Menor (álgebra lineal)

Se puede escribir la inversa de una matriz invertible calculando sus cofactores mediante la regla de Cramer, como se indica a continuación. La matriz formada por todos los cofactores de una matriz cuadrada A se denomina matriz de cofactores (también llamada matriz de cofactores o, en ocasiones, comatriz):

C=[C11C12⋯ ⋯ C1nC21C22⋯ ⋯ C2n⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ Cn1Cn2⋯ ⋯ Cnn]{displaystyle mathbf {C} ={begin{bmatrix}C_{11} diezC_{12} "C_{1n}C_{21} limitC_{22} limitcdots > 'vdots > 'vdots > 'ddots > {cdots} ¿Qué?

Entonces la inversa de A es la transpuesta de la matriz de cofactores por el recíproco del determinante de A:

A− − 1=1Det⁡ ⁡ ()A)CT.{displaystyle mathbf [A} ^{-1}={frac {1}{operatorname {det} {mathbf {A}}}mathbf {C} } {Mathsf {T}}}

La transpuesta de la matriz del cofactor se denomina matriz adjunta (también llamada adjunta clásica) de A.

La fórmula anterior puede generalizarse de la siguiente manera: Vamos <math alttext="{displaystyle 1leq i_{1}<i_{2}<ldots 1≤ ≤ i1.i2....... .ik≤ ≤ n{displaystyle 1leq i_{1} {2} 0}<img alt="{displaystyle 1leq i_{1}<i_{2}<ldots y <math alttext="{displaystyle 1leq j_{1}<j_{2}<ldots 1≤ ≤ j1.j2....... .jk≤ ≤ n{displaystyle 1leq J_{1} selej_{2} seleccionódots<img alt="{displaystyle 1leq j_{1}<j_{2}<ldots se ordenan secuencias (en orden natural) de índices (aquí A es un n×n matriz). Entonces...

[A− − 1]I,J=± ± [A]J.,I.DetA,{displaystyle [mathbf {f} {fnMicroc {fnMitbf {f}_{J', I'}{det mathbf {}}}} {f}}

Donde I., J. denota las secuencias ordenadas de índices (los índices están en orden natural de magnitud, como arriba) complementarias I, JAsí que cada índice 1,... n aparece exactamente una vez I o I., pero no en ambos (similarmente para el J y J.) y [A]I,J{fnMicrosoft Sans Serif} denota el determinante de la submatrix A formado por elegir las filas del conjunto índice I and columns of index set J. También, [A]I,J=Det()()Aip,jq)p,q=1,...... ,k){displaystyle [mathbf {A}_{I,J}=det left(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,ldotsk}right)}. Una prueba simple se puede dar usando el producto de cuña. De hecho,

[A− − 1]I,J()e1∧ ∧ ...... ∧ ∧ en)=± ± ()A− − 1ej1)∧ ∧ ...... ∧ ∧ ()A− − 1ejk)∧ ∧ ei1.∧ ∧ ...... ∧ ∧ ein− − k.,{fnMicrosoft Sans Serif} {fnh} {fnh} {fnfnh}=nh}mtbf {} {} {fn} {fn} {fnfnh} {fnfnh} {fnfncH00}cH00} {cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}ppcH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}ccH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00} e_{i'_{1}wedge ldots wedge ¿Qué?

Donde e1,...... ,en{displaystyle e_{1},ldotse_{n} son los vectores base. Actuando A en ambos lados, uno se pone

[A− − 1]I,JDetA()e1∧ ∧ ...... ∧ ∧ en)=± ± ()ej1)∧ ∧ ...... ∧ ∧ ()ejk)∧ ∧ ()Aei1.)∧ ∧ ...... ∧ ∧ ()Aein− − k.)=± ± [A]J.,I.()e1∧ ∧ ...... ∧ ∧ en).{fn} {fn} {fn} {cH00}fn}f}fn} {fn} {fn} {fn} {ccH00}cH00}fn}cH00} {b} {cH00}ccH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} [Mathbf {A}_{J',I'}(e_{1}wedge ldots wedge e_{n}). }

El signo se puede arreglar para ser ()− − 1).. s=1kis− − .. s=1kjs{displaystyle (-1)^{sum ## {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?, por lo que el signo es determinado por las sumas de elementos en I y J.

Otras aplicaciones

Dada una matriz m × n con entradas reales (o entradas de cualquier otro campo) y rango r, entonces existe al menos un menor r × r distinto de cero, mientras que todos los menores mayores son cero.

Usaremos la siguiente notación para menores: si A es una matriz m × n, I es un subconjunto de {1,...,m} con k elementos, y J es un subconjunto de {1,...,n} con k elementos, luego escribimos [A]_I,J para el k × k menor de A que corresponde a las filas con índice en I y las columnas con índice en J.

• Si I = JEntonces...A]_I,J se llama principal menor.
• Si la matriz que corresponde a un menor principal es una submatrix cuadrada superior izquierda de la matriz mayor (es decir, consta de elementos de matriz en filas y columnas de 1 a k, también conocido como una submatrix principal líder), entonces el menor principal se llama un principal menor (de orden k) o esquina (principal) menor (de orden k). Para un n×n matriz cuadrada, hay n principales menores.
• A menor básico de una matriz es el determinante de una submatrix cuadrado que es de tamaño máximo con determinante no cero.
• Para las matrices hermitianas, los principales menores pueden ser utilizados para probar la definición positiva y los principales menores pueden ser utilizados para probar la semidefinición positiva. Vea el criterio de Sylvester para más detalles.

Tanto la fórmula para la multiplicación de matrices ordinarias como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales del siguiente enunciado general sobre los menores de un producto de dos matrices. Supongamos que A es una matriz m × n, B es una n × p matriz, I es un subconjunto de {1,...,m} con k elementos y J es un subconjunto de {1,...,p} con elementos k. Entonces

[AB]I,J=.. K[A]I,K[B]K,J{displaystyle [mathbf {AB}_{I,J}=sum [Mathbf] {A}_{I,K} [Mathbf {B}

donde la suma se extiende sobre todos los subconjuntos K de {1,...,n} con elementos k. Esta fórmula es una extensión directa de la fórmula de Cauchy-Binet.

Enfoque de álgebra multilineal

Un tratamiento algebraico más sistemático de los menores se da en álgebra multilineal, usando el producto cuña: los k-menores de una matriz son las entradas en el késimo mapa de potencia exterior.

Si las columnas de una matriz se encajan entre sí k a la vez, los menores k × k aparecen como los componentes de la resultante k-vectores. Por ejemplo, los 2 × 2 menores de la matriz

()143− − 121){displaystyle {begin{pmatrix}1 ventaja43 recur!!-12 limitada1\\end{pmatrix}}}

son −13 (de las dos primeras filas), −7 (de la primera y última fila) y 5 (de las dos últimas filas). Ahora considere el producto de cuña

()e1+3e2+2e3)∧ ∧ ()4e1− − e2+e3){displaystyle (mathbf {e} _{1}+3mathbf {e} _{2}+2mathbf {e} _{3})wedge (4mathbf {e} ¿Qué? ¿Qué? _{3}}

donde las dos expresiones corresponden a las dos columnas de nuestra matriz. Usando las propiedades del producto cuña, a saber, que es bilineal y alternante,

ei∧ ∧ ei=0,{displaystyle mathbf {e} ¿Qué?

y antisimétrico,

ei∧ ∧ ej=− − ej∧ ∧ ei,{displaystyle mathbf {e} _{i}wedge mathbf {e} _{j}=-mathbf {e} _{j}wedge mathbf {e} _{i}}

podemos simplificar esta expresión a

− − 13e1∧ ∧ e2− − 7e1∧ ∧ e3+5e2∧ ∧ e3{displaystyle -13mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{2}-7mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{3}+5mathbf {e} _{2}wedge mathbf {e} {e} {e}} ¿Qué?

donde los coeficientes concuerdan con los menores calculados anteriormente.

Una observación sobre notación diferente

En algunos libros, en lugar de cofactor se usa el término adjunto. Además, se denota como A_ij y se define de la misma forma que cofactor:

Aij=()− − 1)i+jMij{displaystyle mathbf [A] _{ij}=(-1)^{i+j}mathbf {M} _{ij}

Usando esta notación, la matriz inversa se escribe de esta manera:

M− − 1=1Det()M)[A11A21⋯ ⋯ An1A12A22⋯ ⋯ An2⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ A1nA2n⋯ ⋯ Ann]{displaystyle mathbf {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}A_{11} {21} {cdots} "A_{n1}\A_{12} limitA_{22} limitcdots ' {n2}\vdots > 'ddots > 'vdots \A_{1n} limitA_{2n} âTMn} {nnnnnn}}}}}}

Tenga en cuenta que adjunto no es adjunto ni adjunto. En la terminología moderna, el "junto" de una matriz suele referirse al operador adjunto correspondiente.