Medir el espacio

Un espacio de medida es un objeto básico de la teoría de la medida, una rama de las matemáticas que estudia las nociones generalizadas de volúmenes. Contiene un conjunto subyacente, los subconjuntos de este conjunto que son factibles de medir (el álgebra σ) y el método que se utiliza para medir (la medida). Un ejemplo importante de un espacio de medida es un espacio de probabilidad.

Un espacio medible consta de los dos primeros componentes sin una medida específica.

Definición

Un espacio de medida es triple ()X,A,μ μ ),{displaystyle (X,{mathcal {A},mu),} Donde

• X{displaystyle X} es un juego
• A{displaystyle {fnMithcal}} es un álgebra σ en el conjunto X{displaystyle X}
• μ μ {displaystyle mu } es una medida ()X,A){displaystyle (X,{mathcal {A})}

En otras palabras, un espacio de medida consiste en un espacio mensurable ()X,A){displaystyle (X,{mathcal {A})} junto con una medida en ella.

Ejemplo

Set X={}0,1}{displaystyle X={0,1}}. El σ σ {textstyle sigma }- álgebra en conjuntos finitos como el anterior es generalmente el conjunto de potencia, que es el conjunto de todos los subconjuntos (de un conjunto dado) y es denotado por ℘ ℘ ()⋅ ⋅ ).{textstyle wp (cdot). } Nos quedamos con esta convención.

A=℘ ℘ ()X){displaystyle {mathcal {}=wp (X)}

En este caso simple, el conjunto de potencia se puede escribir explícitamente:

℘ ℘ ()X)={}∅ ∅ ,{}0},{}1},{}0,1}}.{displaystyle wp (X)={ nothing{0},{1},{0,1}}.}

Como medida, definir μ μ {textstyle mu } por

μ μ (){}0})=μ μ (){}1})=12,{displaystyle mu ({0})=mu ({1})={frac {1}{2}}}}

μ μ ()X)=1{textstyle mu (X)=1}

μ μ ()∅ ∅ )=0{textstyle mu (varnothing)=0}

Esto conduce al espacio de medida ()X,℘ ℘ ()X),μ μ ).{textstyle (X,wp (X),mu). } Es un espacio de probabilidad, ya que μ μ ()X)=1.{textstyle mu (X)=1.} La medida μ μ {textstyle mu } corresponde a la distribución Bernoulli con p=12,{textstyle p={frac}{2}}} que es, por ejemplo, utilizado para modelar una moneda justa.

Clases importantes de espacios de medida

Las clases más importantes de espacios de medidas se definen por las propiedades de sus medidas asociadas. Esto incluye

• Espacios de probabilidad, un espacio de medida donde la medida es una medida de probabilidad
• Espacios de medida finitos, donde la medida es una medida finita
• σ σ {displaystyle sigma }- espacios de medida, donde la medida es un σ σ {displaystyle sigma }- Medida definitiva

Otra clase de espacios de medida son los espacios de medida completos.