Método de elementos discretos

Un método de elementos discretos (DEM), también llamado método de elementos distintos, es cualquiera de una familia de métodos numéricos para calcular la movimiento y efecto de un gran número de pequeñas partículas. Aunque DEM está muy relacionado con la dinámica molecular, el método generalmente se distingue por la inclusión de grados de libertad de rotación, así como el contacto con estado y, a menudo, geometrías complicadas (incluidos los poliedros). Con los avances en el poder de cómputo y los algoritmos numéricos para la clasificación del vecino más cercano, se ha vuelto posible simular numéricamente millones de partículas en un solo procesador. En la actualidad, DEM se está volviendo ampliamente aceptado como un método efectivo para abordar problemas de ingeniería en materiales granulares y discontinuos, especialmente en flujos granulares, mecánica de polvos y mecánica de rocas. DEM se ha ampliado al método de elemento discreto ampliado teniendo en cuenta la transferencia de calor, la reacción química y el acoplamiento a CFD y FEM.

Los métodos de elementos discretos son relativamente intensivos desde el punto de vista computacional, lo que limita la duración de una simulación o el número de partículas. Varios códigos DEM, al igual que los códigos de dinámica molecular, aprovechan las capacidades de procesamiento en paralelo (sistemas compartidos o distribuidos) para escalar el número de partículas o la duración de la simulación. Una alternativa al tratamiento de todas las partículas por separado es promediar la física de muchas partículas y, por lo tanto, tratar el material como un continuo. En el caso del comportamiento granular de tipo sólido como en la mecánica de suelos, el enfoque continuo generalmente trata el material como elástico o elastoplástico y lo modela con el método de elementos finitos o un método sin malla. En el caso de un flujo granular similar a un líquido o un gas, el enfoque continuo puede tratar el material como un fluido y utilizar la dinámica de fluidos computacional. Sin embargo, los inconvenientes de la homogeneización de la física de escala granular están bien documentados y deben considerarse cuidadosamente antes de intentar utilizar un enfoque continuo.

La familia DEM

Las diversas ramas de la familia DEM son el método de elementos distintos propuesto por Peter A. Cundall y Otto D. L. Strack en 1979, el método de elementos discretos generalizados (Williams, Hocking & Mustoe 1985), el análisis de deformación discontinua (DDA) (Shi 1992) y el método de elementos discretos finitos desarrollado simultáneamente por varios grupos (por ejemplo, Munjiza y Owen). El método general fue desarrollado originalmente por Cundall en 1971 para problemas de mecánica de rocas. Williams, Hocking & Mustoe (1985) mostró que DEM podría verse como un método generalizado de elementos finitos. Su aplicación a problemas de geomecánica se describe en el libro Numerical Methods in Rock Mechanics (Williams, Pande & Beer 1990). Las 1ª, 2ª y 3ª Conferencias Internacionales sobre Métodos de Elementos Discretos han sido un punto común para que los investigadores publiquen avances en el método y sus aplicaciones. Williams, Bicanic y Bobet et al. han publicado artículos de revistas que revisan el estado del arte. (vea abajo). El libro The Combined Finite-Discrete Element Method contiene un tratamiento completo del método combinado de elementos finitos y elementos discretos.

Simulación de elementos discretos con partículas dispuestas después de una foto de Peter A. Cundall. Como se propone en Cundall y Strack (1979), los granos interactúan con fuerzas lineales-elásticas y fricción de Coulomb. Las cinemáticas de grano evolucionan a través del tiempo por la integración temporal de su fuerza y equilibrio de par. El comportamiento colectivo se autoorganiza con zonas de corte discretas y ángulos de reposo, como característicos de materiales granulares sin cohesión.

Aplicaciones

La suposición fundamental del método es que el material consta de partículas separadas y discretas. Estas partículas pueden tener diferentes formas y propiedades que influyen en el contacto entre partículas. Algunos ejemplos son:

• líquidos y soluciones, por ejemplo de azúcar o proteínas;
• materiales a granel en silos de almacenamiento, como el cereal;
• materia granular, como arena;
• polvos, como toner.
• masas rocosas bloqueadas o articuladas

Las industrias típicas que utilizan DEM son:

• Agricultura y manejo de alimentos
• Productos químicos
• Detergentes
• Aceite y gas
• Minería
• Tratamiento de minerales
• Industria farmacéutica
• Metalurgia de polvo

Esquema del método

Una simulación DEM se inicia generando primero un modelo, lo que da como resultado la orientación espacial de todas las partículas y la asignación de una velocidad inicial. Las fuerzas que actúan sobre cada partícula se calculan a partir de los datos iniciales y las leyes físicas y modelos de contacto relevantes. En general, una simulación consta de tres partes: la inicialización, el paso de tiempo explícito y el procesamiento posterior. El paso de tiempo generalmente requiere un paso de clasificación de vecinos más cercanos para reducir la cantidad de posibles pares de contactos y disminuir los requisitos computacionales; esto a menudo solo se realiza periódicamente.

Es posible que se deban considerar las siguientes fuerzas en las simulaciones macroscópicas:

• fricción, cuando dos partículas se tocan;
• contacto plasticidad, o retroceso, cuando dos partículas colliden;
• gravedad, fuerza de atracción entre partículas debido a su masa, que sólo es relevante en simulaciones astronómicas.
• potenciales atractivos, como la cohesión, la adherencia, el puente líquido, la atracción electrostática. Tenga en cuenta que, debido a la sobrecarga de determinar pares vecinos más cercanos, resolución exacta de largo alcance, en comparación con el tamaño de partículas, las fuerzas pueden aumentar el costo computacional o requieren algoritmos especializados para resolver estas interacciones.

A nivel molecular, podemos considerar:

• la fuerza Coulomb, la atracción electrostática o la repulsión de partículas cargadas eléctricas;
• Pauli repulsión, cuando dos átomos se acercan de cerca;
• van der Waals.

Todas estas fuerzas se suman para encontrar la fuerza total que actúa sobre cada partícula. Se emplea un método de integración para calcular el cambio en la posición y la velocidad de cada partícula durante un cierto paso de tiempo a partir de las leyes de movimiento de Newton. Luego, las nuevas posiciones se utilizan para calcular las fuerzas durante el siguiente paso, y este ciclo se repite hasta que finaliza la simulación.

Los métodos de integración típicos utilizados en un método de elementos discretos son:

• el algoritmo Verlet,
• velocidad Verlet,
• integradores simpáticos,
• el método de salto.

DEM térmico

El método de elementos discretos se aplica ampliamente para la consideración de interacciones mecánicas en problemas de muchos cuerpos, particularmente materiales granulares. Entre las diversas extensiones de DEM, la consideración del flujo de calor es particularmente útil. En términos generales, en los métodos DEM térmicos, se considera el acoplamiento termomecánico, mediante el cual se consideran las propiedades térmicas de un elemento individual para modelar el flujo de calor a través de un medio macroscópico granular o de elementos múltiples sujeto a una carga mecánica. Las fuerzas entre partículas, calculadas como parte del DEM clásico, se utilizan para determinar áreas de verdadero contacto entre partículas y así modelar la transferencia conductiva de calor de un elemento sólido a otro. Otro aspecto que se considera en DEM es la conducción, radiación y convección de calor en fase gaseosa en los espacios entre partículas. Para facilitar esto, se deben considerar las propiedades de la fase gaseosa entre elementos en términos de presión, conductividad del gas y el camino libre medio de las moléculas del gas.

Fuerzas de largo alcance

Cuando se tienen en cuenta las fuerzas de largo alcance (por lo general, la gravedad o la fuerza de Coulomb), es necesario calcular la interacción entre cada par de partículas. Tanto el número de interacciones como el costo del cálculo aumentan cuadráticamente con el número de partículas. Esto no es aceptable para simulaciones con un gran número de partículas. Una forma posible de evitar este problema es combinar algunas partículas, que están lejos de la partícula en cuestión, en una pseudopartícula. Considere como ejemplo la interacción entre una estrella y una galaxia distante: el error que surge de combinar todas las estrellas en la galaxia distante en una masa puntual es insignificante. Los llamados algoritmos de árbol se utilizan para decidir qué partículas se pueden combinar en una pseudopartícula. Estos algoritmos organizan todas las partículas en un árbol, un árbol cuádruple en el caso bidimensional y un árbol octágono en el caso tridimensional.

Sin embargo, las simulaciones en dinámica molecular dividen el espacio en el que se lleva a cabo la simulación en celdas. Las partículas que salen por un lado de una celda simplemente se insertan en el otro lado (condiciones de contorno periódicas); lo mismo ocurre con las fuerzas. La fuerza ya no se tiene en cuenta después de la llamada distancia de corte (normalmente la mitad de la longitud de una celda), por lo que una partícula no se ve afectada por la imagen especular de la misma partícula en el otro lado de la celda. Ahora se puede aumentar el número de partículas simplemente copiando las celdas.

Los algoritmos para lidiar con la fuerza de largo alcance incluyen:

• Simulación Barnes-Hut,
• el método multipole rápido.

Método de elementos discretos finitos combinados

Después del trabajo de Munjiza y Owen, el método de elementos discretos finitos combinados se ha desarrollado aún más para varias partículas irregulares y deformables en muchas aplicaciones, incluidas la formación de tabletas farmacéuticas, simulaciones de empaque y flujo, y análisis de impacto.

Ventajas y limitaciones

Ventajas

• DEM se puede utilizar para simular una amplia variedad de situaciones de flujo granular y mecánica de roca. Varios grupos de investigación han desarrollado de forma independiente software de simulación que está de acuerdo con hallazgos experimentales en una amplia gama de aplicaciones de ingeniería, incluyendo polvos adhesivos, flujo granular y masas mixtas de roca.
• DEM permite un estudio más detallado de la microdinámica de los flujos de polvo que a menudo es posible utilizando experimentos físicos. Por ejemplo, las redes de fuerza formadas en un medio granular se pueden visualizar utilizando DEM. Tales mediciones son casi imposibles en experimentos con pequeñas y muchas partículas.

Desventajas

• El número máximo de partículas y la duración de una simulación virtual se limita por el poder computacional. Los flujos típicos contienen miles de millones de partículas, pero las simulaciones contemporáneas de DEM en los grandes recursos de computación de grupos sólo han sido capaces recientemente de acercarse a esta escala durante bastante tiempo (tiempo reducido, no tiempo real de ejecución de programas).
• DEM es computacionalmente exigente, razón por la cual no ha sido tan fácil y ampliamente adoptado como enfoques continuos en ciencias de ingeniería computacional e industria. Sin embargo, los tiempos reales de ejecución del programa se pueden reducir significativamente cuando las unidades de procesamiento gráfico (GPU) se utilizan para realizar simulaciones DEM, debido al gran número de núcleos de cálculo en las GPUs típicas. Además, las GPU tienden a ser significativamente más eficientes que los grupos de computación convencionales al realizar simulaciones DEM, es decir, una simulación DEM resuelta en las GPUs requiere menos energía que cuando se resuelve en un grupo de computación convencional.