Método de red de vórtices

El método de red de vórtices (VLM) es un método numérico utilizado en dinámica de fluidos computacional, principalmente en las etapas iniciales del diseño aeronáutico y en la formación aerodinámica universitaria. El VLM modela las superficies sustentadoras de una aeronave, como un ala, como una lámina infinitamente delgada de vórtices discretos para calcular la sustentación y la resistencia inducida. Se ignora la influencia del espesor y la viscosidad.Los VLM pueden calcular el flujo alrededor de un ala con una definición geométrica rudimentaria. Para un ala rectangular, basta con conocer la envergadura y la cuerda. Por otro lado, pueden describir el flujo alrededor de una geometría de aeronave bastante compleja (con múltiples superficies sustentadoras con conicidad, rizos, torsión, comba, superficies de control del borde de salida y muchas otras características geométricas).Al simular el campo de flujo, se puede extraer la distribución de presión o, como en el caso del VLM, la distribución de fuerza alrededor del cuerpo simulado. Este conocimiento se utiliza para calcular los coeficientes aerodinámicos y sus derivadas, importantes para evaluar las cualidades de manejo de la aeronave en la fase de diseño conceptual. Con una estimación inicial de la distribución de presión en el ala, los diseñadores estructurales pueden comenzar a diseñar las partes portantes de las alas, la aleta, el estabilizador vertical y otras superficies sustentadoras. Además, si bien el VLM no puede calcular la resistencia viscosa, sí puede estimar la resistencia inducida derivada de la generación de sustentación. Por lo tanto, dado que la resistencia debe equilibrarse con el empuje en la configuración de crucero, el grupo de propulsión también puede obtener datos importantes de la simulación VLM.John DeYoung ofrece una reseña histórica del VLM en la documentación del taller de la NASA en Langley SP-405.El VLM es la extensión de la teoría de líneas de sustentación de Prandtl, donde el ala de una aeronave se modela como un número infinito de vórtices de herradura. El nombre fue acuñado por V.M. Falkner en su artículo del Consejo de Investigación Aeronáutica de 1946. Desde entonces, el método ha sido desarrollado y perfeccionado por W.P. Jones, H. Schlichting, G.N. Ward y otros.Aunque los cálculos necesarios pueden realizarse manualmente, el VLM se benefició de la llegada de las computadoras para la gran cantidad de cálculos que se requieren.En lugar de un solo vórtice de herradura por ala, como en la teoría de líneas de sustentación, el VLM utiliza una red de vórtices de herradura, como lo describió Falkner en su primer artículo sobre este tema en 1943. El número de vórtices utilizados varía según la resolución de distribución de presión requerida y la precisión requerida en los coeficientes aerodinámicos calculados. Un número típico de vórtices sería de alrededor de 100 para un ala de avión completa; un informe del Consejo de Investigación Aeronáutica de Falkner, publicado en 1949, menciona el uso de una "red de 84 vórtices" antes de la estandarización de la red de 126 (p. 4).El método se describe de forma clara y comprensible en los principales libros de texto de aerodinámica, como Katz & Plotkin, Anderson, Bertin & Smith, Houghton & Carpenter o Drela.El método de red de vórtices se basa en la teoría del flujo ideal, también conocido como flujo potencial. El flujo ideal es una simplificación del flujo real que se experimenta en la naturaleza; sin embargo, para muchas aplicaciones de ingeniería, esta representación simplificada posee todas las propiedades importantes desde el punto de vista ingenieril. Este método ignora todos los efectos viscosos. La turbulencia, la disipación y las capas límite no se resuelven en absoluto. Sin embargo, se puede evaluar la resistencia inducida por la sustentación y, con especial cuidado, se pueden modelar algunos fenómenos de pérdida de sustentación.Se parte de las siguientes suposiciones respecto al problema del método de red de vórtices:

• El campo de flujo es incompresible, invisible e irrotacional. Sin embargo, el flujo compresible subsónico pequeño-disturbance puede ser modelado si la transformación general 3D Prandtl-Glauert se incorpora en el método.
• Las superficies de elevación son delgadas. Se descuida la influencia del espesor en las fuerzas aerodinámicas.
• El ángulo del ataque y el ángulo del clip de los lados son una aproximación de ángulo pequeño y pequeño.

Por las suposiciones anteriores el campo de flujo es campo vectorial conservador, lo que significa que allí existe un potencial de velocidad de perturbación ${\displaystyle \varphi }$ tal que el vector de velocidad total ${\displaystyle \mathbf {V}$ es dado por

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _{\infty }+\nabla \varphi }$

y eso ${\displaystyle \varphi }$ satisfice la ecuación de Laplace.

La ecuación de Laplace es una segunda ecuación lineal de orden, y siendo así que está sujeto al principio de la superposición. Lo que significa que si ${\displaystyle \varphi _{1}$ y ${\displaystyle \varphi _{2}$ son dos soluciones de la ecuación diferencial lineal, luego la combinación lineal ${\displaystyle c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2}$ es también una solución para cualquier valor de las constantes ${\displaystyle C_{1}$ y ${\displaystyle c_{2}$. Como Anderson lo puso "Un patrón de flujo complicado para un flujo irrotacional e incompresible se puede sintetizar agregando un número de flujos elementales, que también son irrotacionales e incompresibles.” Tales flujos elementales son la fuente de puntos o el sumidero, el doble y la línea de vórtice, cada uno siendo una solución de la ecuación de Laplace. Estos pueden ser superpuestos de muchas maneras para crear la formación de fuentes de línea, hojas de vórtice y así sucesivamente. En el método Vortex Lattice, cada uno de estos flujos elementales es el campo de velocidad de un vórtice herrtex con cierta fuerza ${\displaystyle "Gamma"$.

Todas las superficies de elevación de un avión se dividen en algún número de paneles cuadriláteros, y un vórtice de herradura y un punto de colocación (o punto de control) se colocan en cada panel. El segmento transversal del vórtice está en la posición 1/4 del acorde del panel, mientras que el punto de ubicación está en la posición 3/4 del acorde. La fuerza del vórtice ${\displaystyle "Gamma"$ está por determinar. Un vector normal ${\displaystyle \mathbf {n}$ se coloca también en cada punto de collocación, que se establece normal a la superficie de camber de la superficie de elevación real.

Para un problema con ${\displaystyle N}$ paneles, la velocidad de perturbación en el punto de ubicación ${\displaystyle i}$ se da resumiendo las contribuciones de todos los vórtices herrónicos en términos de un coeficiente de influencia aerodinámica (AIC) matriz ${\displaystyle \mathbf {w} ¿Qué?$.

${\displaystyle \nabla \varphi ¿Qué? ¿Por qué?$

El vector de velocidad de flujo libre se da en términos de la velocidad de flujo libre ${\displaystyle V_{\infty}$ y los ángulos de ataque y de retroceso, ${\displaystyle \alpha\beta}$.

${\displaystyle \mathbf {V} _{\infty }=V_{\infty }{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\\-\sin \beta\\\alpha \cos \beta\end{bmatrix}}}} {\c} {\c} {\c}}} {\c}$

Se aplica una condición de contorno de Neumann en cada punto de colocación, que establece que la velocidad normal a través de la superficie de comba es cero. Implementaciones alternativas también pueden usar la condición de contorno de Dirichlet directamente sobre el potencial de velocidad.

${\displaystyle \mathbf {v} ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué?$

Esto también se conoce como la condición de la tangencia de flujo. Evaluando los productos de puntos por encima del siguiente sistema de resultados de ecuaciones. La nueva matriz AIC lavado normal es ${\displaystyle a_{ij}=\mathbf {w}\cdot \mathbf {n} ¿Qué?$, y el lado derecho está formado por la velocidad de flujo libre y los dos ángulos aerodinámicos ${\displaystyle b_{i}=V_{\infty }[-\cos \alpha \cos \beta\sin \beta-\sin \alpha \cos \beta ]\cdot \mathbf {n} ¿Qué?$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11} limita_{12} limit\cdots 'a_{1N}\a_{21} limit\ddots ' limit\vdots \\\vdots " limit\ddots " \\a_{N1} {\begin{bmatrix}\Gamma ¿Qué? Gamma _{2}\\\\\vdots \\Gamma ##### {\begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\\\vdots {\fn}}$

Este sistema de ecuaciones se resuelve para todas las fortalezas del vórtice ${\displaystyle "Gamma"$. El vector de la fuerza total ${\displaystyle \mathbf {F}$ and total moment vector ${\displaystyle \mathbf}$ sobre el origen se calculan resumiendo las contribuciones de todas las fuerzas ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}$ en todas las herraduras individuales ${\displaystyle \rho }$ siendo la densidad del fluido.

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\rho "Gamma" {V} _{\infty }+\mathbf {v} _{i})\times \mathbf {l} ¿Qué?$

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum ¿Qué? {F} _{i}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\sum ¿Qué? {F} _{i}\times \mathbf {r} _{i}$

Aquí, ${\displaystyle \mathbf {l} _{i}$ es el vector del segmento transversal del vórtice, y ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}$ es la velocidad de perturbación en la ubicación central de este segmento ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}$ (no en el punto de ubicación).

El ascensor y la arrastre inducida se obtienen del ${\displaystyle x,y,z}$ componentes del vector de fuerza total ${\displaystyle \mathbf {F}$. Para el caso de cero clip estos son dados por

${\displaystyle {\begin{rcl}D_{i} consiguiendo un golpe\;\;F_{x}\cos \alpha +F_{z}\sin \alpha \\L simultáneamente\\!-F_{x}\sin \alpha +F_{z}\cos \alpha \end{array}}}$

El diseño preliminar de aeronaves requiere modelos aerodinámicos inestables, generalmente escritos en el dominio de la frecuencia para análisis aeroelásticos. El método de red de dobletes es comúnmente utilizado, donde el sistema alar se subdivide en paneles. Cada panel tiene una línea de dobletes de potencial de aceleración en el primer cuarto de línea, similar a lo que se suele hacer en el método de red de vórtices. Cada panel tiene un punto de carga donde se supone que se aplica la fuerza de sustentación y un punto de control donde se cumple la condición de contorno aeroelástica. El método de red de dobletes evaluado a frecuencia cero se obtiene generalmente con una formulación de red de vórtices.

• http://web.mit.edu/drela/Public/web/avl/
• https://github.com/OpenVOGEL

• NASA, Vortex-lattice use. NASA SP-405, NASA-Langley, Washington, 1976.
• Prandtl. L, Aplicaciones de la hidrodinámica moderna a la aeronáutica, NACA-TR-116, NASA, 1923.
• Falkner. V.M., La precisión de cálculos basados en la teoría de la celosía de Vortex, Rep. No 9621, British A.R.C., 1946.
• J. Katz, A. Plotkin, Aerodinámica de baja emisión, segunda edición, Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
• J.D. Anderson Jr, Fundamentos de la aerodinámica, 2a edición, McGraw-Hill Inc, 1991.
• J.J. Bertin, M.L. Smith, Aerodinámica para Ingenieros, 3a edición, Prentice Hall, New Jersey, 1998.
• E.L. Houghton, P.W. Carpenter, Aerodinámica para Estudiantes de Ingeniería, 4a edición, Edward Arnold, Londres, 1993.
• Lamar, J. E., Herbert, H. E., Versión de producción del extenso programa informático FORTRAN NASA-Langley vortex. Volumen 1: Guía del usuario, NASA-TM-83303, NASA, 1982
• Lamar, J. E., Herbert, H. E., Versión de producción del extenso programa informático FORTRAN NASA-Langley vortex. Volumen 2: Código fuente, NASA-TM-83304, NASA, 1982
• Melin, Thomas, A Vortex Lattice MATLAB Implementación para aplicaciones lineales de ala aerodinámica, Royal Institute of Technology (KTH), Sweden, December, 2000
• M. Drela, Aerodinámica del vehículo de vueloMIT Press, Cambridge, MA, 2014.