Método de Copeland

El método de Copeland es un método de votación clasificado basado en un sistema de puntuación de "ganancias", "pérdidas" y "empates" por parejas. El método tiene una larga historia:

• Ramon Llull describió el sistema en 1299, por lo que a veces se lo denomina " método de Llull".
• El marqués de Condorcet describió un sistema similar en la década de 1780, por lo que el método podría denominarse " método de Condorcet ", pero en su lugar se idearon posteriormente otros sistemas que eligen al ganador de Condorcet.
• Arthur Herbert Copeland describió el sistema en la década de 1950, por lo que con frecuencia se le ha llamado "método de Copeland".

A cada votante se le pide que clasifique a los candidatos en orden de preferencia. Se dice que un candidato A tiene preferencia mayoritaria sobre otro candidato B si más votantes prefieren A a B que B a A; si los números son iguales, entonces hay un empate de preferencia. La puntuación de Copeland para un candidato es el número de otros candidatos sobre los que tiene una preferencia mayoritaria más la mitad del número de candidatos con los que tiene un vínculo de preferencia. El ganador de la elección bajo el método de Copeland es el candidato con el puntaje Copeland más alto; bajo el método de Condorcet, este candidato gana solo si él o ella tiene el puntaje máximo posible de n − 1 donde nes el número de candidatos. Por tanto, la victoria bajo este sistema equivale a satisfacer el criterio de Condorcet.

Cualquier método de votación que satisfaga el criterio de ganador de Condorcet a veces puede denominarse " método Condorcet". Otros métodos que satisfacen el criterio de ganador de Condorcet incluyen el método Kemeny-Young, el método Schulze y Minimax.

Historia

El método de Copeland fue ideado por Ramon Llull en su tratado Ars Electionis de 1299 y discutido por Nicolás de Cusa en el siglo XV y por el marqués de Condorcet en el XVIII (quien llamó la atención sobre el criterio relacionado). Sin embargo, con frecuencia lleva el nombre de Arthur Herbert Copeland, quien lo defendió de forma independiente en una conferencia de 1951.

Mecanismo de votación

Votación

La entrada es la misma que para otros sistemas de votación por orden de preferencia: cada votante debe proporcionar una lista de preferencia ordenada sobre los candidatos en los que se permiten empates (un orden débil estricto).

Esto se puede hacer proporcionando a cada votante una lista de candidatos en la que escribir un "1" contra el candidato de mayor preferencia, un "2" contra la segunda preferencia, y así sucesivamente. Se supone que un votante que deja en blanco la clasificación de algunos candidatos es indiferente entre ellos, pero prefiere a todos los candidatos clasificados.

Cálculo

Una matriz de resultados r se construye de la siguiente manera: r _ij es

• 1 si más votantes prefieren estrictamente al candidato i al candidato j que al j a i
• 1/2si los numeros son iguales
• 0 si más votantes prefieren j a i que i a j.

Esto puede llamarse el método "1/ ¹ ⁄ ₂ /0" (un número para victorias, empates y derrotas, respectivamente).

Por convención, r _ii es 0.

La puntuación de Copeland para el candidato i es la suma sobre j de los r _ij. Si hay un candidato con una puntuación de n − 1 (donde n es el número de candidatos), entonces este candidato es el (necesariamente único) ganador de Condorcet y Copeland. De lo contrario, el método Condorcet no produce ninguna decisión y el candidato con mayor puntaje es el ganador de Copeland (pero puede no ser el único).

Una forma alternativa (y equivalente) de construir la matriz de resultados es hacer que r _ij sea 1 si más votantes prefieren estrictamente el candidato i al candidato j que j a i, 0 si los números son iguales y −1 si más votantes prefieren j a i que prefiero i a j. En este caso la matriz r es antisimétrica.

Preferencias vinculadas

El método, como se describió inicialmente anteriormente, a veces se denomina método "1/ ¹ ⁄ ₂ /0". El propio Llull propuso un método 1/1/0, de modo que dos candidatos con el mismo apoyo obtendrían el mismo crédito que si hubieran ganado al otro.

Los lazos de preferencia se vuelven cada vez más improbables a medida que aumenta el número de votantes.

Uso en torneos deportivos

Un método relacionado con el de Copeland se usa comúnmente en los torneos de todos contra todos. En general, se supone que cada par de competidores juega el mismo número de juegos entre sí. r _ij es el número de veces que el competidor i ganó contra el competidor j más la mitad del número de empates entre ellos.

Fue adoptado precisamente en esta forma en el ajedrez internacional a mediados del siglo XIX. Fue adoptado en la primera temporada de la English Football League (1888–1889), habiendo considerado inicialmente los organizadores utilizar un sistema 1/0/0. Por conveniencia, los números se duplicaron, es decir, el sistema se escribió como 2/1/0 en lugar de 1/ ¹ ⁄ ₂ /0.

El uso deportivo se diferencia de la política en que el sistema de puntuación es visto como una de las reglas del juego con menos énfasis en la verdad objetiva. Por esta razón, se suelen adoptar sistemas Copeland modificados que utilizan una puntuación de 3/1/0.

(El conteo de Borda también es análogo a los torneos deportivos. El método de Copeland es análogo a un torneo en el que cada par de competidores juega un solo juego cuyo resultado lo determina todo el electorado, mientras que el conteo de Borda es análogo a un torneo en el que cada boleta completada determina el resultado de un juego entre cada par de competidores).

Razón fundamental

En muchos casos decididos por el método de Copeland, el ganador es el único candidato que satisface el criterio de Condorcet; en estos casos, los argumentos a favor de ese criterio (que son poderosos pero no universalmente aceptados) se aplican igualmente al método de Copeland.

Cuando no hay un ganador de Condorcet, el método de Copeland busca tomar una decisión por una extensión natural del método de Condorcet, combinando preferencias por simple suma. La justificación de esto radica más en su atractivo intuitivo que en cualquier argumento lógico.

El conteo de Borda es otro método que combina preferencias de forma aditiva. La diferencia más destacada es que la preferencia de un votante por un candidato sobre otro tiene un peso en el sistema Borda que aumenta con el número de candidatos clasificados entre ellos. El argumento desde el punto de vista del conde Borda es que el número de candidatos que intervienen da una indicación de la fuerza de la preferencia; el contraargumento es que depende en un grado preocupante de qué candidatos se presentaron a las elecciones.

Partha Dasgupta y Eric Maskin buscaron justificar el método de Copeland en una revista popular, donde lo comparan con el conteo de Borda y la votación por pluralidad. Su argumento gira en torno a los méritos del criterio de Condorcet, prestando especial atención a las opiniones que se encuentran en un espectro. El uso del método de Copeland en primera instancia, y luego de un desempate, para decidir elecciones sin ganador de Condorcet se presenta como "quizás la modificación más simple" al método de Condorcet.

Resultados empatados

Como cualquier método de votación, el de Copeland puede dar lugar a resultados empatados si dos candidatos reciben el mismo número de votos; pero a diferencia de la mayoría de los métodos, también puede conducir a lazos por causas que no desaparecen a medida que aumenta el electorado. Esto puede ocurrir siempre que existan ciclos de Condorcet en las preferencias de voto, como ilustra el siguiente ejemplo.

Suponga que hay 4 candidatos, Able, Baker, Charlie y Drummond, y 5 votantes, de los cuales dos votan ABCD, dos votan BCDA y uno vota DABC. Los resultados entre pares de candidatos se muestran en la parte principal de la siguiente tabla, con la puntuación de Copeland para el primer candidato en la columna adicional.

2do1º	UN	B	C	D		puntaje
UN	—	3:2	3:2	2:3	2
B	2:3	—	5:0	4:1	2
C	2:3	0:5	—	4:1	1
D	3:2	1:4	1:4	—	1

Ningún candidato satisface el criterio de Condorcet y existe un empate de Copeland entre A y B. Si hubiera 100 veces más votantes, pero votaron aproximadamente en las mismas proporciones (sujeto a fluctuaciones de muestreo), entonces el número de boletas aumentaría. pero las puntuaciones de Copeland se mantendrían igual; por ejemplo, la fila 'A' podría decir:

UN	—	317:183	296:204	212:288		2

El riesgo de empate es particularmente preocupante porque el objetivo principal del método de Copeland es producir un ganador en los casos en que ningún candidato satisfaga el criterio de Condorcet. Una simulación realizada por Richard Darlington implica que para campos de hasta 10 candidatos, tendrá éxito en esta tarea en menos de la mitad de las veces.

En general, si los votantes votan según sus preferencias a lo largo de un espectro, entonces el teorema del votante medio garantiza la ausencia de ciclos de Condorcet. En consecuencia, tales ciclos solo pueden surgir porque las preferencias de los votantes no se encuentran dentro de un espectro o porque los votantes no votan de acuerdo con sus preferencias (por ejemplo, por razones tácticas).

Nicolaus Tideman y Florenz Plassman realizaron un gran estudio de las preferencias electorales reportadas. Encontraron un número significativo de ciclos en las subelecciones, pero remarcaron que podrían atribuirse en su totalidad o en gran parte a la pequeñez del número de votantes. Concluyeron que era consistente con sus datos suponer que "los ciclos de votación ocurrirán muy raramente, si es que ocurren, en elecciones con muchos votantes".

Desempates propuestos

La segunda vuelta instantánea (IRV), minimax y el conteo de Borda son desempates naturales. Los dos primeros no se recomiendan con frecuencia para este uso, pero a veces se discuten en relación con el método de Smith donde se aplican consideraciones similares.

Dasgupta y Maskin propusieron el conteo de Borda como un desempate de Copeland: esto se conoce como el método Dasgupta-Maskin. Anteriormente se había utilizado en el patinaje artístico con el nombre de regla 'OBO' (= uno por uno). Duncan Black usó un desempate de Borda junto con el criterio de Condorcet; este es el método de Black.

Las alternativas se pueden ilustrar en el ejemplo anterior de 'Able-Baker', en el que Able y Baker son ganadores conjuntos de Copeland. Charlie y Drummond son eliminados, reduciendo las papeletas a 3 A-B y 2 B-A. Cualquier desempate elegirá a Able.

Propiedades

El método de Copeland tiene muchas de las propiedades deseables estándar (consulte la tabla a continuación). En particular, cumple el criterio de Condorcet, es decir, si hay un candidato que ganaría a cada uno de sus rivales en una votación binaria, entonces ese candidato es el ganador. De ello se deduce que el método de Copeland satisface el teorema del votante mediano que establece que si las opiniones se encuentran a lo largo de un espectro, entonces el candidato ganador será el preferido por el votante mediano.

La analogía entre el método de Copeland y los torneos deportivos ha sido presentada (por Vincent Merlin) como un factor que lo hace más aceptable para los votantes que otros algoritmos de Condorcet.

Comparación con otros sistemas

Sistema	monótono	Ganador de Condorcet	Mayoria	perdedor de Condorcet	perdedor de la mayoría	mayoría mutua	Herrero	ISDA	LIIA	Independencia de los clones	simetría inversa	Participación, consistencia	Más tarde sin daños	Más tarde sin ayuda	Tiempo polinomial	Resolubilidad
Schulze	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	Sí	Sí	No	No	No	Sí	Sí
parejas clasificadas	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	No	No	Sí	Sí
Alternativa de Tideman	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	Sí	No	No	No	No	Sí	Sí
Kemeny-Joven	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	Sí	No	No	No	No	Sí
Copelandia	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	No	Sí	No	No	No	Sí	No
Nanson	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	No	No	Sí	No	No	No	Sí	Sí
Negro	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	No	No	No	No	Sí	No	No	No	Sí	Sí
Votación de segunda vuelta instantánea	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí	No	No	No	Sí	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
Smith/IRV	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	Sí	No	No	No	No	Sí	Sí
Borda	Sí	No	No	Sí	Sí	No	No	No	No	No	Sí	Sí	No	Sí	Sí	Sí
balduino	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí
Bucklin	Sí	No	Sí	No	Sí	Sí	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Pluralidad	Sí	No	Sí	No	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
voto contingente	No	No	Sí	Sí	Sí	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
coombs	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí	No	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí
minimax	Sí	Sí	Sí	No	No	No	No	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí
Anti-pluralidad	Sí	No	No	No	Sí	No	No	No	No	No	No	Sí	No	No	Sí	Sí
Voto contingente de Sri Lanka	No	No	Sí	No	No	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
voto suplementario	No	No	Sí	No	No	No	No	No	No	No	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
dodgson	No	Sí	Sí	No	No	No	No	No	No	No	No	No	No	No	No	Sí

Ejemplos del Método Copeland

Ejemplo con ganador de Condorcet

• v
• t
• mi

Imagine que Tennessee tiene una elección sobre la ubicación de su capital. La población de Tennessee se concentra en torno a sus cuatro ciudades principales, que están repartidas por todo el estado. Para este ejemplo, suponga que todo el electorado vive en estas cuatro ciudades y que todos quieren vivir lo más cerca posible de la capital.

Los candidatos a la capital son:

• Memphis, la ciudad más grande del estado, con el 42% de los votantes, pero ubicada lejos de las demás ciudades
• Nashville, con el 26% de los votantes, cerca del centro del estado
• Knoxville, con el 17% de los votantes
• Chattanooga, con el 15% de los votantes

Las preferencias de los votantes se dividirían así:

42% de los votantes(cerca de Memphis)	26% de los votantes(cerca de Nashville)	15% de los votantes(cerca de Chattanooga)	17% de los votantes(cerca de Knoxville)
MenfisNashvilleChattanoogaknoxville	NashvilleChattanoogaknoxvilleMenfis	ChattanoogaknoxvilleNashvilleMenfis	knoxvilleChattanoogaNashvilleMenfis

Para encontrar al ganador de Condorcet, cada candidato debe compararse con todos los demás candidatos en una serie de concursos imaginarios uno a uno. En cada emparejamiento, cada votante elegirá la ciudad físicamente más cercana a su ubicación. En cada emparejamiento, el ganador es el candidato preferido por la mayoría de los votantes. Cuando se han encontrado los resultados para cada emparejamiento posible, son los siguientes:

Comparación	Resultado	Ganador
Menfis vs Nashville	42 v 58	Nashville
Menfis vs Knoxville	42 v 58	knoxville
Menfis vs Chattanooga	42 v 58	Chattanooga
Nashville contra Knoxville	68 contra 32	Nashville
Nashville contra Chattanooga	68 contra 32	Nashville
Knoxville contra Chattanooga	17 v 83	Chattanooga

Las victorias y derrotas de cada candidato se suman de la siguiente manera:

Candidato	victorias	Pérdidas	Red	r
Menfis	0	3	−3	0 0 0 0
Nashville	3	0	3	1 0 1 1
knoxville	1	2	−1	1 0 0 0
Chattanooga	2	1	1	1 0 1 0

Nashville, sin derrotas, es el ganador del Condorcet. El puntaje de Copeland según el método 1/0/−1 es el número de ganancias netas, maximizado por Nashville. Dado que los votantes expresaron una preferencia de una u otra forma entre cada par de candidatos, el puntaje bajo el 1/+1/2El método /0 es solo el número de victorias, también maximizado por Nashville. La matriz r para este sistema de puntuación se muestra en la última columna.

Ejemplo sin ganador de Condorcet

En una elección con cinco candidatos compitiendo por un escaño, los siguientes votos se emitieron utilizando un método de votación por orden de preferencia (100 votos con cuatro conjuntos distintos):

31: A > E > C > D > B

30: B > A > E

29: C > D > B

10: D > A > E

En este ejemplo hay algunos votos empatados: por ejemplo, el 10% de los votantes no asignó ninguna posición a B o C en sus rankings; por lo tanto, se considera que han empatado a estos candidatos entre sí mientras los clasifican por debajo de D, A y E.

Los resultados de las 10 posibles comparaciones por pares entre los candidatos son los siguientes:

Comparación	Resultado	Ganador	Comparación	Resultado	Ganador
A v B	41 contra 59	B	B v D	30 v 70	D
A v C	71 contra 29	UN	B v E	59 v 41	B
A v D	61 contra 39	UN	C v D	60 v 10	C
Cra	71 v 0	UN	C v E	29 v 71	mi
B v C	30v60	C	D v E	39 v 61	mi

Las victorias y derrotas de cada candidato se suman de la siguiente manera:

Candidato	victorias	Pérdidas	Red	r
UN	3	1	2	0 0 1 1 1
B	2	2	0	1 0 0 0 1
C	2	2	0	0 1 0 1 0
D	1	3	−2	0 1 0 0 0
mi	2	2	0	0 0 1 1 0

No existe ningún ganador de Condorcet (candidato que supera a todos los demás candidatos en comparaciones por parejas). El candidato A es el ganador de Copeland. Nuevamente, no hay un par de candidatos entre los cuales los votantes no expresen preferencia.

Uso para producir una tabulación en otros métodos.

Dado que el método de Copeland produce un orden total de candidatos por puntuación y es simple de calcular, a menudo es útil para producir una lista ordenada de candidatos junto con otro método de votación que no produce un orden total. Por ejemplo, los métodos de pares de Schulze y Ranked producen una ordenación parcial transitiva de los candidatos, que generalmente produce un solo ganador, pero no una forma única de tabular a los subcampeones. La aplicación del método de Copeland de acuerdo con el ordenamiento parcial del método respectivo generará un orden total (ordenamiento topológico) garantizado para ser compatible con el orden parcial del método, y es más simple que una búsqueda en profundidad cuando el orden parcial está dado por una matriz de adyacencia.

De manera más general, la puntuación de Copeland tiene la propiedad útil de que si hay un subconjunto S de candidatos tal que cada candidato en S vencerá a todos los candidatos que no están en S, entonces existe un umbral θ tal que cada candidato con una puntuación de Copeland por encima de θ es en S, mientras que todos los candidatos con una puntuación de Copeland por debajo de θ no están en S. Esto hace que la puntuación de Copeland sea práctica para encontrar varios subconjuntos de candidatos que puedan ser de interés, como el conjunto de Smith o el tercer conjunto mutuo dominante.