Método del círculo de Hardy-Ramanujan-Littlewood

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En matemáticas, el método del círculo de Hardy-Ramanujan-Littlewood es una técnica de teoría analítica de números. Lleva el nombre de G. H. Hardy, S. Ramanujan y J. E. Littlewood, quienes lo desarrollaron en una serie de artículos sobre el problema de Waring.

Historia

La idea inicial suele atribuirse al trabajo de Hardy con Srinivasa Ramanujan unos años antes, en 1916 y 1917, sobre las asintóticas de la función de partición. Fue retomado por muchos otros investigadores, entre ellos Harold Davenport e I. M. Vinogradov, quienes modificaron ligeramente la formulación (pasando del análisis complejo a sumas exponenciales), sin cambiar las líneas generales. Siguieron cientos de artículos y, a partir de 2022, el método todavía arroja resultados. El método es el tema de una monografía de Vaughan (1997) de R. C. Vaughan.

Esquema

El objetivo es demostrar el comportamiento asintótico de una serie: mostrar que $a n ~ F (n)$ para alguna función. Esto se hace tomando la función generadora de la serie y luego calculando los residuos alrededor de cero (esencialmente los coeficientes de Fourier). Técnicamente, la función generadora está escalada para tener un radio de convergencia 1, por lo que tiene singularidades en el círculo unitario; por lo tanto, no se puede tomar la integral de contorno sobre el círculo unitario.

El método del círculo es específicamente cómo calcular estos residuos, dividiendo el círculo en arcos menores (la mayor parte del círculo) y arcos mayores (arcos pequeños que contienen las singularidades más significativas), y luego delimitando el comportamiento en los arcos menores. . La idea clave es que, en muchos casos de interés (como las funciones theta), las singularidades ocurren en las raíces de la unidad, y el significado de las singularidades está en el orden de la secuencia de Farey. De este modo se pueden investigar las singularidades más significativas y, si hay suerte, calcular las integrales.

Configuración

El círculo en cuestión era inicialmente el círculo unitario en el plano complejo. Suponiendo que el problema se hubiera formulado primero en los términos de que para una secuencia de números complejos $a n$ para $n = 0, 1, 2, 3,...$ , queremos información asintótica del tipo $a n ~ F (n)$ , donde Si tenemos alguna razón heurística para adivinar la forma adoptada por $F$ (an ansatz), escribimos

{displaystyle f(z)=sum a_{n}z^{n}}

una función generadora de series de potencias. Los casos interesantes son donde $f$ tiene entonces un radio de convergencia igual a 1, y suponemos que el problema tal como está planteado ha sido modificado para presentar esta situación. .

Residuos

De esa formulación, se deduce directamente del teorema del residuo que

{displaystyle I_{n}=oint _{C}f(z)z^{-(n+1)},dz=2pi ia_{n}}

para enteros $n \geq 0$ , donde $C$ es un círculo de radio $r$ y centrado en 0, para cualquier $r$ con $0 r 1$ ; en otras palabras, ${displaystyle I_{n}}$ es un contorno integral, integrado sobre el círculo descrito atravesado una vez antiauricular. Nos gustaría tomar $r = 1$ directamente, es decir, para usar el contorno de círculo de la unidad. En la compleja formulación de análisis esto es problemático, ya que los valores $f$ puede no ser definido allí.

Singularidades en el círculo unitario

El problema que aborda el método del círculo es forzar la cuestión de tomar $r = 1$ , mediante una buena comprensión de la naturaleza de las singularidades. f se exhibe en el círculo unitario. La idea fundamental es el papel que desempeña la secuencia de Farey de números racionales, o de manera equivalente, las raíces de la unidad:

{displaystyle zeta =exp left({frac {2pi ir}{s}}right).}

Aquí el denominador $s$ , suponiendo que $r / s$ está en términos más bajos, resulta determinar la importancia relativa del comportamiento singular del típico $f$ cerca de $ζ$ .

Método

El método del círculo de Hardy-Littlewood, para la formulación analítica compleja, puede entonces expresarse de esta manera. Las contribuciones a la evaluación de $I n$ , como $r \to 1$ , debe tratarse de dos maneras, tradicionalmente denominadas arcos mayores y arcos menores. Dividimos las raíces de la unidad $ζ$ en dos clases, según si $s \leq N$ o $s > N$ , donde $N$ es una función de $n$ eso nos corresponde a nosotros elegir cómodamente. La integral $I n$ se divide en integrales, cada una en algún arco del círculo que es adyacente a $ζ$ , de longitud una función de $s$ ( nuevamente, a nuestra discreción). Los arcos forman todo el círculo; la suma de las integrales sobre los arcos mayores debe formar $2 πiF (n)$ (siendo realistas, esto sucederá hasta un plazo restante manejable). La suma de las integrales sobre los arcos menores se reemplazará por un límite superior, más pequeño en orden que $F (n)$ .

Discusión

Dicho claramente así, no está del todo claro que esto pueda funcionar. Las ideas involucradas son bastante profundas. Una fuente clara es la teoría de las funciones theta.

El problema de Waring

En el contexto del problema de Waring, las potencias de las funciones theta son las funciones generadoras de la función de suma de cuadrados. Su comportamiento analítico se conoce con mucha más precisión que, por ejemplo, los cubos.

Típico comportamiento singular de una función theta.

Se da el caso, como indica el diagrama de colores falsos, que para una función theta la función 'más importante' el punto en el círculo límite está en $z = 1$ ; seguido de $z = -1$ , y luego las dos raíces cúbicas complejas de la unidad a las 7 en punto y a las 11 en punto. Después de eso, son las raíces cuartas de la unidad $i$ y $- i$ eso es lo más importante. Si bien nada en esto garantiza que el método analítico funcionará, sí explica la lógica de utilizar un criterio tipo serie de Farey sobre raíces de unidad.

En el caso del problema de Waring, se toma una potencia suficientemente alta de la función generadora para forzar la situación en la que predominan las singularidades, organizadas en las llamadas series singulares. . Cuanto menos derrochadoras sean las estimaciones utilizadas para el resto, mejores serán los resultados. Como ha dicho Bryan Birch, el método es inherentemente un desperdicio. Esto no se aplica al caso de la función de partición, que señalaba la posibilidad de que en una situación favorable se pudieran controlar las pérdidas derivadas de las estimaciones.

Sumas trigonométricas de Vinogradov

Más tarde, I. M. Vinogradov amplió la técnica, reemplazando la formulación de suma exponencial f(z) con una serie finita de Fourier, de modo que la integral relevante $I n$ es un coeficiente de Fourier. Vinogradov aplicó sumas finitas al problema de Waring en 1926, y el método de suma trigonométrica general pasó a ser conocido como "el método del círculo de Hardy, Littlewood y Ramanujan, en la forma de las sumas trigonométricas de Vinogradov". ;. Básicamente, todo lo que esto hace es descartar toda la 'cola' de la función generadora, permitiendo que el negocio de $r$ en la operación limitante se establezca directamente en el valor 1.

Aplicaciones

Los perfeccionamientos del método han permitido demostrar resultados sobre las soluciones de ecuaciones diofánticas homogéneas, siempre que el número de variables $k$ sea grande. relativo al grado $d$ (ver el teorema de Birch, por ejemplo). Esto resulta ser una contribución al principio de Hasse, capaz de arrojar información cuantitativa. Si $d$ es fijo y $k$ es pequeño, se utilizan otros métodos. necesario y, de hecho, el principio de Hasse tiende a fracasar.

Contorno de Rademacher

En el caso especial en el que se aplica el método del círculo para encontrar los coeficientes de una forma modular de peso negativo, Hans Rademacher encontró una modificación del contorno que hace que la serie que surge del método del círculo converja al resultado exacto. Para describir su contorno, es conveniente sustituir el círculo unitario por el semiplano superior, realizando la sustitución $z = exp(2π iτ)$ , de modo que la integral de contorno se convierta en una integral de $τ = i$ a $τ = 1 + i$ . (El número $i$ podría reemplazarse por cualquier número en el semiplano superior, pero $i$ es la opción más conveniente.) El contorno de Rademacher está (más o menos) dado por los límites de todos los círculos de Ford de 0 a 1, como se muestra en el diagrama. La sustitución de la línea de $i$ a $1 + i$ por los límites de estos círculos es un proceso limitante no trivial, que puede justificarse para formas modulares que tienen peso negativo, y con más cuidado también puede justificarse para términos no constantes para el caso de peso 0 (en otras palabras, funciones modulares ).

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