Método de frobenius

En matemáticas, el método de Frobenius, llamado así en honor a Ferdinand Georg Frobenius, es una forma de encontrar una solución en serie infinita para una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma

$${\displaystyle z^{2}u'+p(z)zu'+q(z)u=0}$$

${\textstyle u'\equiv {\fnh} {\fnK}}$

${\textstyle u'\equiv {\fnMicroc {\fnK}} {\fnK}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}}} {\fn}}}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}$

en las proximidades del punto singular regular ${\displaystyle z=0}$.

Uno puede dividirse ${\displaystyle z^{2}$ para obtener una ecuación diferencial de la forma

$${\displaystyle u'+{\frac {p(z)}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}u=0}$$

Historia: Frobenius' contribuciones reales

Frobenius' La contribución no fue tanta en todas las formas posibles de las soluciones en serie involucradas (ver más abajo). Todas estas formas habían sido establecidas anteriormente por Fuchs. Fuchs también había establecido el polinomio indicador (ver más abajo) y su función.

Una primera contribución de Frobenius a la teoría fue mostrar que, en lo que respecta a una primera solución linealmente independiente, que luego tiene la forma de una serie de potencias analíticas multiplicada por una potencia arbitraria r de la variable independiente (ver más abajo): los coeficientes de la serie de potencias generalizadas obedecen a una relación de recurrencia, de modo que siempre se pueden calcular de manera sencilla.

Una segunda contribución de Frobenius fue mostrar que, en los casos en los que las raíces de la ecuación inicial difieren en un número entero, la forma general de la segunda solución linealmente independiente (ver más abajo) puede ser obtenido mediante un procedimiento que se basa en la diferenciación con respecto al parámetro r, mencionado anteriormente.

Una gran parte de Frobenius' La publicación de 1873 se dedicó a las pruebas de convergencia de todas las series involucradas en las soluciones, así como a establecer los radios de convergencia de estas series.

Explicación del método de Frobenius: primera solución linealmente independiente

El método de Frobenius consiste en buscar una solución en serie de potencias de la forma

$${\displaystyle u(z)=z^{r}\sum ¿Por qué?$$

Diferenciación:

$${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}{\infty }A_{k}z^{k+r-1}$$

$${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}{\infty }(k+r-1)(k+r) A_{k}z^{k+r-2}$$

Sustituyendo la diferenciación anterior en nuestra EDO original:

$${\displaystyle {\begin{aligned} ¿Por qué? }A_{k}z^{k+r}\={} ¿Por qué? }A_{k}z^{k+r}\={} ¿Por qué? {\fnMicrosoft Sans Serif}*$$

La expresión

$${\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}$$

Usando esto, la expresión general del coeficiente de z^{k + r< /sup>} es

$${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0)\over (k-j)}} A_{j},}$$

Estos coeficientes deben ser cero, ya que deben ser soluciones de la ecuación diferencial, por lo que

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)}} A_{j=0\[4pt]\sum _{j=0}{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0)\over (k-j)}} A_{j}=-I(k+r)A_{k}\[4pt]{1\over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0)\over (k-j)}} A_{j}=A_{k}\end{aligned}$$

La solución en serie con A_k arriba,

$${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}{\infty }A_{k}z^{k+r}$$

$${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)'''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}$$

Si elegimos una de las raíces del polinomio inicial para r en U_r(z), obtenemos una solución a la ecuación diferencial. Si la diferencia entre las raíces no es un número entero, obtenemos otra solución linealmente independiente en la otra raíz.

Ejemplo

Resolvamos

$${\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0}$$

Divida entre z² para dar

$${\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}f=f'''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}-{1 \over z}\right)f=0}$$

Utilice la solución de serie

$${\displaystyle {\begin{aligned}f ¿Qué? }A_{k}z^{k+r}\f' limit=\sum ¿Por qué?$$

Ahora, sustituyendo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum ¿Por qué? {1}{2}}}-{\frac {1} {\s}\s}\s}\sum)} ¿Qué? - ¿Qué? ¿Por qué? {1}{2}}} ¿Qué? }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}\sum ¿Qué? - ¿Qué? _{k=0}\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum ¿Por qué? ¿Qué? }A_{k}z^{k+r-2}-\sum ¿Qué? }A_{k}z^{k+r-1}\\\\ _{k=0}\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum ¿Por qué? ¿Qué? }A_{k}z^{k+r-2}-\sum ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? }A_{k}z^{k+r-2}-\sum ¿Qué? }A_{k-1}z^{k+r-2}\\\\\fnMicrosoft\ {\fnMicrosoft} ¿Por qué? ¿Qué? }A_{k-1}z^{k+r-2}\\\\\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}\infty }\left(k+r-1)-(k+r)-(k+r)+1\right ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Qué? {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK} {\f}\f}\f}\f}\fnK}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\f}\fnK\f}\f}\fnK\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnun}\fnun}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnun}\fnK}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK$$

Desde ()r −1)² = 0 tenemos una doble raíz de 1. Usando esta raíz, fijamos el coeficiente de z^{k + r − 2} ser cero (para que sea una solución), que nos da:

$${\displaystyle (k+1-1)}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}$$

$${\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1} {k^{2}}}} {\c}}} {\cH}}}} {\cH}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}} {\cH}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}$$

Dadas algunas condiciones iniciales, podemos resolver la recurrencia por completo u obtener una solución en forma de serie de potencias.

Desde la proporción de coeficientes ${\displaystyle A_{k}/A_{k-1}$ es una función racional, la serie de potencia se puede escribir como una serie hipergeométrica generalizada.

"Los casos excepcionales": raíces separadas por un número entero

El ejemplo anterior involucró un polinomio inicial con una raíz repetida, que da solo una solución a la ecuación diferencial dada. En general, el método de Frobenius da dos soluciones independientes siempre que las raíces de la ecuación inicial no estén separadas por un número entero (incluido el cero).

Si la raíz se repite o las raíces difieren en un número entero, entonces la segunda solución se puede encontrar usando:

$${\displaystyle Y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}$$

${\displaystyle y_{1}(x)}$

${\displaystyle R_{2}$

${\displaystyle B_{k}$

${\displaystyle B_{0}$

${\displaystyle B_{k}$

${\displaystyle B_{r_{1}-r_{2}}$

${\displaystyle B_{k}.$

Ejemplo: considere la siguiente ecuación diferencial (ecuación de Kummer con a = 1 y b = 2):

$${\displaystyle zu'+(2-z)u'-u=0}$$

${\displaystyle 1/z}$

${\displaystyle e^{z}/z,}$

${\displaystyle (e^{z}-1)/z}$

${\displaystyle z^{-1}$

${\displaystyle z^{0}$

Relaciones de recurrencia en tándem para coeficientes de serie en casos excepcionales

En los casos en que las raíces del polinomio indicial difieren por un entero (incluyendo cero), los coeficientes de todas las series implicados en segundas soluciones linealmente independientes pueden calcularse directamente desde Relaciones de recurrencia tándem. Estas relaciones tándem se pueden construir desarrollando la invención original de Frobenius de diferenciar con respecto al parámetro r, y utilizando este enfoque para calcular realmente los coeficientes de serie en todos los casos.