Método de coeficientes indeterminados

En matemáticas, el método de coeficientes indeterminados es un método para encontrar una solución particular a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas y relaciones de recurrencia. Está estrechamente relacionado con el método del aniquilador, pero en lugar de utilizar un tipo particular de operador diferencial (el aniquilador) para encontrar la mejor forma posible de una solución particular, se utiliza un ansatz o 'conjetura' se determina la forma apropiada, que luego se prueba derivando la ecuación resultante. Para ecuaciones complejas, el método aniquilador o la variación de parámetros requiere menos tiempo de ejecución.

Los coeficientes indeterminados no son un método tan general como la variación de parámetros, ya que solo funciona para ecuaciones diferenciales que siguen ciertas formas.

Descripción del método

Considere una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de la forma

${\displaystyle \sum _{i=0}{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}$

Donde ${\displaystyle y^{(i)}$ denota el i-th derivativo de ${\displaystyle y}$, y ${\displaystyle C_{i}$ denota una función de ${\displaystyle x}$.

El método de coeficientes indeterminados proporciona un método sencillo para obtener la solución de esta EDO cuando se cumplen dos criterios:

1. ${\displaystyle C_{i}$ son constantes.
2. g()x) es una constante, una función polinomio, función exponencial ${\displaystyle e^{\alpha x}$, funciones sine o cosine ${\displaystyle \sin {\beta x}$ o ${\displaystyle \cos {\beta x}$, o sumas finitas y productos de estas funciones (${\displaystyle {\alpha}}$, ${\displaystyle {\beta}$ constantes).

El método consiste en encontrar la solución homogénea general ${\displaystyle Y...$ para la ecuación diferencial lineal complementaria

${\displaystyle \sum _{i=0}{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}$

and a particular integral ${\displaystyle Y...$ de la ecuación diferencial normal lineal no homogénea basada en ${\displaystyle g(x)}$. Entonces la solución general ${\displaystyle y}$ a la ecuación diferencial normal lineal no homogénea sería

${\displaystyle Sí.$

Si ${\displaystyle g(x)}$ consiste en la suma de dos funciones ${\displaystyle h(x)+w(x)}$ y decimos eso ${\displaystyle Y...$ es la solución basada en ${\displaystyle h(x)}$ y ${\displaystyle Y...$ la solución basada en ${\displaystyle w(x)}$. Entonces, usando un principio de superposición, podemos decir que la integral particular ${\displaystyle Y...$ es

${\displaystyle Y...$

Formas típicas de la integral particular

Para encontrar la integral particular, necesitamos 'adivinar' su forma, dejando algunos coeficientes como variables por resolver. Esto toma la forma de la primera derivada de la función complementaria. A continuación se muestra una tabla de algunas funciones típicas y la solución para adivinarlas.

Función de x	Formulario para Sí.
${\displaystyle ke^{ax}}$	${\displaystyle ¡Cielos!$
${\displaystyle kx^{n},\;n=0,1,2,\ldots \!}$	${\displaystyle \sum _{i=0}K_{i}x^{i}\}$
${\displaystyle k\cos(ax){\text{ or }k\sin(ax)\!}$	${\displaystyle K\cos(ax)+M\sin(ax)}$
${\displaystyle ke^{ax}\cos(bx){\text{ or }ke^{ax}\sin(bx)\}$	${\displaystyle e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx)\!}$
${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? - ¿Por qué?$	${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ¿Por qué?$
${\displaystyle \left(\sum ¿Por qué? ¿Por qué?$	${\displaystyle e^{ax}\left(\left(\sum) ¿Por qué? ¿Por qué?$

Si un término en la integral particular anterior para y aparece en la solución homogénea, es necesario multiplicarlo por una potencia suficientemente grande de x para hacer la solución independiente. Si la función de x es una suma de términos en la tabla anterior, la integral particular se puede adivinar usando una suma de los términos correspondientes para y.

Ejemplos

Ejemplo 1

Encontrar una integral particular de la ecuación

${\displaystyle y''+y=t\cos t.}$

El lado derecho t porque t tiene la forma

${\displaystyle ¿Por qué?$

con n = 2, α = 0 y β = 1.

Dado que α + iβ = i es una raíz simple de la ecuación característica

${\displaystyle \lambda ^{2}+1=0}$

deberíamos probar una integral particular de la forma

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\beta t} {\beta t} {\c]}(t)e^\alpha t}\sin {\beta t}\ch]\cH0}\cH00} {\cH0}\cH0\cH0}\cH0}\cH00}\cH0\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\cH00\cH00}\cH00\cH00\cH00}\cH00}\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\ (A_{0}t+A_{1}\derecho)\cos t+\left(B_{0}t+B_{1}\derecho)\sin t\right]\\\cH00=\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\derecho)\cos t+\left(B_{0}t}t}$

Sustitución Sí._p en la ecuación diferencial, tenemos la identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}t\cos {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Comparando ambos lados, tenemos

${\0}+2B_{1}\0=-4A_{0}\0=2A_{0}\0}\0=-4A_{0}\0=-2A_{1}+2B_{0}\end{cases}}}}}}$

que tiene la solución

${\displaystyle A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={4},\quad B_{1}=0}$

Tenemos entonces una integral particular

${\displaystyle Y_{p}={4} t\cos t+{4}t^{2}\sin t}$

Ejemplo 2

Considere la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea:

${\displaystyle {\frac {y}=y+e^{x}$

Esto es como el primer ejemplo anterior, excepto que la parte no homogénea (${\displaystyle e^{x}$) es no linealmente independiente a la solución general de la parte homogénea (${\displaystyle c_{1}e^{x}$); como resultado, tenemos que multiplicar nuestra conjetura por un poder suficientemente grande x para que sea linealmente independiente.

Aquí nuestra suposición se convierte en:

${\displaystyle Y_{p}=Axe^{x}$

Sustituyendo esta función y su derivado en la ecuación diferencial, se puede resolver para A:

${\displaystyle {\frac {dx}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}}$

${\displaystyle Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}$

${\displaystyle A=1.}$

Entonces, la solución general de esta ecuación diferencial es:

${\displaystyle Y=c_{1}e^{x}+xe^{x}$

Ejemplo 3

Encuentra la solución general de la ecuación:

${\displaystyle {\frac {\fnK}=t}-y}$

${\displaystyle t^{2}$ es un polinomio del grado 2, así que buscamos una solución usando la misma forma,

${\displaystyle Y...$

Enchufar esta función particular en los rendimientos de la ecuación original,

${\displaystyle 2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),}$

${\displaystyle 2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,}$

${\displaystyle (A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.}$

que da:

${\displaystyle A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.}$

Resolvendo constantes obtenemos:

${\displaystyle Y...$

Para encontrar la solución general,

${\displaystyle Y...$

Donde ${\displaystyle Y...$ es la solución homogénea ${\displaystyle Y...$, por lo tanto, la solución general es:

${\displaystyle y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}$