Método de Runge-Kutta (SDE)

En matemáticas de sistemas estocásticos, el método de Runge-Kutta es una técnica para la solución numérica aproximada de una ecuación diferencial estocástica. Es una generalización del método de Runge-Kutta para ecuaciones diferenciales ordinarias a ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS). Es importante destacar que el método no implica conocer las derivadas de las funciones de coeficientes en las EDS.

Considere la difusión Itō ${\displaystyle X}$ satisfaciendo lo siguiente Ecuación diferencial estocástica $${\displaystyle dX_{t}=a(X_{t})\,dt+b(X_{t}\,dW_{t}$$con condición inicial ${\displaystyle X_{0}=x_{0}$, donde ${\displaystyle W_{t}$ representa el proceso de Wiener, y supone que deseamos resolver este SDE en algún intervalo de tiempo ${\displaystyle [0,T]}$. Entonces lo básico aproximación de Runge-Kutta a la verdadera solución ${\displaystyle X}$ es la cadena Markov ${\displaystyle Sí.$ definido como sigue:

• partición el intervalo ${\displaystyle [0,T]}$ en ${\displaystyle N}$ subintervalos de ancho ${\displaystyle \delta =T/N título0}$: $${\displaystyle 0=\tau _{0}traducido\tau _{1}traducidos\dots$$
• set ${\displaystyle Y...$;
• recursivamente computador ${\displaystyle Y...$ para ${\displaystyle 1\leq n\leq N.$ por $${\displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n}\delta +b(Y_{n})\ Delta ¿Por qué?$$ Donde ${\displaystyle Delta W_{n}=W_{\tau ¿Qué? ¿Qué?$ y ${\displaystyle {\hat {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f}\fnMicrosoft {\\fn\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\fn\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft }_{n}=Y_{n}+a(Y_{n}\delta - ¿Qué?$

Las variables aleatorias ${\displaystyle Delta W_{n}$ son variables aleatorias normales independientes y distribuidas idénticamente con valor previsto cero y varianza ${\displaystyle \delta }$.

Este esquema tiene un orden fuerte 1, lo que significa que el error de aproximación de la solución real en una escala de tiempo fija con el paso del tiempo ${\displaystyle \delta }$. También tiene un orden débil 1, que significa que el error en las estadísticas de las escalas de solución con el paso del tiempo ${\displaystyle \delta }$. Consulte las referencias para declaraciones completas y exactas.

Funciones ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ puede estar variando tiempo sin ninguna complicación. El método se puede generalizar al caso de varias ecuaciones acopladas; el principio es el mismo pero las ecuaciones se vuelven más largas.

Un nuevo esquema Runge-Kutta también de fuerte orden 1 reduce directamente al mejor esquema Euler para los ODE deterministas. Considere el proceso estocástico vectorial ${\displaystyle {\vec {x}(t)\in \mathbb {R} }$ que satisface el Ito general SDE $${\displaystyle d{\vec}={\vec {a}(t,{\vec {X}})\,dt+{\vec {b}}(t,{\vec {X}})\,dW,}$$Donde la deriva ${\displaystyle {\vec}}$ y volatilidad ${\displaystyle {\vec}}$ son funciones suficientemente suaves de sus argumentos. Dado el paso del tiempo ${\displaystyle h}$, y dado el valor ${\displaystyle {\vec}(t_{k}={\vec} {X}_{k}$, Estimación ${\displaystyle {\vec {X}(t_{k+1})}$ por ${\displaystyle {\vec}_{k+1}$ por tiempo ${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+h}$ via $${\displaystyle {\begin{l}{\vec} {K}_{1}=h{\vec} {a}(t_{k},{\vec} {X}_{k})+( Delta W_{k}-S_{\sqrt {h}){\vec {b}(t_{k},{\vec} {X}_{k}),\\{\vec} {K}_{2}=h{\vec} {a}(t_{k+1},{\vec} {X}_{k}+{\vec} {K}_{1})+(Delta) ¿Qué? {X}_{k}+{\vec} {K}_{1}),\\\{\vec} {X}_{k+1}={\vec} {X}_{} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f}}} {\f}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}\f}\f}}}}}\f}\\\\f}\f}\f}\\f}\f}\f}\f}\\\\f}\f}\\f}\f}\\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\\f}\f}\\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\\f}\f}\f}\\\f}\f}\f}\f}\f}\\fn {K}_{1}+{\vec} {K}_{2}),\end{array}}$$

• Donde ${\displaystyle Delta W_{k}={\sqrt {h}Z_{k}$ para el azar normal ${\displaystyle Z_{k}\sim N(0,1)}$;
• y dónde ${\displaystyle S_{k}=\pm 1}$, cada alternativa elegida con probabilidad ${\displaystyle 1/2}$.

Lo anterior describe sólo un paso de tiempo. Repita este paso de tiempo ${\displaystyle (t_{m}-t_{0}/h}$ tiempos para integrar el SDE de vez en cuando ${\displaystyle t=t_{0}$ a ${\displaystyle t=t_{m}$.

El esquema integra las SDEs de Stratonovich ${\displaystyle O(h)}$ proporcionados uno ${\displaystyle S_{k}=0}$ (en lugar de elegir) ${\displaystyle \pm 1}$).

También existen esquemas de orden superior, pero se vuelven cada vez más complejos. Rößler desarrolló muchos esquemas para ecuaciones diferenciales de Ito, mientras que Komori desarrolló esquemas para ecuaciones diferenciales de Stratonovich. Rackauckas extendió estos esquemas para permitir el escalonamiento temporal adaptativo mediante muestreo de rechazo con memoria (RSwM), lo que resultó en aumentos de eficiencia de órdenes de magnitud en modelos biológicos prácticos, junto con la optimización de coeficientes para una estabilidad mejorada.