Método Minimax

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

En los sistemas de votación, el método Minimax de Condorcet (a menudo denominado método Minimax) es uno de varios métodos Condorcet que se utilizan para tabular los votos y determinar un ganador cuando se utiliza la votación clasificatoria en una elección de un solo ganador. A veces se le conoce como el método de Simpson-Kramer y el método de inversión sucesiva.

Minimax selecciona como ganador al candidato cuya mayor derrota por parejas es menor que la mayor derrota por parejas de cualquier otro candidato: o, dicho de otra manera, "el único candidato cuyo apoyo nunca cae por debajo del [N] por ciento" en cualquier contienda por parejas.

Descripción del método

El método Minimax Condorcet selecciona al candidato para el cual la mayor puntuación por pares de otro candidato contra él o ella es la menor puntuación entre todos los candidatos.

Definicion formal

Formalmente, ${displaystyle operatorname {puntuación} (X,Y)}$ denotemos la puntuación por pares a favor en $X$ contra $Y$ . Luego, el candidato, $W$ seleccionado por minimax (también conocido como el ganador) viene dado por: ${displaystyle W=arg min_{X}left(max_{Y}operatorname {puntuación} (Y,X)right)}$

Variantes de la puntuación por parejas

Cuando se permite clasificar a los candidatos por igual, o no clasificar a todos los candidatos, son posibles tres interpretaciones de la regla. Cuando los votantes deben clasificar a todos los candidatos, las tres variantes son equivalentes.

Sea el número de $d(X, Y)$ votantes que clasifican a X sobre Y. Las variantes definen la puntuación ${displaystyle operatorname {puntuación} (X,Y)}$ del candidato X frente a Y como:

El número de votantes que clasifican a X por encima de Y, pero solo cuando este puntaje excede el número de votantes que clasifican a Y por encima de X. Si no, entonces el puntaje de X contra Y es cero. Esta variante a veces se denomina votos ganadores.
- d(Y,X)\0,&{text{ más}}end{casos}}}">
El número de votantes que clasifican a X por encima de Y menos el número de votantes que clasifican a Y por encima de X. Esta variante se llama usando márgenes.
- ${displaystyle operatorname {puntuación} (X,Y):=d(X,Y)-d(Y,X)}$
El número de votantes que clasifican a X por encima de Y, independientemente de si más votantes clasifican a X por encima de Y o viceversa. Esta variante a veces se denomina oposición por pares.
- ${displaystyle operatorname {puntuación} (X,Y):=d(X,Y)}$

Cuando se usa una de las dos primeras variantes, el método se puede reformular como: "Ignore la derrota por parejas más débil hasta que un candidato quede invicto". Un candidato "invicto" posee un puntaje máximo en su contra que es cero o negativo.

Criterios satisfechos y fallidos

Minimax que utiliza votos o márgenes ganadores satisface el criterio de Condorcet y el de la mayoría, pero no el criterio de Smith, el criterio de la mayoría mutua o el criterio del perdedor de Condorcet. Cuando se utiliza ganar votos, minimax también satisface el criterio de Pluralidad. Minimax no puede satisfacer el criterio de independencia de los clones porque los clones tendrán márgenes de ganancia estrechos entre ellos; esto implica que Minimax no puede satisfacer la independencia local de alternativas irrelevantes porque tres clones pueden formar un ciclo de derrotas estrechas como ganadores del primer, segundo y tercer lugar, y eliminar al ganador del segundo lugar puede hacer que el ganador del tercer lugar sea elegido.

Cuando se utiliza la variante de oposición por pares, minimax tampoco satisface el criterio de Condorcet. Sin embargo, cuando se permite la igualdad de rango, nunca hay un incentivo para colocar al candidato de primera elección por debajo de otro en el ranking de uno. También satisface el criterio de ausencia posterior de daño, lo que significa que al enumerar preferencias más bajas adicionales en la clasificación de uno, no se puede hacer que un candidato preferido pierda.

Cuando se restringe al conjunto de Smith, como Smith/Minimax, minimax satisface el criterio de Smith y, por implicación, la mayoría mutua, la independencia de las alternativas dominadas por Smith y el criterio del perdedor de Condorcet.

Markus Schulze modificó minimax para satisfacer varios de los criterios anteriores. En comparación con Smith/Minimax, el método de pares clasificados de Nicolaus Tideman satisface adicionalmente la independencia de los clones y la independencia local de alternativas irrelevantes.

Ejemplos

Ejemplo con ganador de Condorcet

Imagine que Tennessee tiene una elección sobre la ubicación de su capital. La población de Tennessee se concentra en torno a sus cuatro ciudades principales, que están repartidas por todo el estado. Para este ejemplo, suponga que todo el electorado vive en estas cuatro ciudades y que todos quieren vivir lo más cerca posible de la capital.

Los candidatos a la capital son:

Memphis, la ciudad más grande del estado, con el 42% de los votantes, pero ubicada lejos de las demás ciudades
Nashville, con el 26% de los votantes, cerca del centro del estado
Knoxville, con el 17% de los votantes
Chattanooga, con el 15% de los votantes

Las preferencias de los votantes se dividirían así:

42% de los votantes(cerca de Memphis)	26% de los votantes(cerca de Nashville)	15% de los votantes(cerca de Chattanooga)	17% de los votantes(cerca de Knoxville)
MenfisNashvilleChattanoogaknoxville	NashvilleChattanoogaknoxvilleMenfis	ChattanoogaknoxvilleNashvilleMenfis	knoxvilleChattanoogaNashvilleMenfis

Los resultados de las puntuaciones por pares se tabularían de la siguiente manera:

	X
Menfis	Nashville	Chattanooga	knoxville
Y	Menfis		[X] 58 %[Y] 42 %	[X] 58 %[Y] 42 %	[X] 58 %[Y] 42 %
Nashville	[X] 42 %[Y] 58 %		[X] 32 %[Y] 68 %	[X] 32 %[Y] 68 %
Chattanooga	[X] 42 %[Y] 58 %	[X] 68%[Y] 32%		[X] 17 %[Y] 83 %
knoxville	[X] 42 %[Y] 58 %	[X] 68%[Y] 32%	[X] 83%[Y] 17%
Resultados de las elecciones por parejas (ganado-empatado-perdido):	0-0-3	3-0-0	2-0-1	1-0-2
Peor derrota por parejas (votos ganadores):	58%	0%	68%	83%
Peor derrota por parejas (márgenes):	dieciséis%	−16%	36%	66%
Peor oposición por parejas:	58%	42%	68%	83%

[X] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la columna al candidato que figura en el título de la fila
[Y] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la fila al candidato que figura en el título de la columna

Resultado: En las tres alternativas, Nashville tiene el valor más bajo y es elegido ganador.

Ejemplo con ganador de Condorcet que no es elegido ganador (para oposición por parejas)

Suponga tres candidatos A, B y C y votantes con las siguientes preferencias:

4% de los votantes	47% de los votantes	43% de los votantes	6% de los votantes
1. A y C	1. un	1. C	1. segundo
2. C	2. segundo	2. A y C
3. segundo	3. segundo	3. Un

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

	X
UN	B	C
Y	UN		[X] 49%[Y] 51%	[X] 43 %[Y] 47 %
B	[X] 51 %[Y] 49 %		[X] 94%[Y] 6%
C	[X] 47%[Y] 43%	[X] 6%[Y] 94%
Resultados de las elecciones por parejas (ganado-empatado-perdido):	2-0-0	0-0-2	1-0-1
Peor derrota por parejas (votos ganadores):	0%	94%	47%
Peor derrota por parejas (márgenes):	−2%	88%	4%
Peor oposición por parejas:	49%	94%	47%

[X] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la columna al candidato que figura en el título de la fila
[Y] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la fila al candidato que figura en el título de la columna

Resultado: con las alternativas ganando votos y márgenes, el ganador de Condorcet A es declarado ganador de Minimax. Sin embargo, usando la alternativa de oposición por pares, C es declarado ganador, ya que menos votantes se oponen fuertemente a él en su peor puntaje contra A que a A en su peor puntaje contra B.

Ejemplo sin ganador de Condorcet

Suponga que hay cuatro candidatos A, B, C y D. Los votantes pueden no considerar algunos candidatos (indicando un n/a en la tabla), de modo que sus boletas no se tomen en cuenta para los puntajes por pares de esos candidatos.

30 votantes	15 votantes	14 votantes	6 votantes	4 votantes	16 votantes	14 votantes	3 votantes
1. un	1. D	1. D	1. segundo	1. D	1. C	1. segundo	1. C
2. C	2. segundo	2. segundo	2. C	2. C	2. A y B	2. C	2. un
3. segundo	3. Un	3. C	3. Un	3. A y B
4. D	4. C	4. Un	4. D
	n/d re	n/a A y D	n/a B y D

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

	X
UN	B	C	D
Y	UN		[X] 35[Y] 30	[X] 43[Y] 45	[X] 33[Y] 36
B	[X] 30[Y] 35		[X] 50[Y] 49	[X] 33[Y] 36
C	[X] 45[Y] 43	[X] 49[Y] 50		[X] 33[Y] 36
D	[X] 36[Y] 33	[X] 36[Y] 33	[X] 36[Y] 33
Resultados de las elecciones por parejas (ganado-empatado-perdido):	2-0-1	2-0-1	2-0-1	0-0-3
Peor derrota por parejas (votos ganadores):	35	50	45	36
Peor derrota por parejas (márgenes):	5	1	2	3
Peor oposición por parejas:	43	50	49	36

[X] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la columna al candidato que figura en el título de la fila
[Y] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la fila al candidato que figura en el título de la columna

Resultado: Cada una de las tres alternativas da otro ganador:

la alternativa de votos ganadores elige a A como ganador, ya que tiene el valor más bajo de 35 votos para el ganador en su mayor derrota;
la alternativa de margen elige a B como ganador, ya que tiene la menor diferencia de votos en su mayor derrota;
y la oposición por pares elige al perdedor de Condorcet D como ganador, ya que tiene los votos más bajos del oponente más grande en todos los puntajes por pares.