Método de cuotas iguales

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El método de partes iguales o método de cuotas iguales (en documentos anteriores, el método también se conoce como Regla X, pero desde 2022 los autores comenzaron a usar el nombre "método de partes iguales") es un método proporcional de conteo de votos que se aplica al presupuesto participativo al comité. elecciones y decisiones públicas simultáneas. Se puede usar cuando los votantes votan a través de boletas de aprobación, boletas clasificadas o boletas cardinales.

Motivación

El método es una alternativa al algoritmo de mochila que utilizan la mayoría de las ciudades, aunque es un método desproporcionado. Por ejemplo, si el 51 % de la población apoya 10 proyectos rojos y el 49 % apoya 10 proyectos azules, y el dinero alcanza solo para 10 proyectos, el presupuesto de mochila elegirá los 10 rojos apoyados por el 51 % e ignorará el 49 % por completo.. Por el contrario, el método de partes iguales elegiría 5 proyectos azules y 5 rojos.

El método garantiza la representación proporcional: satisface la variante más fuerte conocida del axioma de representación justificada que se sabe que es satisfactoria en el presupuesto participativo.

Explicación intuitiva

En el contexto del presupuesto participativo, el método asume que el presupuesto municipal se distribuye inicialmente de manera uniforme entre los votantes. Cada vez que se selecciona un proyecto, su costo se divide entre los votantes que apoyaron el proyecto y que todavía tienen dinero. Los ahorros de estos votantes se reducen en consecuencia. Si los votantes votan a través de boletas de aprobación, entonces el costo de un proyecto seleccionado se distribuye por igual entre los votantes; si votan a través de votos cardinales, entonces el costo se distribuye proporcionalmente a las utilidades que los votantes disfrutan del proyecto. La regla selecciona los proyectos que pueden pagarse de esta manera, comenzando por aquellos que minimizan los costos marginales por utilidad de los votantes.

Ejemplo 1

El siguiente ejemplo con 100 votantes y 9 proyectos ilustra cómo funciona la regla. En este ejemplo el presupuesto total es de $1000, es decir permite seleccionar cinco de los nueve proyectos disponibles. Vea el diagrama animado a continuación, que ilustra el comportamiento de la regla.

Hay 9 proyectos. Por ejemplo, el tercer grupo de 11 votantes votó por D y G. El presupuesto total de $1000 se divide en partes iguales entre 100 votantes. Cada votante recibe 10. Haga clic en la flecha sobre la imagen para ver los siguientes pasos del método.

El presupuesto primero se divide en partes iguales entre los votantes, por lo que cada votante recibe $10. El proyecto $mathrm {D}$ recibió la mayoría de los votos y es seleccionado en la primera ronda. Si dividiéramos el costo de por partes $mathrm {D}$ iguales entre los votantes que apoyaron $mathrm {D}$ , cada uno de ellos pagaría ${ estilo de visualización $ 200/66 aproximadamente $ 3,03}$ . Por el contrario, si seleccionamos, por ejemplo, $mathrm {E}$ , entonces el costo por votante sería ${ estilo de visualización $ 200/46 aproximadamente $ 4,34}$ . El método selecciona primero el proyecto que minimiza el precio por votante.

Tenga en cuenta que en el último paso ${ matemáticas {H}}$ se seleccionó un proyecto a pesar de que hubo proyectos que fueron apoyados por más votantes, por ejemplo $mathrm {E}$ . Esto se debe a que, el dinero que los simpatizantes de $mathrm {E}$ tenían derecho a controlar, fue utilizado previamente para justificar la selección de $mathrm {D}$ , $mathrm {A}$ y $mathrm{C}$ . Por otra parte, los electores que votaron por ${ matemáticas {H}}$ forman el 20% de la población, por lo que tendrán derecho a decidir sobre el 20% del presupuesto. Esos votantes solo apoyaron a ${ matemáticas {H}}$ , y es por eso que se seleccionó este proyecto.

Para ver un ejemplo más detallado que incluye las papeletas cardinales, consulte el Ejemplo 2.

Definición

Esta sección presenta la definición de la regla para las papeletas cardinales. Ver discusión para una discusión sobre cómo aplicar esta definición a las boletas de aprobación y boletas clasificadas.

Tenemos un conjunto de proyectos ${displaystyle P={p_{1},p_{2},ldots,p_{m}}}$ y un conjunto de votantes ${displaystyle N={1,2,ldots,n}}$ . Para cada proyecto $pen P$ , ${displaystyle mathrm {costo} (p)}$ denotemos su costo, y $b$ denotemos el tamaño del presupuesto municipal disponible. Para cada votante $yoen N$ y cada proyecto $pen P$ denotemos ${displaystyle u_{i}(p)}$ la $i$ boleta cardinal de $C$ , que es el número que cuantifica el nivel de apreciación del votante $i$ hacia el proyecto $pag$ .

El método de partes iguales funciona en rondas. Al principio pone una parte igual del presupuesto, en la cuenta bancaria virtual de cada votante, ${displaystyle b_{i}=b/n}$ . En cada ronda, el método selecciona un proyecto de acuerdo con el siguiente procedimiento.

Para cada proyecto aún no seleccionado, ${ estilo de visualización p en P}$ el método intenta repartir el costo del proyecto proporcionalmente a las papeletas cardinales enviadas por los votantes, teniendo en cuenta el hecho de que algunos votantes podrían haberse quedado sin dinero. Formalmente, para ${ estilo de visualización rho geq 0}$ , decimos que un proyecto aún no seleccionado $pag$ es $rho$ asequible si ${displaystyle {begin{alineado}sum _{iin N}min left(b_{i},u_{i}(p)cdot rho right)=mathrm {coste} (p){text{.}}end{alineado}}}$ Intuitivamente, si un proyecto $pag$ es $rho$ asequible, entonces, el costo del proyecto se puede repartir entre los votantes de manera que cada votante pague el precio por utilidad de como máximo $rho$ .
Si no hay $rho$ proyectos asequibles, entonces termina el método de partes iguales. Esto sucede cuando para cada proyecto aún no seleccionado $pag$ la cantidad de dinero restante en las cuentas privadas de aquellos votantes que votaron positivamente $pag$ es menor que el costo de $pag$ : Puede suceder que cuando finalice el método, todavía quede algo de dinero eso permitiría financiar algunos proyectos más. Este dinero se puede gastar mediante el simple procedimiento codicioso que selecciona los proyectos restantes a partir de aquellos con la proporción más baja, hasta agotar el presupuesto. Sin embargo, el método de partes iguales mantiene la mayoría de sus propiedades independientemente de cómo se gaste el presupuesto restante.0}b_{i} $pag$ ${displaystyle mathrm {coste} (p)/textstyle sum _{iin N}u_{i}(p)}$
Si hay al menos un $rho$ proyecto asequible aún no seleccionado, el método selecciona el proyecto $pag$ que es $rho$ asequible por el valor más bajo de $rho$ (el proyecto que minimiza el precio por servicio que los votantes deben pagar). Los presupuestos de los votantes se actualizan en consecuencia: para cada uno de $yoen N$ los conjuntos de métodos ${displaystyle b_{i}:=max(0,b_{i}-u_{i}(p)cdot rho)}$ .

Ejemplo 2

El siguiente diagrama ilustra el comportamiento del método.

Hay 8 proyectos disponibles y 250 votantes. Por ejemplo, los primeros 65 votantes asignan el valor 30 al proyecto B y el valor 10 a los proyectos E y G. El presupuesto total de $2500 se divide en partes iguales entre 250 votantes. Cada votante recibe $10. Haga clic en la flecha sobre la imagen para ver los siguientes pasos del método.

Discusión

Esta sección proporciona una discusión sobre otras variantes del método de partes iguales.

Otros tipos de papeletas

El método de partes iguales se puede utilizar con otros tipos de papeletas de votantes.

Boletas de aprobación

El método se puede aplicar de dos maneras al escenario donde los votantes votan marcando los proyectos que les gustan (ver Ejemplo 1):

Establecer ${displaystyle u_{i}(p)=mathrm {coste} (p)}$ si el proyecto $pag$ es aprobado por los votantes $i$ y en ${displaystyle u_{i}(p)=0}$ caso contrario. Esto supone que la utilidad de un votante es igual a la cantidad total de dinero gastado en los proyectos apoyados por el votante. Esta suposición se usa comúnmente en otros métodos de contar las boletas de aprobación para el presupuesto participativo, por ejemplo, en el algoritmo de la mochila, y por lo general resulta en la selección de menos proyectos más costosos.
Establecer ${displaystyle u_{i}(p)=1}$ si el proyecto $pag$ es aprobado por los votantes $i$ y en ${displaystyle u_{i}(p)=0}$ caso contrario. Esto supone que la utilidad de un votante es igual al número de proyectos seleccionados aprobados. Esto generalmente resulta en la selección de más proyectos pero menos costosos.

Boletas clasificadas

El método se aplica al modelo en el que los votantes votan clasificando los proyectos desde el más preferido hasta el menos preferido. Asumiendo preferencias lexicográficas, se puede utilizar la convención que ${displaystyle u_{i}(p)}$ depende de la posición del proyecto en el ranking $pag$ de votantes, y que, siempre que clasifique como más preferido que. $i$ ${displaystyle u_{i}(p)/u_{i}(p')to infty }$ $i$ $pag$ ${ estilo de visualización p'}$

Formalmente, el método se define como sigue.

Para cada votante $yoen N$ , denote ${ estilo de visualización succ _ {i}}$ la clasificación del votante $i$ sobre los proyectos. Por ejemplo, ${displaystyle Ysucc_{i}Xsucc_{i}Z}$ significa que $Y$ es el proyecto más preferido desde la perspectiva del votante $i$ , $X$ es el segundo proyecto preferido del votante y $Z$ es el proyecto menos preferido. En este ejemplo, decimos que el proyecto $Y$ está clasificado en la primera posición y escribimos ${ estilo de visualización mathrm {pos} _ {i} (Y) = 1}$ , el proyecto $X$ está clasificado en la segunda posición ( ${ estilo de visualización mathrm {pos} _ {i} (X) = 2}$ ), y $Z$ en la tercera posición ( ${displaystyle mathrm {pos}_{i}(Z)=3}$ ).

A cada votante se le asigna inicialmente una parte igual del presupuesto ${displaystyle b_{i}=b/n}$ . La regla procede en rondas, en cada ronda:

Para cada proyecto aún no seleccionado ${ estilo de visualización p en P}$ , decimos que $pag$ es $delta$ asequible si el presupuesto restante de los votantes que se clasifican $pag$ en una posición $delta$ o superior es mayor o igual a ${displaystyle mathrm {costo} (p)}$ : ${displaystyle {begin{alineado}sum _{iin Ncolon mathrm {pos} _{i}(p)leq delta }b_{i}geq mathrm {coste} (p) {text{.}}end{alineado}}}$
Si ningún proyecto es asequible, la regla se detiene. Esto sucede cuando el presupuesto restante total de los votantes ${displaystyle textstyle sum _{iin N}b_{i}}$ es menor que el costo de cada proyecto aún no seleccionado.
Si hay proyectos asequibles, la regla elige el proyecto aún no seleccionado que es asequible para el valor más bajo de . Los presupuestos de los votantes se actualizan en consecuencia. Primero, el costo se reparte equitativamente entre los votantes que ocupan el primer puesto. Si los presupuestos de estos votantes son insuficientes para cubrir el costo del proyecto, la parte restante del costo se reparte equitativamente entre los votantes que ocupan la segunda posición, etc. Formalmente comenzamos con y y seguimos en el bucle:
1. Si ${displaystyle textstyle sum _{iin Ncolon mathrm {pos} _{i}(p)=delta }b_{i}geq mathrm {coste} }$ entonces encontramos $rho$ tal que y para ${displaystyle textstyle sum _{iin Ncolon mathrm {pos} _{i}(p)=delta }min(rho,b_{i})=mathrm {coste} }$ cada votante establecemos. $yoen N$ ${ estilo de visualización mathrm {pos} _ {i} (p) = delta}$ ${displaystyle b_{i}:=max(0,b_{i}-rho)}$
2. De lo contrario, actualizamos el costo: ${displaystyle mathrm {coste}:=mathrm {coste} -textstyle sum _{iin Ncolon mathrm {pos} _{i}(p)=delta }b_{i}}$ . Cobramos a los votantes: por cada votante establecemos, y pasamos $yoen N$ a la siguiente posición. ${ estilo de visualización mathrm {pos} _ {i} (p) = delta}$ ${ estilo de visualización b_ {i}: = 0}$ ${ estilo de visualización delta: = delta +1}$

Elecciones del comité

En el contexto de las elecciones de los comités, los proyectos suelen denominarse candidatos. Se supone que el costo de cada candidato es igual a uno; entonces, el presupuesto $b$ puede interpretarse como el número de candidatos en el comité que debe ser seleccionado.

Presupuesto no gastado

El método de partes iguales puede devolver un conjunto de proyectos que no agota todo el presupuesto. Hay varias formas de utilizar el presupuesto no gastado:

El método utilitario: los proyectos $pag$ se seleccionan en el orden de ${displaystyle {frac {sum _{iin N}u_{i}(p)}{mathrm {coste} (p)}}}$ hasta que no se puede seleccionar ningún otro proyecto dentro del límite presupuestario.
Ajuste del presupuesto inicial: el presupuesto inicial se puede ajustar al valor más alto posible, lo que hace que el método seleccione proyectos, cuyo costo total no supere el presupuesto no ajustado.

Propiedades

En el contexto de las elecciones de comités, el método a menudo se compara con la Votación de Aprobación Proporcional (PAV), ya que ambos métodos son proporcionales (satisfacen el axioma de Representación Justificada Extendida (EJR)). La diferencia entre los dos métodos se puede describir de la siguiente manera.

El método de partes iguales (MES) es computable en tiempo polinomial, y PAV es NP-difícil de calcular. La variante secuencial de PAV es computable en tiempo polinomial, pero no satisface la Representación justificada.
PAV es Pareto-óptimo, pero MES no lo es.
MES tiene un precio. Puede verse como una implementación del equilibrio de Lindahl en el modelo discreto, con el supuesto de que los clientes que comparten un artículo deben pagar el mismo precio por el artículo.
MES se extiende al presupuesto participativo y a las votaciones cardinales, mientras que PAV no satisface la Representación Justificada Extendida (EJR) cuando se aplica al presupuesto participativo oa las votaciones cardinales.

MES es similar a la regla secuencial de Phragmen. La diferencia es que en MES los votantes reciben sus presupuestos por adelantado, mientras que en la regla secuencial de Phragmen los votantes ganan dinero continuamente a lo largo del tiempo. Los métodos se comparan de la siguiente manera:

Ambos métodos son computables en tiempo polinomial y ambos fallan en la optimización de Pareto.
MES satisface la Representación Justificada Extendida (EJR), mientras que la regla secuencial de Phragmen satisface la Representación Justificada Proporcional, una variante más débil de la propiedad.
La regla secuencial de Phragmen satisface la monotonicidad del comité, mientras que MES falla la propiedad.
MES se extiende al presupuesto participativo con votos cardinales, lo que no es el caso de la regla secuencial de Phragmen.

MES con ajuste del presupuesto inicial, PAV y las reglas de votación de Phragmen pueden verse como extensiones del método D'Hondt al entorno en el que los votantes pueden votar por candidatos individuales en lugar de por partidos políticos. MES se extiende aún más al presupuesto participativo.

Implementación

A continuación se muestra una implementación en Python del método que se aplica al presupuesto participativo. Para el modelo de elecciones de comités, las reglas se implementan como parte del paquete abcvoting de Python.

importar  matematicas

def  leq (a,  b): 
    devuelve  a  <  b  o  matemáticas. está cerca (a,  b)

# N: una lista de votantes. 
# C: una lista de proyectos (candidatos). 
# costo: un diccionario que asigna a cada proyecto su costo. 
#b: el presupuesto total disponible. 
# u: un diccionario; u[c][i] es el valor que el votante i asigna al candidato c. 
# una entrada vacía significa que el valor correspondiente u[c][i] es igual a 0.

def  complete_utilitarian (N,  C,  cost,  u,  b,  W): 
    util  =  { c:  sum ([ u [ c ][ i ]  for  i  in  N ])  for  c  in  C } 
    comité_cost  =  sum ([ cost [ c ]  para  c  en  W ]) 
    while  True : 
        next_candidate =  Ningunohigh_util 
        = float (" -inf  ") para c en C. diferencia (W): si leq (costo_comité + costo [ c ], b): si util [ c ] / costo [ c ] > util_mas alto: siguiente_candidato = c util_mas alto = util [ c ] / costo [ 
           
                
                     
                      
                        c ] 
        si  next_candidate  es  Ninguno : 
            romper 
        W. add (siguiente_candidato) costo_comité += costo [ siguiente_candidato ] return W
          
     

def  method_of_equal_shares (N,  C,  cost,  u,  b): 
    W  =  set () 
    total_utility  =  { c:  sum (u [ c ]. valores ())  for  c  in  C } 
    supporters  =  { c:  set ([ i  for  i  en  N  si  u [ c ][ i ]  > 0 ])  para  c  en  C } 
    presupuesto  =  { i:  b  /  len (N)  para  i  en  N } 
    while  True : 
        next_candidate  =  None 
        lower_rho  =  float ("inf") 
        para  c  en  C. diferencia (W): 
            si  leq (costo [ c ],  suma ([ presupuesto [i ]  for  i  in  supporters [ c ]])): 
                supporters_sorted  =  sorted (supporters [ c ],  clave = lambda  i:  presupuesto [ i ]  /  u [ c ][ i ]) 
                precio  =  costo [ c ] 
                util  =  total_utility [ c ] 
                para  i  en  supporters_sorted: 
                    if  leq (precio  *  u [ c ][ i ],  presupuesto [ i ]  *  util): 
                        precio de ruptura 
                    -= presupuesto [ i ] util -= u [ c ][ i ] rho = precio / util 
                         if not math. isclose (util, 0) y no math. isclose (precio,  
                      
                           0) 
                         else  presupuesto [ supporters_sorted [ - 1 ]]  /  u [ c ][ supporters_sorted [ - 1 ]] 
                if  rho  <  lower_rho: 
                    next_candidate  =  c 
                    lower_rho  =  rho 
        if  next_candidate  is  None : 
            break 
        W. agregue (next_candidate) 
        para  i  en  N: 
            presupuesto[ i ]  -=  min (presupuesto [ i ],  rho_más bajo  *  u [ siguiente_candidato ][ i ]) 
    return  complete_utilitarian (N,  C,  cost,  u,  b,  W)   # una de las posibles terminaciones

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