Método Rayleigh-Ritz

El método de Rayleigh-Ritz es un método numérico directo para aproximar valores propios, originado en el contexto de la resolución de problemas de valores límite físicos y que lleva el nombre de Lord Rayleigh y Walther Ritz.

Se utiliza en todas las aplicaciones que implican la aproximación de valores propios y vectores propios, a menudo con nombres diferentes. En mecánica cuántica, donde un sistema de partículas se describe mediante un hamiltoniano, el método de Ritz utiliza funciones de onda de prueba para aproximar la función propia del estado fundamental con la energía más baja. En el contexto del método de elementos finitos, matemáticamente el mismo algoritmo se denomina comúnmente método de Ritz-Galerkin. La terminología del método Rayleigh-Ritz o del método Ritz es típica en ingeniería mecánica y estructural para aproximar los modos propios y las frecuencias resonantes de una estructura.

Denominación y atribución

El nombre Rayleigh–Ritz está siendo debatido frente al método Ritz en honor a Walther Ritz, ya que el procedimiento numérico fue publicado por Walther Ritz en 1908-1909. Según A. W. Leissa, Lord Rayleigh escribió un artículo felicitando a Ritz por su trabajo en 1911, pero afirmando que él mismo había utilizado el método de Ritz en muchos lugares de su libro y en otra publicación. Esta afirmación, aunque posteriormente cuestionada, y el hecho de que el método en el caso trivial de un solo vector da como resultado el cociente de Rayleigh hacen que persista el discutible nombre inapropiado. Según S. Ilanko, citando a Richard Courant, tanto Lord Rayleigh como Walther Ritz concibieron de forma independiente la idea de utilizar la equivalencia entre los problemas de valores límite de ecuaciones diferenciales parciales, por un lado, y los problemas de cálculo de variaciones, por otro, para el cálculo numérico. de las soluciones, sustituyendo los problemas variacionales por problemas extremos de aproximación más simples en los que es necesario determinar un número finito de parámetros; consulte el artículo Método Ritz para obtener más detalles. Irónicamente para el debate, la justificación moderna del algoritmo abandona el cálculo de variaciones en favor del enfoque más simple y general de la proyección ortogonal como en el método de Galerkin que lleva el nombre de Boris Galerkin, lo que lleva también a la denominación del método de Ritz-Galerkin.

Para problemas de valores propios de matrices

En álgebra lineal numérica, el método de Rayleigh-Ritz se aplica comúnmente para aproximar un problema de valores propios.

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$$

${\displaystyle A\in \mathbb {C} {N\times N}$

${\displaystyle N}$

${\displaystyle m won}$

${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$

1. Computar el ${\displaystyle m\times m}$ matriz ${\displaystyle V^{*}AV}$, donde ${\displaystyle V^{*}$ denota el complejo-conjugado transpose de ${\displaystyle V}$
2. Resolver el problema de eigenvalue ${\displaystyle V^{*}AV\mathbf {y} ¿Qué?$
3. Computar los vectores Ritz ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} - Sí.$ y el valor de Ritz ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{i}=\mu ¿Qué?$
4. aproximaciones de salida ${\displaystyle ({\tilde {\lambda {\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$, llamado los pares de Ritz, a eigenvalues y eigenvectores de la matriz original ${\displaystyle A}$.

Si el subespacio con la base ortonormal dada por las columnas de la matriz ${\displaystyle V\in \mathbb {C} {N\times m}$ contiene ${\displaystyle k\leq m}$ vectores cercanos a los eigenvectores de la matriz ${\displaystyle A}$, el Método Rayleigh–Ritz arriba encontrados ${\displaystyle k}$ Ritz vectores que bien aproximan estos eigenvectores. La cantidad fácilmente computable ${\displaystyle\fnMicrosoft} }_{i}-{\tilde {\fnMicrode {\fnMicrosoft Sans Serif} }_{i}\fnción}$ determina la precisión de tal aproximación para cada par Ritz.

En el caso más fácil ${\displaystyle m=1}$, el ${\displaystyle N\times m}$ matriz ${\displaystyle V}$ se convierte en una unidad columna-vector ${\displaystyle v}$, el ${\displaystyle m\times m}$ matriz ${\displaystyle V^{*}AV}$ es un escalar que es igual al cociente Rayleigh ${\displaystyle \rho (v)=v^{*}Av/v^{*}v}$, el único ${\displaystyle i=1}$ solución al problema eigenvalue es ${\displaystyle Y...$ y ${\displaystyle \mu _{i}=\rho (v)}$, y el único vector Ritz ${\displaystyle v}$ en sí mismo. Así, el método Rayleigh-Ritz se convierte en computación del cociente Rayleigh si ${\displaystyle m=1}$.

Otra conexión útil al cociente Rayleigh es que ${\displaystyle \mu _{i}=\rho (v_{i})}$ para cada par Ritz ${\displaystyle ({\tilde {\lambda {\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$, permitiendo derivar algunas propiedades de los valores de Ritz ${\displaystyle \mu _{i}}$ de la teoría correspondiente para el cociente Rayleigh. Por ejemplo, si ${\displaystyle A}$ es una matriz hermitiana, su cociente Rayleigh (y por lo tanto su valor Ritz) es real y toma valores dentro del intervalo cerrado de los eigenvalues más pequeños y mayores de ${\displaystyle A}$.

Ejemplo

La matriz

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2 tendría0\0}}$$

${\displaystyle 1,2,3}$

$${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}0\1\\1\end{bmatrix}\quad \mathbf {x} _{\lambda =2}={\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix}\quad \mathbf {x} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}0\1\1\end{bmatrix}}$$

$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0 ventaja0\1}}}$$

$${\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2 ventaja1\1}}}$$

${\displaystyle 1,3}$

$${\displaystyle \mathbf {y} =1}={\begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix}\quad "Mathbf" =3} {\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle 1,3}$

$${\displaystyle \mathbf {\x} _{\tilde {\fnMicrode }=1}={\begin{bmatrix}0\1\\1\end{bmatrix}}\quad # Mathbf {\tilde {x} _{\tilde {\fnMicrode {\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}}$$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle V}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =3}$

Para problemas de matrices con valores singulares

Descomposición de valor singular truncado (SVD) en álgebra lineal numérica también puede utilizar el Método Rayleigh–Ritz encontrar aproximaciones a los vectores singulares izquierdo y derecho de la matriz ${\displaystyle M\in \mathbb {C} {M\times N}$ de tamaño ${\displaystyle M\times N}$ en subespacios dados convirtiendo el problema de valor singular en un problema de eigenvalue.

Usando la matriz normal

La definición del valor singular ${\displaystyle \sigma }$ y los vectores únicos izquierdo y derecho correspondientes es ${\displaystyle Mv=\sigma u$ y ${\displaystyle M^{*}u=\sigma v}$. Habiendo encontrado un conjunto (izquierda de derecha) de vectores singulares aproximados y valores singulares aplicando ingenuamente el método Rayleigh-Ritz al Hermitian matriz normal ${\displaystyle M^{*} M\in \mathbb {C} {N\times N}$ o ${\displaystyle MM^{*}\in \mathbb {C} {M\times M}$, cualquiera que sea el tamaño más pequeño, uno podría determinar el otro conjunto de izquierda de vectores singulares derecho simplemente dividiendo por los valores singulares, es decir, ${\displaystyle u=Mv/\sigma}$ y ${\displaystyle v=M^{*}u/\sigma$. Sin embargo, la división es inestable o falla en valores singulares pequeños o nulos.

Un enfoque alternativo, por ejemplo, definir la matriz normal como ${\displaystyle A=M^{*}M\in \mathbb {C} {N\times N}$ de tamaño ${\displaystyle N\times N}$, aprovecha el hecho de que para un dado ${\displaystyle N\times m}$ matriz ${\displaystyle W\in \mathbb {C}$ con columnas ortonormales el problema eigenvalue del método Rayleigh-Ritz para el ${\displaystyle m\times m}$ matriz

$${\displaystyle W^{*}AW=W^{*}MW=(MW)^{*}MW}$$

${\displaystyle N\times m}$

${\displaystyle MW.$

1. Computar el ${\displaystyle N\times m}$ matriz ${\displaystyle MW.$.
2. Computar el delgado, o el tamaño de la economía, SVD ${\displaystyle MW=\mathbf {U} \Sigma \mathbf {V} _{h},}$ con ${\displaystyle N\times m}$ matriz ${\displaystyle \mathbf {U}$, ${\displaystyle m\times m}$ matriz diagonal ${\displaystyle \Sigma$, y ${\displaystyle m\times m}$ matriz ${\displaystyle \mathbf [V]$.
3. Computar las matrices de la izquierda Ritz ${\displaystyle U=\Mathbf {U}$ y derecho ${\displaystyle V_{h}=Mathbf {\fnMicrosoft Sans Serif}$ vectores singulares.
4. aproximaciones de salida ${\displaystyle U,\SigmaV_{h}$, llamado los tripletes singulares Ritz, a valores singulares seleccionados y los vectores singulares izquierdo y derecho correspondientes de la matriz original ${\displaystyle M}$ representando una aproximada descomposición de valor singular truncado (SVD) con vectores singulares izquierdos restringidos al espacio- columna de la matriz ${\displaystyle W.$.

El algoritmo se puede utilizar como un paso post-procesamiento donde la matriz ${\displaystyle W.$ es una salida de un eigenvalue solver, por ejemplo, como LOBPCG, eigenvectores seleccionados numéricamente de la matriz normal ${\displaystyle A=M^{*}M}$.

Ejemplo

La matriz

$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1 tendría0 unos cuantos0\0 3 segundos0\0 segundos0\0 limitada0\0 limitada0\0 limitada0}}}}$$

$${\displaystyle A=M^{*}M={\begin{bmatrix}1 tendría0 ventaja0\0 correspond0\0 limitada0 implica0\0 limitada0 implica9 implica0\0\0 contorne0 contorsion0 contorsion0 16\\end{bmatrix}}$$

${\displaystyle 1,2,3,4}$

$${\displaystyle A={0\begin{bmatrix}0 tarde0}0 tarde0 {0}0}$$

${\displaystyle A}$

$${\0}0\0}0}0}0}\0}\0}\cH0} {\0} {\0}\0}}\c\0}\cH0}}\c\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\c\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\cH0\cH0} {0}0}\cH0}\cH0} {\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0}\cH0\cH0}\cH0}\cH0}\c\cH0\c\cH0\cH0\cH0}\cH0}\cH0}\cH0\cH0}\cH0\cH0\cH0}\c}\cH0}$$

Tomemos

$${\displaystyle W={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}} {2}\1/{\sqrt {2}} {2}}}}\0 golpe0\0 {bmatrix}}}$$

$${\0\0\0}}$$

Siguiendo el paso 1 del algoritmo, calculamos

$${\displaystyle MW={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}} {2}\\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0}}}}$$

${\displaystyle MW=\mathbf {U} {\Sigma [V]$

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0 limit1\1}\1 coincid0\0}\0 limit0\0\0}\0 \Sigma ={\begin{bmatrix}2 sensible0\0 recur1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {V} {h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}} {2}}\1/{\sqrt {2}}\1/{\sqrt {2}} {2}} {2}}}} {2}}}$$

${\displaystyle \Sigma$

${\displaystyle \mathbf {U}$

${\displaystyle u}$

${\displaystyle [0,1,0,0,0]}{*}$

${\displaystyle [1,0,0,0,0]$

${\displaystyle W.$

${\displaystyle W.$

Finalmente, paso 3 computa la matriz ${\displaystyle V_{h}=Mathbf {\fnMicrosoft Sans Serif}$

$${\displaystyle \mathbf {V} {h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}} {2}\1/{\sqrt {2}} {2}} {\begin{bmatrix} {\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}} {2}} {2}}}={\begin{bmatrix}0 limitada0\1}}}}}}}}}$$

${\displaystyle v}$

${\displaystyle [0,1,0,0]$

${\displaystyle [1,0,0,0]$

${\displaystyle Mv=\sigma u$

$${\0}\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\cH00\0\cH00\0}\0\0\m\b\b\b\0\0\0\m\m}\b}\0\0\m\m\m\m\b\0\b}\0\0\b}\b}\m\b\cH0\m\b\cH0}\m\cH0\cH0\cH0\b\b}\m\cH0\cH0\cH0\b}\cH00}\cH0\cH0\cH0\cH00\cH0\cH0\cH0\cH0\cH00\cH0\cH0\cH0\cH00\cH0\c$$

${\displaystyle M^{*}u=\sigma v}$

$${\0\0}\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0}\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\b0\bMatrix\s0}$$

${\displaystyle W.$

${\displaystyle W.$

${\displaystyle W.$

Notas y referencias