Método galerkin

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Método para resolver problemas continuos del operador (como ecuaciones diferenciales)

En matemáticas, en el área del análisis numérico, los métodos Galerkin llevan el nombre del matemático soviético Boris Galerkin. Convierten un problema de operador continuo, como una ecuación diferencial, comúnmente en una formulación débil, en un problema discreto aplicando restricciones lineales determinadas por conjuntos finitos de funciones básicas.

A menudo, cuando se hace referencia a un método de Galerkin, también se da el nombre junto con las suposiciones típicas y los métodos de aproximación utilizados:

Método Ritz-Galerkin (después de Walther Ritz) normalmente asume forma bilineal definida simétrica y positiva en la formulación débil, donde la ecuación diferencial para un sistema físico se puede formular mediante la minimización de una función cuadrática que representa la energía del sistema y la solución aproximada es una combinación lineal del conjunto dado de las funciones de base.
Método Bubnov–Galerkin (después de Ivan Bubnov) no requiere que la forma bilineal sea simétrica y sustituya la minimización energética con restricciones de ortogonalidad determinadas por las mismas funciones de base que se utilizan para aproximar la solución. En una formulación de operador de la ecuación diferencial, el método Bubnov–Galerkin se puede ver como aplicar una proyección ortogonal al operador.
Método Petrov-Galerkin (después de Georgii I. Petrov) permite utilizar funciones de base para las restricciones de ortogonalidad (llamado Funciones de prueba) que son diferentes de las funciones de base utilizadas para aproximar la solución. El método Petrov–Galerkin se puede ver como una extensión del método Bubnov–Galerkin, aplicando una proyección que no es necesariamente ortogonal en la formulación del operador de la ecuación diferencial.

Ejemplos de métodos Galerkin son:

el método Galerkin de residuos ponderados, el método más común de calcular la matriz de rigidez global en el método de elemento finito,
el método de elemento de límite para resolver ecuaciones integrales,
Métodos subespaciales Krylov.

Ejemplo: sistema lineal matricial

Iniciamos e ilustramos el método Galerkin como aplicado a un sistema de ecuaciones lineales ${displaystyle Amathbf {x} =mathbf {b} }$ con la siguiente matriz definida simétrica y positiva

{displaystyle A={begin{bmatrix}2&0&0\0&2&1\0&1&2end{bmatrix}}}

y la solución y los vectores del lado derecho

{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}1\0\0end{bmatrix}},quad mathbf {b} ={begin{bmatrix}2\0\0end{bmatrix}}.}

Tomemos

{displaystyle V={begin{bmatrix}0&0\1&0\0&1end{bmatrix}},}

entonces la matriz de la ecuación de Galerkin es

{displaystyle V^{*}AV={begin{bmatrix}2&1\1&2end{bmatrix}},}

el vector del lado derecho de la ecuación de Galerkin es

{displaystyle V^{*}mathbf {b} ={begin{bmatrix}0\0end{bmatrix}},}

para que obtengamos el vector solución

{displaystyle mathbf {y} ={begin{bmatrix}0\0end{bmatrix}}}

a la ecuación de Galerkin ${displaystyle left(V^{*}AVright)mathbf {y} =V^{*}mathbf {b} }$ , que finalmente levantamos para determinar la solución aproximada a la ecuación original como

{displaystyle Vmathbf {y} ={begin{bmatrix}0\0\0end{bmatrix}}.}

En este ejemplo, nuestro espacio original de Hilbert es en realidad el espacio Euclideano tridimensional ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ equipado con el producto de escalar estándar ${displaystyle (mathbf {u}mathbf {v})=mathbf {u} ^{T}mathbf {v} }$ , nuestra matriz de 3 por 3 ${displaystyle A}$ define la forma bilineal ${displaystyle a(mathbf {u}mathbf {v})=mathbf {u} ^{T}Amathbf {v} }$ , y el vector del lado derecho ${displaystyle mathbf {b} }$ define el funcional lineal ligado ${displaystyle f(mathbf {v})=mathbf {b} ^{T}mathbf {v} }$ . Las columnas

{displaystyle mathbf {e} _{1}={begin{bmatrix}0\1\0end{bmatrix}}quad mathbf {e} _{2}={begin{bmatrix}0\0\1end{bmatrix}},}

de la matriz ${displaystyle V}$ forma una base ortonormal del subespacio 2-dimensional de la proyección Galerkin. Las entradas de la matriz Galerkin de 2 por 2 ${displaystyle V^{*}AV}$ son ${displaystyle a(e_{j},e_{i}),,i,j=1,2}$ , mientras que los componentes del vector del lado derecho ${displaystyle V^{*}mathbf {b} }$ de la ecuación de Galerkin ${displaystyle f(e_{i}),,i=1,2}$ . Finalmente, la solución aproximada ${displaystyle Vmathbf {y} }$ se obtiene de los componentes del vector de solución ${displaystyle mathbf {y} }$ de la ecuación Galerkin y la base como ${displaystyle sum _{j=1}^{2}y_{j}mathbf {e} _{j}}$ .

Ecuación lineal en un espacio de Hilbert

Formulación débil de una ecuación lineal

Vamos a introducir el método de Galerkin con un problema abstracto planteado como una formulación débil en un espacio de Hilbert ${displaystyle V}$ , a saber:

encontrar

{displaystyle uin V}

tal que para todos

{displaystyle vin V,a(u,v)=f(v)}

Aquí, ${displaystyle a(cdotcdot)}$ es una forma bilineal (los requisitos exactos ${displaystyle a(cdotcdot)}$ será especificado más adelante) y ${displaystyle f}$ es un funcional lineal en ${displaystyle V}$ .

Reducción de dimensión de Galerkin

Elija un subespacio ${displaystyle V_{n}subset V}$ de la dimensión n y resolver el problema proyectado:

Encontrar

{displaystyle u_{n}in V_{n}}

tal que para todos

{displaystyle v_{n}in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}

Lo llamamos Ecuación de Galerkin. Observe que la ecuación ha permanecido sin cambios y sólo los espacios han cambiado. Reducir el problema a un subespacial vectorial finito-dimensional nos permite numéricamente computar ${displaystyle u_{n}}$ como una combinación lineal finita de los vectores base en ${displaystyle V_{n}}$ .

Ortogonalidad de Galerkin

La propiedad clave del enfoque Galerkin es que el error es ortogonal a los subespacios elegidos. Desde ${displaystyle V_{n}subset V}$ , podemos usar ${displaystyle v_{n}}$ como vector de prueba en la ecuación original. Después de los dos, tenemos la relación de ortogonalidad de Galerkin por el error, ${displaystyle epsilon _{n}=u-u_{n}}$ que es el error entre la solución del problema original, ${displaystyle u}$ , y la solución de la ecuación Galerkin, ${displaystyle u_{n}}$

{displaystyle a(epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}

Forma matricial de la ecuación de Galerkin

Dado que el objetivo del método de Galerkin es la producción de un sistema lineal de ecuaciones, construimos su forma matricial, que puede usarse para calcular la solución algorítmicamente.

Vamos. ${displaystyle e_{1},e_{2},ldotse_{n}}$ ser una base para ${displaystyle V_{n}}$ . Entonces, es suficiente utilizar estos a su vez para probar la ecuación de Galerkin, es decir: encontrar ${displaystyle u_{n}in V_{n}}$ tales que

{displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})quad i=1,ldotsn.}

Nos expandimos ${displaystyle u_{n}}$ con respecto a esta base, ${displaystyle u_{n}=sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$ e insertarlo en la ecuación anterior, para obtener

{displaystyle aleft(sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}right)=sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})quad i=1,ldotsn.}

Esta ecuación anterior es en realidad un sistema lineal de ecuaciones ${displaystyle Au=f}$ , donde

{displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),quad f_{i}=f(e_{i}).}

Simmetría de la matriz

Debido a la definición de las entradas de matriz, la matriz de la ecuación Galerkin es simétrica si y sólo si la forma bilineal ${displaystyle a(cdotcdot)}$ es simétrico.

Análisis de los métodos de Galerkin

Aquí nos limitaremos a formas bilineales simétricas, es decir

{displaystyle a(u,v)=a(v,u).}

Aunque esto no es realmente una restricción de los métodos Galerkin, la aplicación de la teoría estándar se vuelve mucho más simple. Además, puede requerirse un método de Petrov-Galerkin en el caso no simétrico.

El análisis de estos métodos procede en dos pasos. En primer lugar, demostraremos que la ecuación de Galerkin es un problema bien planteado en el sentido de Hadamard y por lo tanto admite una solución única. En el segundo paso, estudiamos la calidad de la aproximación de la solución Galerkin ${displaystyle u_{n}}$ .

El análisis se basará principalmente en dos propiedades de la forma bilineal, a saber

Por todos ${displaystyle u,vin V}$ ostenciones
${displaystyle a(u,v)leq C|u|,|v|}$ para algunos constantes $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">C■0{displaystyle C confiar0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84d4126c6df243734f9355927c026df6b0d3859" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.027ex; height:2.176ex;"/>$
Ellipticidad: para todos ${displaystyle uin V}$ ostenciones
${displaystyle a(u,u)geq c|u|^{2}}$ para algunos constantes $0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">c■0.{displaystyle c]0.}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38463d8a11916695015115154ece31f8c311913" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.915ex; height:2.176ex;"/>$

Según el teorema de Lax-Milgram (ver formulación débil), estas dos condiciones implican que el problema original está bien planteado en una formulación débil. Todas las normas de las siguientes secciones serán normas para las cuales se cumplen las desigualdades anteriores (estas normas a menudo se denominan normas energéticas).

Bien planteado de la ecuación de Galerkin

Desde ${displaystyle V_{n}subset V}$ , vencimiento y elicidad de la forma bilineal se aplican a ${displaystyle V_{n}}$ . Por lo tanto, el bienestar del problema de Galerkin es heredado de la bien poseída del problema original.

Cuasi-mejor aproximación (lema de Céa)

El error ${displaystyle u-u_{n}}$ entre el original y la solución Galerkin admite la estimación

{displaystyle |u-u_{n}|leq {frac {C}{c}}inf _{v_{n}in V_{n}}|u-v_{n}|.}

Esto significa que hasta la constante ${displaystyle C/c}$ , la solución Galerkin ${displaystyle u_{n}}$ es tan cerca de la solución original ${displaystyle u}$ como cualquier otro vector en ${displaystyle V_{n}}$ . En particular, será suficiente estudiar la aproximación por espacios ${displaystyle V_{n}}$ , olvidando completamente la ecuación que se está resolviendo.

Prueba

Puesto que la prueba es muy simple y el principio básico detrás de todos los métodos Galerkin, lo incluimos aquí: por ellipticidad y encuadernación de la forma bilineal (incalidades) y la ortogonalidad de Galerkin (igual signo en el medio), tenemos por arbitrariedad ${displaystyle v_{n}in V_{n}}$ :

{displaystyle c|u-u_{n}|^{2}leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})leq C|u-u_{n}|,|u-v_{n}|.}

Dividiendo por ${displaystyle c|u-u_{n}|}$ y tomar el infimum sobre todo lo posible ${displaystyle v_{n}}$ cede la lema.

Propiedad de mejor aproximación de Galerkin en la norma energética

Para la simplicidad de la presentación en la sección anterior hemos asumido que la forma bilineal ${displaystyle a(u,v)}$ es simétrico y positivo definido, lo que implica que es un producto escalar y la expresión ${displaystyle |u|_{a}={sqrt {a(u,u)}}}$ es en realidad una norma vectorial válida, llamada energía. Bajo estas suposiciones se puede probar fácilmente además la mejor propiedad de aproximación de Galerkin en la norma energética.

Utilizando la a-ortogonalidad de Galerkin y la desigualdad de Cauchy-Schwarz para la norma energética, obtenemos

{displaystyle |u-u_{n}|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})leq |u-u_{n}|_{a},|u-v_{n}|_{a}.}

Dividiendo por ${displaystyle |u-u_{n}|_{a}}$ y tomar el infimum sobre todo lo posible ${displaystyle v_{n}in V_{n}}$ demuestra que la aproximación de Galerkin ${displaystyle u_{n}in V_{n}}$ es la mejor aproximación en la norma energética dentro del subespacio ${displaystyle V_{n}subset V}$ , es decir. ${displaystyle u_{n}in V_{n}}$ no es más que la ortogonal, con respecto al producto escalar ${displaystyle a(u,v)}$ , proyección de la solución ${displaystyle u}$ al subespacial ${displaystyle V_{n}}$ .

Método Galerkin para estructuras escalonadas

Yo. Elishakof, M. Amato, A. Marzani, P.A. Arvan y J.N. Reddy Estudió la aplicación del método Galerkin a estructuras escalonadas. Demostraron que la función generalizada, es decir, la función de paso unitario, la función delta de Dirac y la función doblete, son necesarias para obtener resultados precisos.

Historia

El enfoque suele atribuirse a Boris Galerkin. El método fue explicado al lector occidental por Hencky y Duncan, entre otros. Su convergencia fue estudiada por Mikhlin y Leipholz. Su coincidencia con el método de Fourier fue ilustrada por Elishakoff et al. Singer demostró su equivalencia con el método de Ritz para problemas conservadores. Gander y Wanner mostraron cómo los métodos de Ritz y Galerkin condujeron al método moderno de los elementos finitos. Repin discutió cien años de desarrollo del método. Elishakoff, Kaplunov y Kaplunov muestran que el método de Galerkin no fue desarrollado por Ritz, contrariamente a las afirmaciones de Timoshenko.

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