Método de elementos finitos en mecánica estructural.
El método de elementos finitos (FEM) es una poderosa técnica desarrollada originalmente para la solución numérica de problemas complejos en mecánica estructural, y sigue siendo el método elegido para sistemas complejos. En el MEF, el sistema estructural se modela mediante un conjunto de elementos finitos apropiados interconectados en puntos discretos llamados nodos. Los elementos pueden tener propiedades físicas como espesor, coeficiente de expansión térmica, densidad, módulo de Young, módulo de corte y relación de Poisson.
Historia
El origen del método finito se remonta al análisis matricial de estructuras, donde se introdujo el concepto de enfoque matricial de desplazamiento o rigidez. Los conceptos de elementos finitos se desarrollaron basándose en métodos de ingeniería en la década de 1950. El método de los elementos finitos obtuvo su verdadero impulso en las décadas de 1960 y 1970 por parte de John Argyris y sus colaboradores; en la Universidad de Stuttgart, por Ray W. Clough; en la Universidad de California, Berkeley, por Olgierd Zienkiewicz y sus compañeros de trabajo Ernest Hinton, Bruce Irons; en la Universidad de Swansea, por Philippe G. Ciarlet; en la Universidad de París; en la Universidad de Cornell, por Richard Gallagher y colaboradores. Los trabajos originales, como los de Argyris y Clough, se convirtieron en la base de los métodos actuales de análisis estructural de elementos finitos.
Elementos unidimensionales rectos o curvos con propiedades físicas como rigidez axial, de flexión y de torsión. Este tipo de elemento es adecuado para modelar cables, tirantes, cerchas, vigas, rigidizadores, rejillas y pórticos. Los elementos rectos suelen tener dos nodos, uno en cada extremo, mientras que los elementos curvos necesitarán al menos tres nodos, incluidos los nodos finales. Los elementos se ubican en el eje centroidal de los miembros reales.
- Elementos bidimensionales que resisten solamente fuerzas en plano por acción de membrana (estres planos, cepas planas), y placas que resisten cargas transversales por acción transversal de corte y flexión (placas y conchas). Pueden tener una variedad de formas como triángulos planos o curvados y cuadriláteros. Los ganglios se colocan generalmente en las esquinas del elemento, y si es necesario para mayor precisión, se pueden colocar nodos adicionales a lo largo de los bordes del elemento o incluso dentro del elemento. Los elementos están colocados en la superficie media del espesor de capa real.
- Elementos en forma de toro para problemas axisimétricos como membranas, placas gruesas, cáscaras y sólidos. La sección transversal de los elementos son similares a los tipos descritos anteriormente: una dimensión para placas y cáscaras delgadas, y dos dimensiones para sólidos, placas gruesas y cáscaras.
- Elementos tridimensionales para modelar sólidos 3-D como componentes de máquinas, represas, terraplenes o masas de suelo. Las formas de elementos comunes incluyen tetraedrals y hexahedrals. Los nodos se colocan en los vértices y posiblemente en las caras del elemento o dentro del elemento.
Interconexión y desplazamiento de elementos
Los elementos están interconectados sólo en los nodos exteriores y, en conjunto, deben cubrir todo el dominio con la mayor precisión posible. Los nodos tendrán desplazamientos nodales (vectoriales) o grados de libertad que pueden incluir traslaciones, rotaciones y, para aplicaciones especiales, derivadas de desplazamientos de orden superior. Cuando los nodos se desplazan, arrastrarán los elementos de una cierta manera dictada por la formulación del elemento. En otras palabras, los desplazamientos de cualquier punto del elemento se interpolarán a partir de los desplazamientos nodales, y esta es la razón principal de la naturaleza aproximada de la solución.
Consideraciones prácticas
Desde el punto de vista de la aplicación, es importante modelar el sistema de manera que:
- Las condiciones de simetría o antisimetría se explotan para reducir el tamaño del modelo.
- La compatibilidad de desplazamiento, incluyendo cualquier discontinuidad necesaria, se garantiza en los nodos, y preferiblemente, a lo largo de los bordes del elemento también, especialmente cuando elementos adyacentes son de diferentes tipos, material o grosor. La compatibilidad de los desplazamientos de muchos nodos suele imponerse mediante relaciones de restricción.
- Los comportamientos de los elementos deben capturar las acciones dominantes del sistema real, tanto local como globalmente.
- La malla de elementos debe ser suficientemente fina para producir una precisión aceptable. Para evaluar la exactitud, la malla es refinada hasta que los resultados importantes muestran poco cambio. Para mayor precisión, la relación de aspecto de los elementos debe estar tan cerca de la unidad como sea posible, y se utilizan elementos más pequeños sobre las partes de mayor gradiente de estrés.
- Se imponen limitaciones de apoyo adecuadas con especial atención a los nodos sobre los ejes de simetría.
Los paquetes de software comerciales a gran escala a menudo proporcionan funciones para generar la malla y la visualización gráfica de la entrada y la salida, lo que facilita enormemente la verificación tanto de los datos de entrada como de la interpretación de los resultados.
Resumen teórico de la formulación de desplazamiento FEM: de los elementos al sistema y a la solución
Si bien la teoría de FEM se puede presentar en diferentes perspectivas o énfasis, su desarrollo para el análisis estructural sigue el enfoque más tradicional a través del principio de trabajo virtual o el principio de energía potencial total mínima. El enfoque del principio de trabajo virtual es más general ya que es aplicable a comportamientos de materiales tanto lineales como no lineales. El método del trabajo virtual es una expresión de conservación de energía: para sistemas conservadores, el trabajo agregado al sistema por un conjunto de fuerzas aplicadas es igual a la energía almacenada en el sistema en forma de energía de deformación de la estructura. componentes.
El principio de desplazamientos virtuales para el sistema estructural expresa la identidad matemática del trabajo virtual externo e interno:
| ()1) |
En otras palabras, la suma del trabajo realizado sobre el sistema por el conjunto de fuerzas externas es igual al trabajo almacenado como energía de deformación en los elementos que componen el sistema.
El trabajo interno virtual en el lado derecho de la ecuación anterior se puede encontrar sumando el trabajo virtual realizado en los elementos individuales. Esto último requiere que se utilicen funciones de fuerza-desplazamiento que describan la respuesta de cada elemento individual. Por tanto, el desplazamiento de la estructura se describe por la respuesta de elementos individuales (discretos) colectivamente. Las ecuaciones se escriben sólo para el pequeño dominio de elementos individuales de la estructura en lugar de una única ecuación que describa la respuesta del sistema como un todo (un continuo). Esto último daría lugar a un problema difícil de resolver, de ahí la utilidad del método de los elementos finitos. Como se muestra en las secciones siguientes, la ecuación (1) conduce a la siguiente ecuación de equilibrio gobernante para el sistema:
| ()2) |
dónde
- = vector de fuerzas nodales, representando fuerzas externas aplicadas a los nodos del sistema.
- = matriz de rigidez del sistema, que es el efecto colectivo del individuo matrices de rigidez de elementos:.
- = vector de los desplazamientos nodales del sistema.
- = vector de fuerzas nodales equivalentes, representando todos los efectos externos distintos de las fuerzas nodales que ya están incluidas en el vector anterior de la fuerza nodal R. Estos efectos externos pueden incluir fuerzas superficiales distribuidas o concentradas, fuerzas corporales, efectos térmicos, tensiones iniciales y cepas.
Una vez que los soportes' Si se tienen en cuenta las restricciones, los desplazamientos nodales se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones lineales (2), simbólicamente:
| ()3) |
Posteriormente, las deformaciones y tensiones en elementos individuales se pueden encontrar de la siguiente manera:
| ()4) |
| ()5) |
dónde
- = vector de un desplazamiento nodal - un subconjunto del sistema desplazamiento vector r que se refiere a los elementos que se examinan.
- = matriz de desplazamiento de tensión que transforma desplazamientos nodales q para cepas en cualquier punto del elemento.
- = matriz de elasticidad que transforma cepas efectivas a tensiones en cualquier punto del elemento.
- = vector de cepas iniciales en los elementos.
- = vector de tensiones iniciales en los elementos.
Aplicando la ecuación de trabajo virtual (1) al sistema, podemos establecer el elemento matrices , así como la técnica de montaje del sistema matrices y . Otras matrices como , , y son valores conocidos y se pueden configurar directamente desde la entrada de datos.
Funciones de interpolación o forma
Vamos. ser el vector de los desplazamientos nodales de un elemento típico. Los desplazamientos en cualquier otro punto del elemento pueden encontrarse mediante el uso de funciones de interpolación como, simbólicamente:
| ()6) |
dónde
- = vector de desplazamientos en cualquier punto {x,y,z} del elemento.
- = matriz funciones de forma servir como funciones de interpolación.
La ecuación (6) da lugar a otras cantidades de gran interés:
- Desplazamientos virtuales que son una función de desplazamientos nodales virtuales:
()6b) - Estrechos en los elementos que resultan de desplazamientos de los nodos del elemento:
()7) Donde = matriz de operadores diferenciales que convierten desplazamientos a cepas usando teoría de elasticidad lineal. Eq.(7) muestra que la matriz B en4) es
()8) - Tensiones virtuales compatibles con los desplazamientos nodales virtuales del elemento:
()9)
Trabajo virtual interno en un elemento típico
Para un elemento típico del volumen , el trabajo virtual interno debido a desplazamientos virtuales se obtiene por sustitución de (5) y (9En1):
| ()10) |
Matrices de elementos
Principalmente para facilitar la referencia, ahora se pueden definir las siguientes matrices pertenecientes a elementos típicos:
- Matriz de rigidez del elemento
| ()11) |
- vector de carga de elemento equivalente
| ()12) |
Estas matrices generalmente se evalúan numéricamente utilizando la cuadratura gaussiana para la integración numérica. Su uso se simplifica (10) a lo siguiente:
| ()13) |
Trabajo virtual del elemento en términos de desplazamientos nodales del sistema
Dado que el vector de desplazamiento nodal q es un subconjunto de los desplazamientos nodales del sistema r (para compatibilidad con elementos adyacentes), podemos reemplazar q > con r expandiendo el tamaño de las matrices de elementos con nuevas columnas y filas de ceros:
| ()14) |
donde, por simplicidad, utilizamos los mismos símbolos para las matrices de elementos, que ahora tienen un tamaño ampliado y filas y columnas adecuadamente reorganizadas.
Trabajo virtual del sistema
La suma del trabajo virtual interno (14) para todos los elementos da el lado derecho de (1):
| ()15) |
Considerando ahora el lado izquierdo de (1), el trabajo virtual externo del sistema consta de:
- El trabajo realizado por las fuerzas nodal R:
()16) - El trabajo realizado por fuerzas externas de la parte de los bordes o superficies de los elementos, y por las fuerzas del cuerpo
()17a) donde hemos introducido las matrices de elementos adicionales definidas a continuación:
()18a) ()18b) Una vez más, la integración numérica es conveniente para su evaluación. Un reemplazo similar de q en17aCon r da, después de reorganizar y expandir los vectores :
()17b)
Montaje de matrices del sistema
Añadiendo (16), (17b) y equiparar la suma a (15) da:
Desde los desplazamientos virtuales son arbitrarias, la igualdad anterior reduce a:
La comparación con (2) muestra que:
- La matriz de rigidez del sistema se obtiene resumiendo las matrices de rigidez de los elementos:
- El vector de fuerzas nodales equivalentes se obtiene resumiendo los vectores de carga de los elementos:
En la práctica, las matrices de elementos no se expanden ni se reorganizan. En cambio, la matriz de rigidez del sistema se monta añadiendo coeficientes individuales a donde los subscriptos ij, kl significa que los desplazamientos nodales del elemento coinciden respectivamente con los desplazamientos nodales del sistema . Análogamente, se monta añadiendo coeficientes individuales a Donde coincidencias . Esta adición directa en da el procedimiento el nombre Direct Stiffness Method.
