Método de Van der Pauw

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Una manera precisa de medir la resistencia y el voltaje del pasillo

El Método van der Pauw es una técnica comúnmente utilizada para medir la resistividad y el coeficiente de Hall de una muestra. Su poder radica en su capacidad para medir con precisión las propiedades de una muestra de cualquier forma arbitraria, siempre y cuando la muestra sea aproximadamente bidimensional (es decir, es mucho más delgada que ancha), sólida (sin agujeros) y los electrodos se colocan en su perímetro. El método de van der Pauw emplea una sonda de cuatro puntos colocada alrededor del perímetro de la muestra, en contraste con la sonda lineal de cuatro puntos: esto permite que el método de van der Pauw proporcione una resistividad promedio de la muestra, mientras que una matriz lineal proporciona la resistividad en la dirección de detección. Esta diferencia se vuelve importante para los materiales anisotrópicos, que se pueden medir adecuadamente utilizando el Método Montgomery, una extensión del Método van der Pauw (ver, por ejemplo, la referencia).

A partir de las mediciones realizadas se pueden calcular las siguientes propiedades del material:

La resistividad del material
El tipo de dopaje (es decir, si es un material tipo P o tipo N)
La densidad de portafolios del portaaviones mayoritarios (número de portaaviones mayoritarios por área unitaria). Desde este punto se puede encontrar la densidad de carga y el nivel de dopaje
La movilidad del porteador mayoritario

El método fue propuesto por primera vez por Leo J. van der Pauw en 1958.

Condiciones

Hay cinco condiciones que deben cumplirse para utilizar esta técnica:
1. La muestra debe tener una forma plana y de espesor uniforme
2. La muestra no debe tener agujeros aislados
3. La muestra debe ser homogénea e isotrópica
4. Los cuatro contactos deben estar situados en los bordes de la muestra
5. El área de contacto de cualquier contacto individual debe ser al menos un orden de magnitud menor que el área de toda la muestra.

La segunda condición puede debilitarse. La técnica de van der Pauw también se puede aplicar a muestras con un orificio.

Preparación de muestras

Para utilizar el método de van der Pauw, el espesor de la muestra debe ser mucho menor que el ancho y el largo de la muestra. Para reducir errores en los cálculos, es preferible que la muestra sea simétrica. Tampoco debe haber agujeros aislados dentro de la muestra.

Algunas posibles colocaciones de contacto

Las mediciones requieren que se coloquen cuatro contactos óhmicos en la muestra. Se deben cumplir ciertas condiciones para su colocación:

Deben ser lo más pequeños posible; cualquier error dado por su tamaño no cero será del orden D/L, donde D es el diámetro promedio del contacto y L es la distancia entre los contactos.
Deben estar lo más cerca posible del límite de la muestra.

Además de esto, todos los cables de los contactos deben construirse con el mismo lote de cables para minimizar los efectos termoeléctricos. Por la misma razón, los cuatro contactos deben ser del mismo material.

Definiciones de medidas

Los contactos se numeran de 1 a 4 en una orden de contra-a la izquierda, comenzando en el contacto de arriba izquierda.
La corriente I₁₂ es una corriente DC positiva inyectada en contacto 1 y fuera de contacto 2, y se mide en amperios (A).
El voltaje V₃₄ es un voltaje DC medido entre contactos 3 y 4 ()i.e. V₄ - V₃) sin campo magnético aplicado externamente, medido en voltios (V).
La resistividad *** se mide en ohms⋅metres (Ω⋅m).
El espesor de la muestra t se mide en metros (m).
Resistencia a la hoja R_S se mide en ohms por cuadrado (Ω/sq o $Omega /Box$ ).

Medidas de resistividad

La resistividad promedio de una muestra viene dada por ρ = R_S⋅t, donde la resistencia laminar R_S se determina de la siguiente manera. Para un material anisotrópico, los componentes de resistividad individuales, p.e. ρ_x o ρ_y, se pueden calcular utilizando el método de Montgomery.

Medidas básicas

Para realizar una medición, una corriente es causada por el flujo a lo largo de un borde de la muestra (por ejemplo, I₁₂) y el voltaje a través del borde opuesto (en este caso, V₃₄) se mide. De estos dos valores, una resistencia (por este ejemplo, $R_{{12,34}}$ ) se puede encontrar utilizando La ley de Ohm:

R_{{12,34}}={frac {V_{{34}}}{I_{{12}}}}

En su papel, van der Pauw mostró que la resistencia de la hoja de muestras con formas arbitrarias se puede determinar a partir de dos de estas resistencias - una medida a lo largo de un borde vertical, como $R_{{12,34}}$ , y el correspondiente medido a lo largo de un borde horizontal, como $R_{{23,41}}$ . La resistencia real de la hoja está relacionada con estas resistencias por la fórmula van der Pauw

e^{{-pi R_{{12,34}}/R_{s}}}+e^{{-pi R_{{23,41}}/R_{s}}}=1

Medidas recíprocas

El teorema de reciprocidad [1] nos dice que

R_{{AB,CD}}=R_{{CD,AB}}

Por lo tanto, es posible obtener un valor más preciso para las resistencias $R_{{12,34}}$ y $R_{{23,41}}$ haciendo dos mediciones adicionales de sus valores recíprocos $R_{{34,12}}$ y $R_{{41,23}}$ y promediando los resultados.

Nosotros definimos

R_{{{text{vertical}}}}={frac {R_{{12,34}}+R_{{34,12}}}{2}}

R_{{{text{horizontal}}}}={frac {R_{{23,41}}+R_{{41,23}}}{2}}

Entonces, la fórmula de van der Pauw se convierte en

e^{{-pi R_{{{text{vertical}}}}/R_{S}}}+e^{{-pi R_{{{text{horizontal}}}}/R_{S}}}=1

Medidas de polaridad invertida

Se puede obtener una mejora adicional en la precisión de los valores de resistencia repitiendo las mediciones de resistencia después de cambiar las polaridades tanto de la fuente de corriente como del medidor de voltaje. Dado que esto sigue midiendo la misma porción de la muestra, justo en la dirección opuesta, los valores de R_vertical y R_horizontal todavía se puede calcular como los promedios de las mediciones de polaridad estándar e invertida. La ventaja de hacer esto es que cualquier voltaje compensado, como los potenciales termoeléctricos debido al efecto Seebeck, se cancelará.

La combinación de estos métodos con las mediciones recíprocas anteriores lleva a que las fórmulas para las resistencias sean

R_{{{text{vertical}}}}={frac {R_{{12,34}}+R_{{34,12}}+R_{{21,43}}+R_{{43,21}}}{4}}

R_{{{text{horizontal}}}}={frac {R_{{23,41}}+R_{{41,23}}+R_{{32,14}}+R_{{14,32}}}{4}}

La fórmula de van der Pauw toma la misma forma que en la sección anterior.

Precisión de medición

Ambos procedimientos anteriores verifican la repetibilidad de las mediciones. Si alguna de las mediciones de polaridad invertida no coincide con un grado suficiente de precisión (generalmente dentro del 3%) con la medición de polaridad estándar correspondiente, entonces probablemente haya una fuente de error en algún lugar de la configuración, que debe investigarse antes. continuo. El mismo principio se aplica a las medidas recíprocas: deben coincidir en un grado suficiente antes de usarse en cualquier cálculo.

Cálculo de la resistencia de la lámina

En general, la fórmula de van der Pauw no se puede reorganizar para dar la resistencia laminar R_S en términos de funciones conocidas. La excepción más notable a esto es cuando R_vertical = R = R_horizontal; En este escenario, la resistencia de la lámina está dada por

{displaystyle R_{S}={frac {pi R}{ln 2}}}

El cociente ${displaystyle pi /ln 2}$ se conoce como la constante van der Pauw y tiene valor aproximado 4.53236. En la mayoría de los otros escenarios, un método iterativo se utiliza para resolver la fórmula van der Pauw numéricamente para R_S. Típicamente se considera que una fórmula fracasa las condiciones previas para Banach Fixed Point Theorem, por lo que los métodos basados en ella no funcionan. En cambio, los intervalos anidados convergen lentamente pero constantemente. Recientemente, sin embargo, se ha demostrado que una adecuada reformulación del problema van der Pauw (por ejemplo, mediante la introducción de una segunda fórmula van der Pauw) lo hace totalmente solvable por el método de puntos fijos de Banach.

Como alternativa, un método de Newton-Raphson converge relativamente rápido. Para reducir la complejidad de la notación, se introducen las siguientes variables:

{displaystyle s=e^{-pi /{R_{s}}}}

{displaystyle R_{v}=R_{vertical}}

{displaystyle R_{h}=R_{horizontal}}

Luego la siguiente aproximación ${displaystyle R_{s}^{+}}$ calculada

{displaystyle R_{s}^{+}=R_{s}+R_{s}^{2}{frac {1-s^{R_{v}}-s^{R_{h}}}{pi (R_{v}s^{R_{v}}+R_{h}s^{R_{h}})}}}

Medidas del pasillo

Antecedentes

Cuando una partícula cargada, como un electrón, se coloca en un campo magnético, experimenta una fuerza de Lorentz proporcional a la intensidad del campo y la velocidad a la que viaja a través de él. Esta fuerza es más fuerte cuando la dirección del movimiento es perpendicular a la dirección del campo magnético; en este caso la fuerza

F_{L}=qvB,!

Donde $q$ es la carga en la partícula en coulombs, $v$ la velocidad que está viajando a (centros por segundo), y $B$ la fuerza del campo magnético (Wb/cm2). Tenga en cuenta que los centímetros se utilizan a menudo para medir la longitud en la industria semiconductora, por lo que se utilizan aquí en lugar de las unidades SI de metros.

Cuando se aplica una corriente a una pieza de material semiconductor, se produce un flujo constante de electrones a través del material (como se muestra en las partes (a) y (b) de la figura adjunta). La velocidad a la que viajan los electrones es (ver corriente eléctrica):

v={frac {I}{nAq}}

Donde $n$ es la densidad de electrones, $A$ es el área transversal del material y $q$ la carga elemental (1.602×10⁻¹⁹ coulombs).

Si un campo magnético externo se aplica perpendicularmente a la dirección del flujo actual, entonces la fuerza de Lorentz resultante hará que los electrones se acumulen a un borde de la muestra (ver parte c) de la figura). Combinando las dos ecuaciones anteriores, y notando que $q$ es la carga en un electrón, resulta en una fórmula para la fuerza Lorentz experimentada por los electrones:

F_{L}={frac {IB}{nA}}

Esta acumulación creará un campo eléctrico a través del material debido a la distribución desigual de carga, como se muestra en parte d) de la figura. Esto a su vez conduce a una diferencia potencial a través del material, conocido como el voltaje del Hall $V_{H}$ . La corriente, sin embargo, sigue fluyendo sólo a lo largo del material, lo que indica que la fuerza sobre los electrones debido a los equilibrios de campo eléctrico la fuerza Lorentz. Desde la fuerza en un electrón de un campo eléctrico $epsilon$ es $qepsilon$ , podemos decir que la fuerza del campo eléctrico es por lo tanto

epsilon ={frac {IB}{qnA}}

Finalmente, la magnitud del voltaje Hall es simplemente la fuerza del campo eléctrico multiplicada por el ancho del material; eso es,

{displaystyle {begin{aligned}V_{H}&=wepsilon \&={frac {wIB}{qnA}}\&={frac {IB}{qnt}}end{aligned}}}

Donde $t$ es el espesor del material. Desde la densidad de la hoja $n_{s}$ se define como la densidad de electrones multiplicada por el espesor del material, podemos definir el voltaje del Hall en términos de la densidad de la hoja:

V_{H}={frac {IB}{qn_{s}}}

Haciendo las mediciones

Es necesario realizar dos conjuntos de mediciones: uno con un campo magnético en la dirección z positiva como se muestra arriba, y otro con él en la dirección z negativa. dirección. A partir de ahora, las tensiones registradas con campo positivo tendrán un subíndice P (por ejemplo, V_{13, P} = V_{3, P} - V_{1, P}) y los registrados con un campo negativo tendrán un subíndice N (como V_{13, N} = V_{3, N} - V_{1, N}). Para todas las mediciones, la magnitud de la corriente inyectada debe mantenerse igual; La magnitud del campo magnético también debe ser la misma en ambas direcciones.

En primer lugar, con un campo magnético positivo, se aplica la corriente I₂₄ a la muestra y se aplica la tensión V_{13, P}; Tenga en cuenta que los voltajes pueden ser positivos o negativos. Luego, esto se repite para I₁₃ y V_{42, P}.

Como antes, podemos aprovechar el teorema de reciprocidad para comprobar la precisión de estas mediciones. Si invertimos la dirección de las corrientes (es decir, aplicamos la corriente I₄₂ y medimos V_{31, P}, y repita para I₃₁ y V_{24, P}), luego V_{13, P} debe ser igual que V_{31, P} con un grado de error adecuadamente pequeño. De manera similar, V_{42, P} y V_{24, P} deberían coincidir.

Habiendo completado las mediciones, se aplica un campo magnético negativo en lugar del positivo, y se repite el procedimiento anterior para obtener las mediciones de voltaje V_{13, N}, V_{42, N}, V_{31, N} y V_{24, N}.

Cálculos

Inicialmente, se calcula la diferencia de voltajes para campos magnéticos positivos y negativos:

V₁₃ = V_{13, P} − V_{13, N}
V₂₄ = V_{24, P} − V_{24, N}
V₃₁ = V_{31, P} − V_{31, N}
V₄₂ = V_{42, P} − V_{42, N}

El voltaje Hall general es entonces

V_{H}={frac {V_{{13}}+V_{{24}}+V_{{31}}+V_{{42}}}{8}}

La polaridad de este voltaje Hall indica el tipo de material del que está hecha la muestra; si es positivo, el material es tipo P, y si es negativo, el material es tipo N.

La fórmula dada al fondo se puede reorganizar para mostrar que la densidad de la hoja

n_{s}={frac {IB}{q|V_{H}|}}

Tenga en cuenta que la intensidad del campo magnético B debe estar en unidades de Wb/cm² si n_s está en cm⁻². Por ejemplo, si la fuerza se da en las unidades comúnmente utilizadas de teslas, se puede convertir multiplicándola por 10⁻⁴.

Otros cálculos

Movilidad

Se puede demostrar que la resistividad de un material semiconductor es

rho ={frac {1}{q(nmu _{n}+pmu _{p})}}

donde n y p son la concentración de electrones y huecos en el material respectivamente, y μ_n y μ_p son la movilidad de los electrones y los huecos respectivamente.

Generalmente, el material está lo suficientemente dopado como para que haya una diferencia de muchos órdenes de magnitud entre las dos concentraciones, lo que permite simplificar esta ecuación a

rho ={frac {1}{qn_{m}mu _{m}}}

donde n_m y μ_m son el nivel de dopaje y la movilidad del portador mayoritario, respectivamente.

Si entonces observamos que la resistencia laminar R_S es la resistividad dividida por el espesor de la muestra, y que la densidad laminar n_S es el nivel de dopaje multiplicado por el espesor, podemos dividir la ecuación por el espesor para obtener

R_{s}={frac {1}{qn_{s}mu _{m}}}

Esto luego se puede reorganizar para darle movilidad al portador mayoritario en términos de la resistencia de la lámina y la densidad de la lámina calculadas previamente:

mu _{m}={frac {1}{qn_{s}R_{s}}}

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