Métodos explícitos e implícitos.

Métodos explícitos e implícitos son enfoques utilizados en el análisis numérico para obtener aproximaciones numéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales normales y parciales dependientes del tiempo, como se requiere en simulaciones de ordenador de procesos físicos. Métodos de expulsión calcular el estado de un sistema en un momento posterior del estado del sistema en el momento actual, mientras métodos implícitos encontrar una solución resolviendo una ecuación que implica tanto el estado actual del sistema como el posterior. Matemáticamente, si ${\displaystyle Y(t)}$ es el estado actual del sistema y ${\displaystyle Y(t+\Delta t)}$ es el estado en el momento posterior (${\displaystyle \Delta t}$ es un pequeño paso del tiempo), entonces, para un método explícito

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t)\,}$

mientras que para un método implícito se resuelve una ecuación

${\displaystyle G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big)}=0\qquad (1)\,}$

encontrar ${\displaystyle Y(t+\Delta t).}$

Cálculo

Los métodos implícitos requieren un cálculo adicional (solviendo la ecuación anterior), y pueden ser mucho más difíciles de implementar. Los métodos implícitos se utilizan porque muchos problemas que surgen en la práctica son rígidos, para los cuales el uso de un método explícito requiere pasos de tiempo impractamente pequeños ${\displaystyle \Delta t}$ para mantener el error en el resultado atado (ver estabilidad numérica). Para estos problemas, para lograr una precisión dada, toma mucho menos tiempo computacional para utilizar un método implícito con pasos de tiempo más grandes, incluso teniendo en cuenta que uno necesita resolver una ecuación de la forma (1) en cada paso del tiempo. Dicho esto, si uno debe utilizar un método explícito o implícito depende del problema a resolver.

Dado que el método implícito no se puede aplicar para cada tipo de operador diferencial, a veces es aconsejable hacer uso del llamado método de división de operadores, lo que significa que el operador diferencial se reescribe como la suma de dos operadores complementarios.

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,}$

mientras uno es tratado explícitamente y el otro implícitamente. Para aplicaciones habituales, se elige que el término implícito sea lineal, mientras que el término explícito puede ser no lineal. Esta combinación del método anterior se llama Método implícito-explícito (abreviado IMEX).

Ilustración utilizando los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás

Considere la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\frac {}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$

con la condición inicial ${\displaystyle y(0)=1.}$ Considere una cuadrícula ${\displaystyle T_{k}=a{\frac {k} {n}}$ para 0 ≤ k ≤ n, es decir, el paso del tiempo es ${\displaystyle \Delta t=a/n,}$ y denotaciones ${\displaystyle Y...$ para cada uno ${\displaystyle k}$. Discreta esta ecuación utilizando los métodos más simples explícitos e implícitos, que son los Euler y Euler métodos (ver ecuaciones diferenciales normales numéricas) y comparar los esquemas obtenidos.

Forward Euler method

El método directo de Euler

${\displaystyle \left({\frac {y} {dt}\right)_{k}\approx {\fnK} {\fnMicroc {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\f}} {\fnMicroc}}} {\fnK}} {\fnMicroc {\f} {\fnMicroc {\f}} {\fnMicroc} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}\f}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\f}\f}\fn\\fn\fnK\f}\fn\f}\fn\fn\\fnK\fn\fn\fn\fn\fn\fnK\fn\fnK\fn\fnK\fn\fnK\f}\\fnK\ Delta - Sí.$

rendimiento

${\displaystyle Y... Delta Ty_{k} {2}\quad \quad \quad (3)\,}$

para cada uno ${\displaystyle k=0,1,\dotsn.}$ Esta es una fórmula explícita ${\displaystyle Y...$.

Backward Euler method

Con el método de Euler hacia atrás

${\fnMicroc} {y_{k+1}-y_{k} {\cH00} {\cH00} {\cH00} {\cH00}} {\cH00}}} {\cH00}}} {\cH00}}}}}} {\cH}}}}}}} {\c\cH}} {\cH}}}}}}}}} {\\\\\\cH}}}}}}}} {\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Delta .$

se encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle Y... Delta Ty_{k+1} {2}=y_{k}$

para ${\displaystyle Y...$ (compare esto con la fórmula (3) donde ${\displaystyle Y...$ se dio explícitamente más que como un desconocido en una ecuación).

Esta es una ecuación cuadrática, teniendo una raíz negativa y positiva. La raíz positiva es escogida porque en la ecuación original la condición inicial es positiva, y luego ${\displaystyle y}$ en la próxima etapa se da por

${\displaystyle Y... {-1+{\sqrt {1+4\Delta {}} {2\Delta t}\quad \quad (4)}$

En la gran mayoría de los casos, la ecuación a resolver cuando se utiliza un esquema implícito es mucho más complicada que una ecuación cuadrática y no existe una solución analítica. Luego se utilizan algoritmos de búsqueda de raíces, como el método de Newton, para encontrar la solución numérica.

Método Crank-Nicolson

Con el método Crank-Nicolson

${\fnMicroc} {y_{k+1}-y_{k} {\cH00} {\cH00} {\cH00} {\cH00}} {\cH00}}} {\cH00}}} {\cH00}}}}}} {\cH}}}}}}} {\c\cH}} {\cH}}}}}}}}} {\\\\\\cH}}}}}}}} {\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Delta t}=-{\frac {1}{2}y_{k+1}{2}-{\frac {1} {2}y_{k} {2}} {2}}$

se encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle Y... {1}{2}\Delta Ty_{k+1} {2}=y_{k}-{\frac {1}{2}\Delta ty_{k}}} {2}}\Delta ty_{k}}} {\c}}}} {\c}}}} {\c}} {\c}} {\c}}}}}}}}}\Delta ty_{k} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\Delta}}}}}}}}}}}}}}}}} {\Delta}}}}}}}}}}}}\Delta\Deltat}}}}}}}}}}}}}}} {\Delta\Deltat}} {\Deltat}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\Deltat}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\Delta$

para ${\displaystyle Y...$ (compare esto con la fórmula (3) donde ${\displaystyle Y...$ se dio explícitamente más que como un desconocido en una ecuación). Esto se puede resolver numéricamente usando algoritmos de determinación de raíces, como el método de Newton, para obtener ${\displaystyle Y...$.

Crank-Nicolson puede verse como una forma de esquemas IMEX (In

Método Euler de futuro

Para aplicar el esquema IMEX, considere una ecuación diferencial ligeramente diferente:

${\displaystyle {\frac {y}=y-y},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$

Se deduce que

${\displaystyle \left({\frac {y} {dt}\right)_{k}\approx Y...$

y por lo tanto

${\displaystyle Y... {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}\quad \quad (6)}$

para cada uno ${\displaystyle k=0,1,\dotsn.}$