Método Newmark-beta

El método Newmark-beta es un método de integración numérica que se utiliza para resolver determinadas ecuaciones diferenciales. Se utiliza ampliamente en la evaluación numérica de la respuesta dinámica de estructuras y sólidos, como en el análisis de elementos finitos para modelar sistemas dinámicos. El método lleva el nombre de Nathan M. Newmark, ex profesor de ingeniería civil en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, quien lo desarrolló en 1959 para su uso en dinámica estructural. La ecuación estructural semidiscretizada es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden,

${displaystyle M{ddot ¿Qué? {ext},}$

Aquí. ${displaystyle M}$ es la matriz de masas, ${displaystyle C}$ es la matriz de amortiguación, ${displaystyle f^{textrm {int}}$ y ${displaystyle f^{textrm {ext}}$ son fuerza interna por desplazamiento unitario y fuerzas externas, respectivamente.

Usando el teorema de valor medio extendido, el Newmark-${displaystyle beta }$ método afirma que la primera vez derivada (velocidad en la ecuación del movimiento) se puede resolver como,

${displaystyle { dot {fn} {fn}= {fnK}} {fn}} {fnfn}}= {fn}}= {fn}} {fn}} {fn}}} {fnfn}}} {fnfn}}} {fnfn}}}} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}} {n}}}} {n}}} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}} {n}} {n}}} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {U}_{n}+ Delta... }$

dónde

${displaystyle {ddot {}_{gamma }=(1-gamma){ddot {u}_{n}+gamma {ddot {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn} {fn} {fn}}} {fn}} {f}}} {fn}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\\\\\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\ gamma leq 1}$

por lo tanto

${displaystyle { dot {fn} {fn}= {fnK}} {fn}} {fnfn}}= {fn}}= {fn}} {fn}} {fn}}} {fnfn}}} {fnfn}}} {fnfn}}}} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}} {n}}}} {n}}} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}} {n}} {n}}} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {u}_{n}+(1-gamma) Delta t~{ddot {u}_{n}+gamma Delta t~{ddot {u}_{n+1}$

Sin embargo, debido a que la aceleración también varía con el tiempo, el teorema del valor medio extendido también debe extenderse a la segunda derivada del tiempo para obtener el desplazamiento correcto. De este modo,

${displaystyle U_{n+1}=u_{n}+ Delta t~{dot {fn} {fn} {fn} {fnfn} {fnfnfn} {fn}} {fn}\fnfn} {fnfnfnfn} {\\fn}\\\fnfnfnfnfn}}\\fnfn}\\\\\cH00}\\\\cH00fn}\\cH00cH00fn}\\cH00cH00}\\\fn}\cH00}cH00}cH00\c}cH00\cH00cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00c}}cH00cH00cH00}c}cH {1} {2}end{matrix} Delta ## {2}{ddot {} {beta} }$

dónde otra vez

${displaystyle {ddot}_{beta }=(1-2beta){ddot {U}_{n}+2beta {ddot {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {f}} {fn}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}} {\\\n}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 2beta leq 1}$

La ecuación estructural discretizada se convierte en

${displaystyle {begin{aligned} {u}_{n+1}={dot {u}_{n}+(1-gamma) Delta t~{ddot {u}_{n}+gamma Delta t~{ddot {fn}\fn}\\fn}\cH00}\\\\\cH0}\\\\\cH00}\\\\\\\\\\cH0}}\\\\\\\\\\\\\\n}\\\\\\\\\\n}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Delta t~{dot {fn} {fn} {fn}fn}fn}\fn}\fn}\\fn}\fn} {Delta t^{2}{2}left(1-2beta){ddot {U}_{n}+2beta {ddot {u}_{n+1}right)\\\cH00\\cH00} {fn} {fn}+C{dot} {f}\f}f}f}f}f} {} {f} {f} {f} {f}f}f}f} {f} {f}} {f} {f}}}}} {f}}} {f} {f}} {f}}}} {f} {f}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}$

Explicit central difference scheme se obtiene por configuración ${displaystyle gamma =0.5}$ y ${displaystyle beta =0}$

Aceleración media constante (regla de punto medio) se obtiene por configuración ${displaystyle gamma =0.5}$ y ${displaystyle beta =0.25}$

Análisis de estabilidad

Se dice que un plan de integración temporal es estable si existe un paso del tiempo de integración ${displaystyle Delta t_{0} confía0}$ para cualquier ${displaystyle Delta tin (0,Delta t_{0}}$, una variación finita del vector estatal ${displaystyle q_{n}$ a la vez ${displaystyle T_{n}$ induce sólo una variación no creciente del vencedor estatal ${displaystyle q_{n+1}$ calculada en un momento posterior ${displaystyle t_{n+1}$. Supongamos que el plan de integración temporal es

${displaystyle q_{n+1}=A(Delta t)q_{n}+g_{n+1}(Delta t)}$

La estabilidad lineal equivale a ${displaystyle rho (A(Delta t))leq 1}$, aquí ${displaystyle rho (A(Delta t)}$ es el radio espectral de la matriz de actualización ${displaystyle A(Delta t)}$.

Para la ecuación estructural lineal

${displaystyle M{ddot {U}+C{dot {U}+Ku=f^{textrm {ext},}$

Aquí. ${displaystyle K}$ es la matriz de rigidez. Vamos. ${displaystyle q_{n}=[{dot {u}_{n},u_{n}}}$, la matriz de actualización es ${displaystyle A=H_{1}{-1}H_{0}$, y

${begin{1}={begin{bmatrix}M+gamma Delta tC pacientegamma Delta tK\beta Delta t^{2}C pacienteM+beta Delta t^{2}Kend{bmatrix}qquad H_{0}={begin{bmatrix}M-(1-gamma)Delta tC paciente-(1-gamma) Delta tK-({frac {1} {2}-beta)Delta t^{2}C+Delta tM sensiblem-({frac {1}{2}-beta)Delta t^{2}Kend{bmatrix}}end{aligned}}}}}}}}$

Para caso sin complicaciones (${displaystyle C=0}$), la matriz de actualización se puede decodificar mediante la introducción de los eigenmodes ${displaystyle u=e^{iomega ¿Qué?$ del sistema estructural, que son resueltos por el problema eigenvalue generalizado

${displaystyle omega ^{2}Mx=Kx,}$

Para cada modo propio, la matriz de actualización se convierte en

${begin{1}={begin{bmatrix}1 Delta tomega - ¿Qué? Delta t^{2}omega ¿Qué? H_{0}={begin{bmatrix}1 sensible-(1-gamma)Delta tomega ¿Por qué? Delta t^{2}omega ¿Qué?$

La ecuación característica de la matriz de actualización es

${displaystyle lambda ^{2}-left(2-(gamma +{frac {1}{2}})eta ¿Por qué? +1-(gamma -{frac {1}{2})eta ¿Por qué? ##{i}{2}={frac {omega _{i}{2}Delta t^{2}{1+beta omega ¿Qué?$

En cuanto a la estabilidad, tenemos

Explicit central difference scheme ()${displaystyle gamma =0.5}$ y ${displaystyle beta =0}$) es estable cuando ${displaystyle omega Delta tleq 2}$.

Aceleración media constante (regla de punto medio) ()${displaystyle gamma =0.5}$ y ${displaystyle beta =0.25}$) es incondicionalmente estable.