mitad de las 3 esferas en el caso de curvatura positiva; las circunferencias más allá de ese punto comienzan a disminuir, lo que lleva a la degeneración. (Esto no es un problema si el espacio es elíptico, es decir, una esfera de 3 con puntos opuestos identificados).

Coordenadas hiperesféricas

En coordenadas hiperesféricas o normalizadas por curvatura, la coordenada r es proporcional a la distancia radial; esto da

d.. 2=dr2+Sk()r)2dΩ Ω 2{displaystyle mathrm {d} mathbf {Sigma} {2}=mhm} r^{2}+S_{k}(r)^{2},mathrm {d} mathbf {Omega } ^{2}

Donde dΩ Ω {displaystyle mathrm {d} mathbf {Omega } es como antes y

0\r,&k=0\{sqrt {|k|}}^{,-1}sinh(r{sqrt {|k|}}),&kSk()r)={}k− − 1pecado⁡ ⁡ ()rk),k■0r,k=0SilenciokSilencio− − 1pecado⁡ ⁡ ()rSilenciokSilencio),k.0.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}}}f}f}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft SanscfnMicrosoft SanscfnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans Serif} 0 \ r, &k = 0 \ sqrt{|k|}^{,-1} sinh (r sqrt{|k|}), &k

Como antes, existen dos convenciones de unidades comunes:

• k se puede tomar para tener unidades de longitud⁻², en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a()t) es sin unidad. k es entonces la curvatura gaisiana del espacio en el momento en que a()t) = 1. Cuando proceda, a()t) es a menudo elegido para igualar 1 en la era cosmológica actual, de modo que d.. {displaystyle mathrm {d} mathbf {Sigma } medidas comoving distance.
• Alternativamente, como antes, k puede ser tomado para pertenecer al conjunto {−10, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva respectivamente). Entonces... r no tiene unidad a()t) tiene unidades de longitud. Cuando k = ±1, a()t) es el radio de curvatura del espacio, y también puede ser escrito R()t). Note que cuando k = +1, r es esencialmente un tercer ángulo junto con Silencio y φ. La carta χ puede ser utilizado en lugar der.

Aunque normalmente se define por partes como antes, S es una función analítica tanto de k como de r. También se puede escribir como una serie de potencias.

Sk()r)=.. n=0JUEGO JUEGO ()− − 1)nknr2n+1()2n+1)!=r− − kr36+k2r5120− − ⋯ ⋯ {displaystyle S_{k}(r)=sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}{(2n+1)}=r-{frac}=r-{frac} {kr^{3}{6}+{frac} {k^{2}r^{5} {120}-cdots }

o como

Sk()r)=rsinc()rk),{displaystyle S_{k}(r)=r;mathrm {sinc} ,(r{sqrt {k}}),}

donde el sinc es la función sinc normalizada k{displaystyle {sqrt {k}} es una de las raíces imaginarias, cero o verdaderas cuadradas k. Estas definiciones son válidas para todosk.

Coordenadas cartesianas

Cuando k = 0 se puede escribir simplemente

d.. 2=dx2+dSí.2+dz2.{displaystyle mathrm {d} mathbf {Sigma } ^{2}=mathrm {d} x^{2}+mathrm {d} y^{2}+mathrm {d} z^{2}

Esto se puede extender a k ≠ 0 definiendo

x=r#⁡ ⁡ Silencio Silencio {displaystyle x=rcos theta ,},

Sí.=rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ {displaystyle y=rsin theta cos phi ,}, y

z=rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ {displaystyle z=rsin theta sin phi ,},

donde r es una de las coordenadas radiales definidas anteriormente, pero esto es raro.

Curvatura

Coordenadas cartesianas

En piso ()k=0){displaystyle (k=0)} Espacio FLRW usando coordenadas cartesianas, los componentes sobrevivientes del tensor Ricci son

Rtt=− − 3a.. a,Rxx=RSí.Sí.=Rzz=c− − 2()aa.. +2aÍ Í 2){displaystyle R_{tt}=-3{frac {ddot {a}{a}},quad ¿Qué?

y el escalar de Ricci es

R=6c− − 2()a.. ()t)a()t)+aÍ Í 2()t)a2()t)).{displaystyle ¿Qué? }

Coordenadas esféricas

In more general FLRW space using spherical coordinates (called "reduced-circumference polar coordinates#34; above), the surviving components of the Ricci tensor are

Rtt=− − 3a.. a,{displaystyle R_{tt}=-3{frac {ddot {a}{a}}}}

Rrr=c− − 2()a()t)a.. ()t)+2aÍ Í 2()t))+2k1− − kr2{displaystyle ¿Qué?

RSilencio Silencio Silencio Silencio =r2()c− − 2()a()t)a.. ()t)+2aÍ Í 2()t))+2k){displaystyle R_{theta theta ¿Qué?

Rφ φ φ φ =r2()c− − 2()a()t)a.. ()t)+2aÍ Í 2()t))+2k)pecado2⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )[displaystyle R_{phiphi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){ddot {a}(t)+2{dot {a}{2}(t)2k)sin ^{2}(theta)}}

y el escalar de Ricci es

R=6()a.. ()t)c2a()t)+aÍ Í 2()t)c2a2()t)+ka2()t)).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {} {fnMicroc} {c} {} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {fnMicroc}} {}}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f} {f}}}} {f} {f} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} }

Soluciones

Las ecuaciones de campo de Einstein no se utilizan en la conducción de la forma general para la métrica: se deriva de las propiedades geométricas de la homogeneidad y la isotropía. Sin embargo, determinar la evolución del tiempo a()t){displaystyle a(t)} necesita las ecuaciones de campo de Einstein junto con una manera de calcular la densidad, *** *** ()t),{displaystyle rho (t),} como una ecuación cosmológica del estado.

Esta métrica tiene una solución analítica a las ecuaciones de campo de Einstein Gμ μ .. +▪ ▪ gμ μ .. =8π π Gc4Tμ μ .. {displaystyle G_{munu }+ Lambda g_{munu }={frac {8pi G} {c^{4}}T_{munu}} dar a las ecuaciones Friedmann cuando el tensor de energía-momentum se asume igualmente como isotrópico y homogéneo. Las ecuaciones resultantes son:

()aÍ Í a)2+kc2a2− − ▪ ▪ c23=8π π G3*** *** {displaystyle left({frac {dot {}{a}}right)^{2}+{frac} {kc^{2}{a^{2}} {frac} {fnMicroc {8fnK} {fnMicroc {8fnMicroc} {fnK}} {f}}} {fn}} {fnK}} {fnK}}} {fn}}}} {\fnK}}}}}}}}\fnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnfnfnfnfnfnfnKfnKfnfnKfnfnfnfnfnKfnfnfnKfnfnKfnKfnfnfnfnKfnK}}}}}}}fn G} {3}rho }

2a.. a+()aÍ Í a)2+kc2a2− − ▪ ▪ c2=− − 8π π Gc2p.{displaystyle 2{frac {ddot {fnh}fnunci}nhnh}nhnh}nhnh)} {fnunci}nnMic} {kc^{2}{a^{2}} Lambda c^{2}=-{frac {8pi G}{c^{2}}p.}

Estas ecuaciones son la base del modelo cosmológico estándar del Big Bang, incluido el modelo actual ΛCDM. Debido a que el modelo FLRW supone homogeneidad, algunas explicaciones populares afirman erróneamente que el modelo del Big Bang no puede explicar la irregularidad observada en el universo. En un modelo estrictamente FLRW, no hay cúmulos de galaxias o estrellas, ya que se trata de objetos mucho más densos que una parte típica del universo. No obstante, el modelo FLRW se utiliza como una primera aproximación a la evolución del universo real y desigual porque es sencillo de calcular, y los modelos que calculan la irregularidad del universo se añaden a los modelos FLRW como extensiones. La mayoría de los cosmólogos están de acuerdo en que el universo observable se aproxima bien mediante un modelo casi FLRW, es decir, un modelo que sigue la métrica FLRW independientemente de las fluctuaciones de densidad primordial. A partir de 2003, las implicaciones teóricas de las diversas extensiones del modelo FLRW parecen entenderse bien, y el objetivo es hacerlas consistentes con las observaciones de COBE y WMAP.

Si el espacio-tiempo es conexo múltiple, entonces cada evento estará representado por más de una tupla de coordenadas.

Interpretación

El par de ecuaciones dadas arriba es equivalente al siguiente par de ecuaciones

*** *** Í Í =− − 3aÍ Í a()*** *** +pc2){displaystyle { dot} }=-3{frac {dot {}{a}left(rho +{frac} {p}{c^{2}}right)}

a.. a=− − 4π π G3()*** *** +3pc2)+▪ ▪ c23{displaystyle {frac {ddot {a}{a}=-{frac {4pi} G} {3}}left(rho +{frac {3p}{2}right)+{frac {Lambda c^{2}{3}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {f}}

con k{displaystyle k}, el índice de curvatura espacial, sirviendo como una constante de integración para la primera ecuación.

La primera ecuación puede derivarse también de consideraciones termodinámicas y es equivalente a la primera ley de la termodinámica, asumiendo que la expansión del universo es un proceso adiabático (que se asume implícitamente en la derivación de la ley de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker). métrico).

La segunda ecuación afirma que tanto la densidad energética como la presión causan la tasa de expansión del universo aÍ Í {displaystyle { dot {}}} disminuir, es decir, ambos causan una desaceleración en la expansión del universo. Esta es una consecuencia de la gravedad, con la presión que juega un papel similar al de la densidad de energía (o masa), según los principios de la relatividad general. La constante cosmológica, por otro lado, provoca una aceleración en la expansión del universo.

Constante cosmológica

El término constante cosmológica se puede omitir si realizamos los siguientes reemplazos

*** *** → → *** *** − − ▪ ▪ c28π π G{displaystyle rho rightarrow rho - {frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif}}}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fn}} {fnMicros}} {fnMicrosoft}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\fnMis}f}fnMis}fnMis}fn}f}cfnfnfn}fnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnKfn}fnKfnfnKfnfnfn G}

p→ → p+▪ ▪ c48π π G.{displaystyle prightarrow p+{frac # Lambda c^{4}{8pi} G}}

Por lo tanto, se puede interpretar que la constante cosmológica surge de una forma de energía que tiene una presión negativa, igual en magnitud a su densidad de energía (positiva):

p=− − *** *** c2{displaystyle p=-rho c^{2},}

que es una ecuación de estado de vacío con energía oscura.

Un intento de generalizar esto a

p=w*** *** c2{displaystyle p=wrho c^{2},}

no tendría invariancia general sin modificaciones adicionales.

De hecho, para obtener un término que provoque una aceleración de la expansión del universo, basta con tener un campo escalar que satisfaga

<math alttext="{displaystyle pp.− − *** *** c23.{fnMicrosoft Sans Serif}}<img alt="p

Este campo a veces se llama quintaesencia.

Interpretación newtoniana

Esto se debe a McCrea y Milne, aunque a veces se atribuye incorrectamente a Friedmann. Las ecuaciones de Friedmann son equivalentes a este par de ecuaciones:

− − a3*** *** Í Í =3a2aÍ Í *** *** +3a2paÍ Í c2{displaystyle - ¿Qué? - ¿Qué? +{frac {3a^{2}p{dot {a}} {c^{2}},}

aÍ Í 22− − G4π π a33*** *** a=− − kc22.{fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\fnMicrosoftfnMicrosoft {\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\ {a}} {2}{2}} {frac} [G{frac {4pi a^{3}{3}rho }=-{frac {kc^{2}{2},}

La primera ecuación dice que la disminución de la masa contenida en un cubo fijo (cuyo lado es momentáneamente a) es la cantidad que sale por los lados debido a la expansión del universo más la masa equivalente al trabajo realizado por presión contra el material que se expulsa. Ésta es la conservación de la masa-energía (primera ley de la termodinámica) contenida dentro de una parte del universo.

La segunda ecuación dice que la energía cinética (vista desde el origen) de una partícula de masa unitaria que se mueve con la expansión más su energía potencial gravitacional (negativa) (en relación con la masa contenida en la esfera de materia más cercana al origen) es igual a una constante relacionada con la curvatura del universo. En otras palabras, la energía (relativa al origen) de una partícula en movimiento conjunto en caída libre se conserva. La relatividad general simplemente añade una conexión entre la curvatura espacial del universo y la energía de dicha partícula: la energía total positiva implica una curvatura negativa y la energía total negativa implica una curvatura positiva.

Se supone que el término constante cosmológica se trata como energía oscura y, por lo tanto, se fusiona con los términos de densidad y presión.

Durante la época de Planck, no se pueden descuidar los efectos cuánticos. Por tanto, pueden provocar una desviación de las ecuaciones de Friedmann.

Nombre e historia

El matemático soviético Alexander Friedmann obtuvo por primera vez los principales resultados del modelo FLRW en 1922 y 1924. Aunque la prestigiosa revista de física Zeitschrift für Physik publicó su trabajo, pasó relativamente desapercibido para sus contemporáneos. Friedmann estaba en comunicación directa con Albert Einstein, quien, en nombre de Zeitschrift für Physik, actuó como árbitro científico del trabajo de Friedmann. Finalmente, Einstein reconoció la exactitud de los cálculos de Friedmann, pero no supo apreciar el significado físico de sus predicciones.

Friedmann murió en 1925. En 1927, Georges Lemaître, un sacerdote belga, astrónomo y profesor periódico de física en la Universidad Católica de Lovaina, llegó de forma independiente a resultados similares a los de Friedmann y los publicó en los Annales de la Société Scientifique de Bruxelles (Anales de la Sociedad Científica de Bruselas). Frente a las pruebas observacionales de la expansión del universo obtenidas por Edwin Hubble a finales de la década de 1920, los resultados de Lemaître fueron notados en particular por Arthur Eddington, y en 1930-1931 el artículo de Lemaître se tradujo al Inglés y publicado en Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.

Howard P. Robertson, de EE. UU., y Arthur Geoffrey Walker, del Reino Unido, exploraron más a fondo el problema durante la década de 1930. En 1935, Robertson y Walker demostraron rigurosamente que la métrica FLRW es la única en un espacio-tiempo que es espacialmente homogénea e isotrópica (como se señaló anteriormente, este es un resultado geométrico y no está ligado específicamente a las ecuaciones de la relatividad general, que siempre se supusieron). por Friedmann y Lemaître).

Esta solución, a menudo llamada métrica de Robertson-Walker ya que demostraron sus propiedades genéricas, es diferente de la solución dinámica "Friedmann-Lemaître" modelos, que son soluciones específicas para a(t) que suponen que las únicas contribuciones al estrés-energía son la materia fría (" polvo"), radiación y una constante cosmológica.

Einstein 's radius of the universe

El radio del universo de Einstein es el radio de curvatura del espacio del universo de Einstein, un modelo estático abandonado hace mucho tiempo que se suponía que representaba nuestro universo en forma idealizada.. Poniendo

aÍ Í =a.. =0{displaystyle { dot {}={ddot {a}=0}

in the Friedmann equation, the radius of curvature of space of this universe (Einstein 's radius) is

RE=c/4π π G*** *** ,{displaystyle R_{text{E}=c/{sqrt {4fncH00} Grho

Donde c{displaystyle c} es la velocidad de la luz, G{displaystyle G. es la constante Newtoniana de la gravedad, y *** *** {displaystyle rho } es la densidad del espacio de este universo. El valor numérico del radio de Einstein es del orden de 10¹⁰ años luz, o 10 mil millones de años luz, aunque los telescopios modernos pueden detectar objetos distantes 13 mil millones de años luz en varias direcciones.

Estado actual

El modelo estándar actual de cosmología, el modelo Lambda-CDM, utiliza la métrica FLRW. Al combinar los datos de observación de algunos experimentos como WMAP y Planck con resultados teóricos de Ehlers–Geren–Sachs teorema y su generalización, los astrofísicos ahora están de acuerdo en que el universo temprano es casi homogéneo e isotrópico (cuando se promedia a gran escala) y por lo tanto casi un FLRW espacio. Dicho esto, los intentos de confirmar la interpretación puramente cinemática del dipolo del Fondo de Microondas Cósmicas a través de estudios de galaxias radiales y cuásares muestran desacuerdo en la magnitud. Tomadas a valor nominal, estas observaciones están en desacuerdo con el Universo descrito por la métrica FLRW. Además, se puede argumentar que hay un valor máximo para la constante Hubble dentro de una cosmología FLRW tolerada por las observaciones actuales, H0=71± ± 1{displaystyle H_{0}=71pm 1} km/s/Mpc, y dependiendo de cómo convergen las determinaciones locales, esto puede apuntar a un colapso de la métrica FLRW en el universo tardío, necesitando una explicación más allá de la métrica FLRW.