Método del promedio más alto

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Un método del promedio más alto, método de promedios mayores o también llamado método del divisor, es una clase de métodos para asignar escaños en un parlamento entre agentes como partidos políticos o estados federales. Un método de divisor es un método iterativo: en cada iteración, la cantidad de votos de cada partido se divide por su divisor, que es una función de la cantidad de escaños (inicialmente 0) actualmente asignados a ese partido. El siguiente escaño se asigna al partido cuya proporción resultante sea mayor.

Definiciones

Las entradas de un método divisor son el número de escaños a asignar, denotado por h, y el vector de derechos de los partidos, donde el derecho del partido $i$ se denota por $t_{yo}$ (un número entre 0 y 1 que determina la fracción de escaños a los que $i$ tiene derecho).). Suponiendo que se cuentan todos los votos, $t_{yo}$ es simplemente el número de votos recibidos por $i$ , dividido por el número total de votos.

Definición procesal

Un método divisor está parametrizado por una función $d(k)$ , asignando cada número entero $k$ a un número real (generalmente en el rango ${ estilo de visualización [k, k + 1]}$ ).

El número de escaños asignados a un partido $i$ se denota por $ai}$ . Inicialmente, $ai}$ se establece en 0 para todas las partes. Luego, en cada iteración, el siguiente asiento se asigna a un grupo que maximiza la proporción ${displaystyle {frac{t_{i}}{d(a_{i})}}}$ . El método procede para h iteraciones, hasta que se asignan todos los asientos.

Definición de multiplicador

Una definición equivalente da directamente el resultado del método del divisor de la siguiente manera.

Para una elección, se calcula un cociente, generalmente el número total de votos dividido por el número de escaños que se asignarán (la cuota Hare). Luego, a los partidos se les asignan escaños determinando cuántos cocientes han ganado, dividiendo el total de sus votos por el cociente. Cuando un partido gana una fracción de un cociente, esto se puede redondear hacia abajo o al número entero más cercano. Redondear hacia abajo es equivalente a usar el método D'Hondt, mientras que redondear al número entero más cercano es equivalente al método Sainte-Laguë. Redondear es equivalente a usar el método de Adams. Sin embargo, debido al redondeo, esto no necesariamente dará como resultado que se llene el número deseado de asientos. En ese caso, el cociente se puede ajustar hacia arriba o hacia abajo hasta que el número de asientos después del redondeo sea igual al número deseado.

Las tablas utilizadas en los métodos D'Hondt o Sainte-Laguë pueden verse como calculando el cociente más alto posible para redondear a un número dado de asientos. Por ejemplo, el cociente que gana el primer escaño en un cálculo de D'Hondt es el cociente más alto posible para que el voto de un partido, redondeado hacia abajo, sea mayor que 1 cuota y, por lo tanto, asigne 1 escaño. El cociente de la segunda vuelta es el divisor más alto posible para tener un total de 2 escaños asignados, y así sucesivamente.

Formalmente, dado el vector de derechos $mathbf{t}$ y el tamaño de la casa $h$ , un método divisor se puede definir como:

{displaystyle {mathbf {a} |a_{i}=operatorname {ronda} (t_{i}cdot H){text{ y }}sum _{i=1}^{n}a_ {i}=h{text{ para algún número real }}H}}

donde el método de redondeo está definido por la función divisora d.

Definición máxima-mínima

Cada método de divisor se puede definir usando una desigualdad min-max: a es una asignación para el método de divisor con divisor d, si y solo si

0}t_{i}/d(a_{i}) }">.

Cada número en el rango 0}t_{i}/d(a_{i })]}">es un posible divisor. Si el rango no está vacío (es decir, la desigualdad es estricta), entonces la solución es única; en caso contrario (la desigualdad es una igualdad), hay múltiples soluciones.

Métodos de divisores específicos

Los métodos de divisores más comunes son:

Método de Adams: utiliza ${ estilo de visualización d (k) = k}$ , que corresponde a redondear hacia arriba: ${displaystyle operatorname {ronda} ^{d}(x)=lceil xrceil}$ .
Método de Dean - utiliza ${displaystyle d(k)=k(k+1)/(k+0,5)=2{bigg /}left({frac {1}{k}}+{frac {1}{k+ 1}}derecho)}$ , corresponde al "redondeo armónico".
Método de Huntington-Hill: utiliza ${displaystyle d(k)={sqrt {k(k+1)}}}$ , corresponde al "redondeo geométrico".
Método Webster/Sainte-Laguë: utiliza ${displaystyle d(k)=k+0.5}$ , que corresponde al redondeo al entero más próximo.
Método D'Hondt/Jefferson: utiliza ${ estilo de visualización d (k) = k + 1}$ , que corresponde al redondeo hacia abajo: ${displaystyle operatorname {redondo} ^{d}(x)=lpiso xrpiso}$ .

Tienen diferentes propiedades, como se explica a continuación.

Método D'Hondt

La sucesión de divisores más utilizada es 1, 2, 3, 4, etc., correspondiente a la función divisor ${ estilo de visualización d (k) = k + 1}$ . Se llama la fórmula de D'Hondt. Este sistema tiende a otorgar a los partidos más grandes una porción de escaños ligeramente mayor que su porción del electorado y, por lo tanto, garantiza que un partido con una mayoría de votantes obtendrá al menos la mitad de los escaños.

Método Webster/Sainte-Laguë

El método Webster/Sainte-Laguë divide el número de votos de cada partido entre los números impares (1, 3, 5, 7, etc.), o de forma equivalente entre 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, etc. Corresponde a una función divisoria ${displaystyle d(k)=k+0.5}$ .

A veces se considera más proporcional que D'Hondt en términos de una comparación entre la participación de un partido en el voto total y su participación en la asignación de escaños, aunque puede llevar a que un partido con una mayoría de votos gane menos de la mitad de los escaños. Este sistema es más favorable a los partidos más pequeños que el método de D'Hondt y, por lo tanto, fomenta las escisiones.

El método Webster/Sainte-Laguë a veces se modifica aumentando el primer divisor de 1 a, por ejemplo, 1,4, para desalentar a los partidos muy pequeños que obtienen su primer escaño "demasiado barato".

Imperiales

Otro método de promedio más alto se llama Imperiali (que no debe confundirse con la cuota de Imperiali, que es un método de resto más grande). Los divisores son 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5 etc., o equivalentemente 2, 3, 4, 5, etc., correspondientes a una función divisoria ${ estilo de visualización d (k) = k + 2}$ . Está diseñado para desfavorecer a los partidos más pequeños, similar a un "corte", y se usa solo en las elecciones municipales belgas. Este método (a diferencia de otros métodos enumerados) no es estrictamente proporcional: si existe una asignación perfectamente proporcional, no se garantiza encontrarla.

Método de Huntington-Hill

En el método de Huntington-Hill, la función divisoria es ${displaystyle d(k)={sqrt {k(k+1)}}}$ , lo que tiene sentido solo si a cada partido se le garantiza al menos un escaño: este efecto se puede lograr descalificando a los partidos que reciben menos votos que un número específico de votos, ya sea un umbral porcentual o una cuota como Hare, Droop o Imperiali. Este método se utiliza para asignar escaños en la Cámara de Representantes de EE. UU. entre los estados.

Método danés

El método danés se utiliza en las elecciones danesas para asignar los escaños compensatorios de cada partido (o escaños de nivelación) a nivel de provincia electoral a distritos electorales plurinominales individuales. Divide el número de votos recibidos por un partido en una circunscripción plurinominal por los divisores que crecen por pasos iguales a 3 (1, 4, 7, 10, etc.). Alternativamente, dividir el número de votos por 0,33, 1,33, 2,33, 3,33, etc. arroja el mismo resultado. La función divisor es ${ estilo de visualización d (k) = k + 1/3}$ . Este sistema intenta deliberadamente asignar escaños por igual en lugar de proporcionalmente.

Método de Adams

El método de Adams fue concebido por John Quincy Adams para repartir escaños de la Cámara a los estados. Percibió el método de Jefferson de asignar muy pocos escaños a estados más pequeños. Puede describirse como el inverso del método de Jefferson; otorga un escaño al partido que tiene la mayor cantidad de votos por escaño antes de agregar el escaño. La función divisor es ${ estilo de visualización d (k) = k}$ .

Al igual que el método de Huntington-Hill, esto da como resultado un valor de 0 para los primeros escaños que se designan para cada partido, lo que da como resultado un promedio de ∞. Solo puede violar la regla de cuota inferior. Esto ocurre en el siguiente ejemplo.

Sin umbral, todos los partidos que han recibido al menos un voto, también reciben un escaño, con la obvia excepción de los casos en que hay más partidos que escaños. Esta propiedad puede ser deseable, por ejemplo, cuando se asignan escaños a los distritos electorales. Siempre que haya al menos tantos escaños como distritos, todos los distritos están representados. En una elección de representación proporcional de lista de partidos, puede resultar en que partidos muy pequeños reciban escaños. Además, las violaciones de la regla de cuotas en el método puro de Adams son muy comunes. Estos problemas pueden resolverse introduciendo un umbral electoral.

Ejemplo comparativo

En el siguiente ejemplo, el voto total es 100.000. Hay 10 asientos. El número en cada celda de la tabla "rosa" indica el número de votos dividido por el divisor correspondiente $d(k)$ . Por ejemplo, para el método de D'Hondt, en la fila $k=0$ , los números son solo los votos de los partidos (divididos por ${ estilo de visualización k + 1 = 1}$ ). En la fila $k=1$ , los números son los votos divididos por 2. Para el método de Saint-Lague, en la fila $k=1$ , los números son los votos divididos por 3 (el segundo elemento en la secuencia de divisores), y así sucesivamente.

	método D'Hondt	Método Sainte-Laguë(sin modificar: secuencia 1,3,5,7...)	Método Sainte-Laguë(modificado: secuencia 1.4,3,5,7...)	Método de Huntington-Hill	Método puro de Adams	método de Adamscon umbral = 1
fiesta	Amarillo	Blanco	Rojo	Verde	Azul	Rosa	Amarillo	Blanco	Rojo	Verde	Azul	Rosa	Amarillo	Blanco	Rojo	Verde	Azul	Rosa	Amarillo	Blanco	Rojo	Verde	Azul	Rosa	Amarillo	Blanco	Rojo	Verde	Azul	Rosa	Amarillo	Blanco	Rojo	Verde	Azul	Rosa
votos	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100
asientos	5	2	2	1	0	0	4	2	2	1	1	0	5	2	2	1	0	0	5	2	2	1	0	0	3	2	2	1	1	1	4	2	2	2	0	0
votos/asiento	9,400	8,000	7,950	12,000			11,750	8,000	7,950	12,000	6,000		9,400	8,000	7,950	12,000			9,400	8,000	7,950	12,000			15,667	8,000	7,950	12,000	6,000	3,100	11,750	8,000	7,950	6,000
$k$	cociente
0	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	33,571	11,429	11,357	8,571	4,286	2,214	∞	∞	∞	∞	excluido	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	excluido
1	23,500	8,000	7,950	6,000	3,000	1,550	15,667	5,333	5,300	4,000	2,000	1,033	15,667	5,333	5,300	4,000	2,000	1,033	33,234	11,314	11,243	8,485	47,000	16,000	15,900	12,000	6,000	3,100	47,000	16,000	15,900	12,000
2	15,667	5,333	5,300	4,000	2,000	1,033	9,400	3,200	3,180	2,400	1200	620	9,400	3,200	3,180	2,400	1200	620	19,187	6,531	6,491	4,898	23,500	8,000	7,950	6,000	3,000	1,550	23,500	8,000	7,950	6,000
3	11,750	4,000	3,975	3,000	1,500	775	6,714	2,857	2,271	1,714	875	443	6,714	2,857	2,271	1,714	875	443	13,567	4,618	4,589	3,464	15,667	5,333	5,300	4,000	2,000	1,033	15,667	5,333	5,300	4,000
4	9,400	3,200	3,180	2,400	1200	620	5,222	1,778	1,767	1,333	667	333	5,222	1,778	1,767	1,333	667	333	10,509	3,577	3,555	2,683	11,750	4,000	3,975	3,000	1,500	775	11,750	4,000	3,975	3,000
5	7,833	2,667	2,650	2,000	1,000	517	4,273	1,454	1,445	1,091	545	282	4,273	1,454	1,445	1,091	545	282	8,580	2,921	2,902	2,190	9,400	3,200	3,180	2,400	1200	620	9,400	3,200	3,180	2,400
asiento	asignación de asientos
1	47,000						47,000						33,571						∞				excluido	∞						∞				excluido
2	23,500							16,000					15,667							∞				∞						∞
3		16,000							15,900					11,429							∞				∞						∞
4			15,900				15,667								11,357							∞				∞						∞
5	15,667									12,000			9,400						33,234								∞		47,000
6				12,000			9,400									8,571			19,187									∞	23,500
7	11,750						6,714						6,714						13,567				47,000							16,000
8	9,400										6,000			5,333						11,314			23,500								15,900
9		8,000						5,333							5,300						11,243			16,000					15,667
10			7,950						5,300				5,222						10,509						15,900							12,000

Como puede verse en el ejemplo, D'Hondt, Sainte-Laguë y Huntington-Hill permiten diferentes estrategias por parte de los partidos que buscan maximizar su asignación de escaños. D'Hondt y Huntington-Hill pueden favorecer la fusión de partidos, mientras que Sainte-Laguë puede favorecer la división de partidos (el Saint-Laguë modificado reduce la ventaja de la división).

En estos ejemplos, bajo D'Hondt y Huntington-Hill, los amarillos y los verdes combinados ganarían un escaño adicional si se fusionaran, mientras que bajo Sainte-Laguë los amarillos ganarían si se dividieran en seis listas con aproximadamente 7833 votos cada una.

Propiedades

Todos los métodos de divisores satisfacen las propiedades básicas de anonimato, equilibrio, concordancia, exactitud e integridad.

Todos los métodos del divisor satisfacen la monotonicidad de la casa. Esto significa que, cuando aumenta el número de escaños en el parlamento, ningún estado pierde un escaño. Esto es evidente a partir de la descripción iterativa de los métodos: cuando se agrega un asiento, el proceso inicial sigue siendo el mismo, solo continúa con una iteración adicional. En otras palabras, los métodos del divisor evitan la paradoja de Alabama.

Además, todos los métodos de divisores satisfacen la monotonicidad de la población por pares. Esto significa que, si el número de votos de un partido aumenta a un ritmo más rápido que el número de votos de otro partido, entonces no sucede que el primer partido pierda escaños mientras que el segundo partido gana escaños. Además, los métodos del divisor son probablemente los únicos métodos que satisfacen esta forma de monotonicidad. En otras palabras, los métodos del divisor son los únicos que evitan la paradoja de la población.

En el lado negativo, los métodos divisores pueden violar la regla de la cuota: pueden dar a algunos agentes menos de su cuota inferior (cuota redondeada hacia abajo) o más de su cuota superior (cuota redondeada hacia arriba). Esto se puede arreglar usando métodos de divisor con límite de cuota (ver más abajo).

Los experimentos de simulación muestran que diferentes métodos de divisores tienen probabilidades muy diferentes de violar la cuota (cuando el número de votos se selecciona mediante una distribución exponencial):

La probabilidad de Adams y D'Hondt es del 98%;
La probabilidad de D'Hondt con un requisito mínimo de 1 es del 78%;
La probabilidad para Dean es de alrededor del 9% y para Huntington-Hill alrededor del 4%;
La probabilidad de Webster es la más pequeña: solo 0,16%.

Un método divisor se llama estacionario si su divisor tiene la forma ${ estilo de visualización d (k) = k + r}$ de algún número real ${ estilo de visualización r en [0,1]}$ . Los métodos de Adams, Webster y DHondt son estacionarios, mientras que los de Dean y Huntington-Hill no lo son.

Método del divisor con límite de cuota

Un método de divisor con tope de cuota es un método de prorrateo en el que el siguiente escaño se asigna solo a un partido de un conjunto de partidos elegibles. Las partes elegibles deben cumplir dos condiciones:

Su asignación actual es menor que su cuota superior (donde la cuota se calcula en función del número total de escaños, incluido el siguiente).
Darles un escaño adicional no privaría a otros estados de su cuota más baja.

Formalmente, en cada iteración $h$ (correspondiente a la asignación del $h$ -ésimo asiento), se calculan los siguientes conjuntos (ver matemáticas de prorrateo para las definiciones y notación):

${displaystyle U(mathbf {t},mathbf {a})}$ es el conjunto de partidos que pueden obtener un escaño adicional sin violar su cuota superior, es decir, <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752daddcdbe7eb275e75b921e4eb27eb3e4eff2d" alt="{displaystyle a_{i}.
${displaystyle L(mathbf {t},mathbf {a})}$ es el conjunto de partidos cuyo número de escaños podría estar por debajo de su cuota inferior en alguna iteración futura, es decir, <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63552f25b4eac9436a62a9e0877f4461d944faeb" alt="{displaystyle a_{i}para el número entero más pequeño $z$ para el cual ${displaystyle sum _{i}lpiso t_{i}cdot (h+z)rpiso geq h-1+z}$ . Si no existe tal $z$ entonces ${displaystyle L(mathbf {t},mathbf {a})}$ contiene todos los estados.

El $h$ escaño -th se otorga a un partido ${displaystyle iin U(mathbf {t},mathbf {a})cap L(mathbf {t},mathbf {a})}$ para el cual la proporción ${displaystyle {frac{t_{i}}{d(a_{i})}}}$ es mayor.

El método de cuota de Balinsky-Young es la variante con límite de cuota del método D'Hondt (también llamado: Cuota-Jefferson). De manera similar, se puede definir Quota-Webster, Quota-Adams, etc.

Cada método de divisor con límite de cuota satisface la monotonicidad de la casa. Si la elegibilidad se basa en cuotas como se indicó anteriormente, entonces el método del divisor con límite de cuota satisface la cuota superior por definición, y se puede demostrar que también satisface la cuota inferior.

Sin embargo, los métodos de divisores con límite de cuotas pueden violar una propiedad de la monotonicidad de la población: es posible que algún partido i gane más votos, mientras que todos los demás partidos obtienen el mismo número de votos, pero el partido i pierde un escaño. Esto podría suceder cuando, debido a que el partido i obtiene más votos, la cuota superior de algún otro partido j disminuye. Por lo tanto, la parte j no es elegible para un asiento en la iteración actual y algún tercero recibe el siguiente asiento. Pero luego, en la siguiente iteración, el grupo j vuelve a ser elegible para un puesto y supera al grupo i. Hay ejemplos similares para todos los métodos de divisor con límite de cuota.

Métodos de índice de rango

Un método de índice de rango es una generalización de un método divisor. Otro término es método de Huntington, ya que generaliza una idea de Edward Vermilye Huntington.

Entrada y salida

Como todos los métodos de prorrateo, las entradas de cualquier método de índice de rango son:

Un entero positivo que $h$ representa el número total de elementos para asignar. También se le llama tamaño de la casa, ya que en muchos casos, los elementos a asignar son escaños en una cámara de representantes.

Un entero positivo que $norte$ representa el número de agentes a los que se deben asignar elementos. Por ejemplo, estos pueden ser estados federales o partidos políticos.
Un vector de fracciones ${displaystyle (t_{1},ldots,t_{n})}$ con ${ estilo de visualización suma _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} = 1}$ , que representa los derechos, $t_{yo}$ representa el derecho del agente $i$ , es decir, la fracción de artículos a los que $i$ tiene derecho (del total de $h$ ).

Su salida es un vector de enteros $a_1,ldots,a_n$ con ${displaystyle sum_{i=1}^{n}a_{i}=h}$ , llamado prorrateo de $h$ , donde $ai}$ es el número de elementos asignados al agente i.

Procedimiento iterativo

Cada método de índice de rango está parametrizado por una función de índice de rango ${ estilo de visualización r (t, a)}$ , que aumenta en el derecho y disminuye en la asignación actual $un$ . El prorrateo se calcula iterativamente de la siguiente manera:

Inicialmente, establezca $ai}$ en 0 para todas las partes.
En cada iteración, asigne un elemento a un agente para el que ${ estilo de visualización r (t_ {i}, a_ {i})}$ sea máximo (rompa los empates arbitrariamente).
Deténgase después de $h$ las iteraciones.

Los métodos de divisor son un caso especial de los métodos de índice de rango: un método de divisor con función de divisor ${ estilo de visualización d (a)}$ es equivalente a un método de índice de rango con función de índice de rango ${displaystyle r(t,a)=t/d(a)}$ .

Formulación min-max

Cada método de índice de rango se puede definir usando una desigualdad min-max: a es una asignación para el método de índice de rango con la función r, si y solo si:

0}r(t_{i},a_{i}-1)geq max_{i}r(t_{i},a_{i}) }">.

Propiedades

Cada método de índice de rango es house-monótono. Esto significa que, cuando $h$ aumenta, la asignación de cada agente aumenta débilmente. Esto se sigue inmediatamente del procedimiento iterativo.

Cada método de índice de rango es uniforme. Esto significa que, tomamos un subconjunto de los agentes ${ estilo de visualización 1, puntos, k}$ y aplicamos el mismo método a su asignación combinada ${displaystyle h_{k}=a_{1}+cdots +a_{k}}$ , entonces el resultado es exactamente el vector ${displaystyle (a_{1},ldots,a_{k})}$ . En otras palabras: cada parte de una asignación justa también es justa. Esto se sigue inmediatamente de la desigualdad min-max.

Además:

Todo método de prorrateo que sea uniforme, simétrico y balanceado debe ser un método de índice de rango.
Todo método de distribución que sea uniforme, monótono y equilibrado debe ser un método de índice de rango.

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