Método de flexibilidad

En ingeniería estructural, el método de flexibilidad, también llamado método de deformaciones consistentes, es el método tradicional para calcular las fuerzas y desplazamientos de los miembros en sistemas estructurales. Su versión moderna formulada en términos de los miembros & # 39; Las matrices de flexibilidad también reciben el nombre de método de fuerza matricial debido a que utiliza las fuerzas de los miembros como principales incógnitas.

Flexibilidad de los miembros

La flexibilidad es lo opuesto a la rigidez. Por ejemplo, considere un resorte que tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y deformación:

• La relación de rigidez primaveral es Q = k q Donde k es la rigidez primaveral.
• Su relación de flexibilidad es q = f, donde f es la flexibilidad de primavera.
• Por lo tanto, f 1/k.

Una relación típica de flexibilidad de miembros tiene la siguiente forma general:

qm=fmQm+qom{displaystyle mathbf {q} ^{m}=mathbf {m}mathbf {fnMicrosoft}

()1)

dónde

m = número de miembro m.

qm{displaystyle mathbf {q} {m} = vector de las deformaciones características del miembro.

fm{displaystyle mathbf {f} {} {m} = matriz de flexibilidad miembro que caracteriza la susceptibilidad del miembro para deformar bajo fuerzas.

Qm{fnMicrosoft} = vector de las fuerzas características independientes del miembro, que son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan lugar a todas las fuerzas de los miembros del equilibrio.

qom{displaystyle mathbf {q} = vector de las deformaciones características del miembro causadas por efectos externos (como fuerzas conocidas y cambios de temperatura) aplicados al miembro aislado y desconectado (es decir, con Qm=0{displaystyle mathbf {Q} {}}=0}).

Para un sistema compuesto por muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, los miembros' las relaciones de flexibilidad se pueden juntar en una única ecuación matricial, eliminando el superíndice m:

qM× × 1=fM× × MQM× × 1+qM× × 1o{displaystyle mathbf {q} ¿Qué? ¿Por qué? {Q} _{Mtimes 1}+mathbf {q} ¿Qué?

()2)

donde M es el número total de miembros' deformaciones o fuerzas características en el sistema.

A diferencia del método de rigidez de la matriz, donde las relaciones de rigidez de los miembros se pueden integrar fácilmente a través del equilibrio nodal y las condiciones de compatibilidad, la forma actual de flexibilidad de la ecuación (2) plantea seria dificultad. Con fuerzas miembros QM× × 1{displaystyle mathbf {Q} _{Mtimes 1} como los principales desconocidos, el número de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la solución, en general, a menos que el sistema sea determinante estadísticamente.

Ecuaciones de equilibrio nodal

Para resolver esta dificultad, primero utilizamos las ecuaciones de equilibrio nodal para reducir el número de fuerzas independientes desconocidas en los miembros. La ecuación de equilibrio nodal del sistema tiene la forma:

RN× × 1=bN× × MQM× × 1+WN× × 1{displaystyle mathbf {R} _{Ntimes 1}=mathbf {b} ###{Ntimes M}mathbf {Q} _{Mtimes 1}+mathbf {W} _{Ntimes 1}

()3)

dónde

RN× × 1{displaystyle mathbf {R} _{Ntimes 1}: Vector de fuerzas nodal en todos los grados N de libertad del sistema.

bN× × M{displaystyle mathbf {b} ¿Por qué?: La matriz de equilibrio nodal resultante

WN× × 1{displaystyle mathbf {W} _{Ntimes 1}: El vector de fuerzas derivadas de la carga de los miembros.

En el caso de sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución para Q se puede encontrar inmediatamente a partir de (3) siempre que el sistema es estable.

El sistema primario

Para sistemas estáticamente indeterminados, M > N, y por lo tanto, podemos aumentar (3) con I = M−N ecuaciones de la forma:

Xi=α α Qj+β β Qk+⋯ ⋯ i=1,2,... ... ,I{displaystyle X_{i}=alpha Q_{j}+beta Q_{k}+cdots qquad i=1,2,ldotsI}

()4)

El vector X es el llamado vector de fuerzas redundantes y I es el grado de indeterminación estadística del sistema. Normalmente elegimos j, k, ... α α {displaystyle alpha }, y β β {displaystyle beta } tales que Xi{displaystyle X_{i} es una reacción de apoyo o una fuerza interna de miembro final. Con opciones adecuadas de fuerzas redundantes, el sistema de ecuación (3) aumentada por (4) ahora se puede resolver para obtener:

QM× × 1=BRRN× × 1+BXXI× × 1+Qv⋅ ⋅ M× × 1{displaystyle mathbf {Q} _{Mtimes 1}=mathbf {B}Mathbf {R} _{Ntimes 1}+mathbf {B}* {X} _{Itimes 1}+mathbf {Q} _{vcdot Mtimes 1}

()5)

La sustitución en (2) da:

qM× × 1=fM× × M()BRRN× × 1+BXXI× × 1+Qv⋅ ⋅ M× × 1)+qM× × 1o{displaystyle mathbf {q} ¿Qué? ¿Por qué? {R} _{Ntimes 1}+mathbf {B}* {X} _{Itimes 1}+mathbf {Q} _{vcdot Mtimes 1}{Big)}+mathbf {q} ¿Qué?

()6)

Ecuaciones5) y (6) son la solución para la sistema primario que es el sistema original que ha sido establecido estadísticamente por cortes que exponen las fuerzas redundantes X{displaystyle mathbf {X}. Ecuación (Ecuación)5) reduce efectivamente el conjunto de fuerzas desconocidas X{displaystyle mathbf {X}.

Ecuación de compatibilidad y solución

Siguiente, tenemos que configurar I{displaystyle I} ecuaciones de compatibilidad para encontrar X{displaystyle mathbf {X}. Las ecuaciones de compatibilidad restauran la continuidad necesaria en las secciones cortadas estableciendo los desplazamientos relativos rX{displaystyle mathbf {r} ¿Qué? en los redundantes X a cero. Es decir, usando el método de la fuerza del maniquí unidad:

rX=BXTq=BXT[f()BRR+BXX+Qv)+qo]=0{displaystyle mathbf {r} ¿Por qué? Grande. {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? Grande.

()7a)

o rX=FXXX+rXo=0{displaystyle mathbf {r} ¿Qué? {X} +mathbf {r} ¿Qué?

()7b)

dónde

FXX=BXTfBX{displaystyle mathbf {F} _{XX}=mathbf {B} _{T}mathbf {f} {B} _{X}

rXo=BXT[f()BRR+Qv)+qo]{displaystyle mathbf {r} ¿Qué? {B} _{T}{T} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fn}} {fn}} {fnMicrosoft} {fn}}}}} {fnK}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {\\\\\f}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Grande. {fnMicrosoft Sans Serif} {R} +mathbf {Q} _{ v}{Big)}+mathbf {q} {}{o}{} {\\fn} {fnMitbf} Grande.

La ecuación (7b) se puede resolver para X, y luego las fuerzas en los miembros se calculan a partir de (5), mientras que los desplazamientos nodales se pueden resolver. ser encontrado por

rR=BRTq=FRRR+rRo{displaystyle mathbf {r} ¿Por qué? {R} +mathbf {r} ¿Qué?

dónde

FRR=BRTfBR{displaystyle mathbf {F} _{RR}=mathbf {B} _{T}Mathbf {f} {B} _{R} es matriz de flexibilidad del sistema.

rRo=BRT[f()BXX+Qv)+qo]{displaystyle mathbf {r} ¿Qué? {B}{T}{T} {cHFF} {cHFF} {cHFF}}} {cHFF} {cHFF}} {cHFF} {cHFF}} {cHFF}} {cH00}} {cH00}}} {cH}}} {cH00}}}}}} {cH}}} {cH}}}}}}}}}}} {\cH}}}}}}}}} {cH}}}}}}} {ccH}} {cH}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH} {cH}} {cH} {c}}}}}} {cH}} {cH}} {cH}}}}} {cH}}}}}} {ccH}}}}}}}}}}}}}}}} Grande. {fnK}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}+mthbf {} {} {cH} {cH} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF}cHFF}cHFF}cHFF}}cHFF} {f}cHFF}cHFF}}}}cH00}}}cHFF}}cH00}}}}}}}}}cH}cH00} {cH00}cH00} {cH}cHFF}}}}}}}}}}}}}}cHFF} {cH00}}}}}}cHFF}cH00} {cH00}cH}}}cHFF} {cH}cHFF} {cHFF}}}}}}}cH Grande.

Los movimientos de apoyo que tienen lugar en los redundantes se pueden incluir en el lado derecho de la ecuación (7), mientras que los movimientos de apoyo en otros lugares deben ser incluidos en rXo{displaystyle mathbf {r} _{X} {o}} y rRo{displaystyle mathbf {r} _{R} {o}} también.

Ventajas y desventajas

Si bien la elección de fuerzas redundantes en (4) parece arbitraria y problemática para el cálculo automático, esta objeción puede superarse procediendo directamente de (3) a (5) utilizando un proceso de eliminación de Gauss-Jordan modificado. Este es un procedimiento robusto que selecciona automáticamente un buen conjunto de fuerzas redundantes para garantizar la estabilidad numérica.

Se desprende del proceso anterior que el método de rigidez de la matriz es más fácil de comprender e implementar para el cálculo automático. También es más fácil de ampliar para aplicaciones avanzadas como análisis no lineal, estabilidad, vibraciones, etc. Por estas razones, el método de rigidez de la matriz es el método de elección para su uso en paquetes de software de análisis estructural de uso general. Por otro lado, para sistemas lineales con un bajo grado de indeterminación estática, el método de flexibilidad tiene la ventaja de ser menos intensivo desde el punto de vista computacional. Esta ventaja, sin embargo, es discutible ya que las computadoras personales están ampliamente disponibles y son más poderosas. El principal factor redentor al aprender este método hoy en día es su valor educativo al impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad, además de su valor histórico. Por el contrario, el procedimiento del método de rigidez directa es tan mecánico que se corre el riesgo de utilizarlo sin una gran comprensión de los comportamientos estructurales.

Los argumentos anteriores fueron válidos hasta finales de los años 1990. Sin embargo, los avances recientes en computación numérica han mostrado un regreso del método de la fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Se han desarrollado nuevos marcos que permiten una evaluación "exacta" formulaciones independientemente del tipo o naturaleza de las no linealidades del sistema. Las principales ventajas del método de flexibilidad es que el error del resultado es independiente de la discretización del modelo y que efectivamente es un método muy rápido. Por ejemplo, la solución elástico-plástica de una viga continua utilizando el método de la fuerza requiere sólo 4 elementos de viga, mientras que una solución comercial "basada en la rigidez" El código FEM requiere 500 elementos para dar resultados con la misma precisión. Para concluir, se puede decir que en el caso en que la solución del problema requiera evaluaciones recursivas del campo de fuerzas como en el caso de la optimización estructural o la identificación del sistema, la eficiencia del método de flexibilidad es indiscutible.