Medida (matemáticas)

Informalmente, una medida tiene la propiedad de ser monotona en el sentido de que si ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle B,}$ la medida ${displaystyle A}$ es inferior o igual a la medida ${displaystyle B.}$ Además, se requiere que la medida del conjunto vacío sea 0. Un ejemplo simple es un volumen (cuán grande un objeto ocupa un espacio) como medida.

En matemáticas, el concepto de medida es una generalización y formalización de medidas geométricas (longitud, área, volumen) y otras nociones comunes, como masa y probabilidad de eventos. Estos conceptos aparentemente distintos tienen muchas similitudes y, a menudo, se pueden tratar juntos en un solo contexto matemático. Las medidas son fundamentales en la teoría de la probabilidad, la teoría de la integración y se pueden generalizar para asumir valores negativos, como con la carga eléctrica. Las generalizaciones de gran alcance (como las medidas espectrales y las medidas con valores de proyección) de la medida se utilizan ampliamente en la física cuántica y la física en general.

La intuición detrás de este concepto se remonta a la antigua Grecia, cuando Arquímedes intentó calcular el área de un círculo. Pero no fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que la teoría de la medida se convirtió en una rama de las matemáticas. Los cimientos de la teoría de la medida moderna se establecieron en los trabajos de Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory y Maurice Fréchet, entre otros.

Definición

Aditividad contable de una medida ${displaystyle mu }$: La medida de una unión disyuntiva contable es la misma que la suma de todas las medidas de cada subconjunto.

Vamos ${displaystyle X}$ ser un juego ${displaystyle Sigma }$ a ${displaystyle sigma }$- álgebra sobre ${displaystyle X.}$ Una función de configuración ${displaystyle mu }$ desde ${displaystyle Sigma }$ a la línea de números reales extendidos se llama Medida si satisface las siguientes propiedades:

• No negativaPara todos ${displaystyle E}$ dentro ${displaystyle Sigma}$ tenemos ${displaystyle mu (E)geq 0.}$
• Conjunto vacío: ${displaystyle mu (varnothing)=0.}$
• Adición contable (o ${displaystyle sigma }$- Additivity): Para todas las colecciones contables ${displaystyle {fnK} {fnK}} {fnf}$ de pares conjuntos de descomposición en la
  $${displaystyle mu left(bigcup ¿Qué? - Sí.$$

  

Si al menos un set ${displaystyle E}$ tiene medida finita, entonces el requisito ${displaystyle mu (varnothing)=0}$ se cumple automáticamente debido a la aditividad contable:

$${displaystyle mu (E)=mu (Ecup varnothing)=mu (E)+mu (varnothing),}$$

${displaystyle mu (varnothing)=0.}$

Si la condición de no negativo es bajada, y ${displaystyle mu }$ toma en la mayoría de uno de los valores de ${displaystyle pm infty}$ entonces ${displaystyle mu }$ se llama Medida firmada.

El par ${displaystyle (X,Sigma)}$ se llama espacio mensurable, y los miembros de ${displaystyle Sigma }$ se llaman conjuntos mensurables.

Un triple ${displaystyle (X,Sigmamu)}$ se llama Medición del espacio. Una medida de probabilidad es una medida con la medida total uno – es decir, ${displaystyle mu (X)=1.}$ Un espacio de probabilidad es un espacio de medida con una medida de probabilidad.

Para espacios de medida que también son espacios topológicos, se pueden colocar varias condiciones de compatibilidad para la medida y la topología. La mayoría de las medidas que se encuentran en la práctica en el análisis (y en muchos casos también en la teoría de la probabilidad) son medidas de Radon. Las medidas de radón tienen una definición alternativa en términos de funcionales lineales en el espacio vectorial topológico localmente convexo de funciones continuas con soporte compacto. Este enfoque es adoptado por Bourbaki (2004) y varias otras fuentes. Para más detalles, consulte el artículo sobre medidas de radón.

Instancias

Aquí se enumeran algunas medidas importantes.

• La medida de conteo se define por ${displaystyle mu (S)}$ = número de elementos en ${displaystyle S.}$
• La medida Lebesgue en ${displaystyle mathbb {R}$ es una medida completa de traducción-invariante en una σ- álgebra que contiene los intervalos en ${displaystyle mathbb {R}$ tales que ${displaystyle mu ([0,1])=1}$; y cada otra medida con estas propiedades extiende la medida Lebesgue.
• La medida de ángulo circular es invariable bajo rotación, y la medida de ángulo hiperbólico es invariante bajo el mapeo de presión.
• La medida Haar para un grupo topológico localmente compacto es una generalización de la medida Lebesgue (y también de medida de conteo y medida de ángulo circular) y tiene propiedades de singularidad similares.
• La medida Hausdorff es una generalización de la medida Lebesgue para establecer con dimensión no-integer, en particular, conjuntos fractales.
• Cada espacio de probabilidad da lugar a una medida que toma el valor 1 en todo el espacio (y por lo tanto toma todos sus valores en el intervalo de unidad [0, 1]). Tal medida se denomina medida Medida de probabilidad. Ver axiomas de probabilidad.
• La medida Dirac δ_a (cf. Función Dirac delta) δ_a()S) χ_Sa) Donde χ_S es la función indicadora de ${displaystyle S.}$ La medida de un conjunto es 1 si contiene el punto ${displaystyle a}$ y 0 de lo contrario.

Otro 'nombrado' las medidas utilizadas en varias teorías incluyen: medida de Borel, medida de Jordan, medida ergódica, medida de Gauss, medida de Baire, medida de Radon, medida de Young y medida de Loeb.

En física, un ejemplo de una medida es la distribución espacial de la masa (ver, por ejemplo, potencial de gravedad), u otra propiedad extensiva no negativa, conservada (ver la ley de conservación para obtener una lista de estas) o no. Los valores negativos conducen a medidas firmadas, consulte "generalizaciones" debajo.

• La medida Liouville, conocida también como la forma de volumen natural en un manifold simple, es útil en la mecánica clásica estadística y Hamiltoniana.
• La medida Gibbs es ampliamente utilizada en la mecánica estadística, a menudo bajo el nombre de conjunto canónico.

Propiedades básicas

Vamos ${displaystyle mu }$ ser una medida.

Monotonicidad

Si ${displaystyle E_{1}$ y ${displaystyle E_{2}$ son conjuntos mensurables con ${displaystyle E_{1}subseteq E_{2}$ entonces

$${displaystyle mu (E_{1})leq mu (E_{2}). }$$

Medida de uniones contables e intersecciones

Subaditividad

Para cualquier secuencia contable ${displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},ldots }$ of (not necessarily disjoint) measurable sets ${displaystyle E_{n}$ dentro ${displaystyle Sigma:}$

$${displaystyle mu left(bigcup ¿Por qué?$$

Continuidad desde abajo

Si ${displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},ldots }$ son conjuntos mensurables que están aumentando (lo que significa que ${displaystyle E_{1}subseteq E_{2}subseteq E_{3}subseteq ldots }$) entonces la unión de los conjuntos ${displaystyle E_{n}$ es mensurable y

$${displaystyle mu left(bigcup ¿Por qué? }$$

Continuidad desde arriba

Si ${displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},ldots }$ son conjuntos mensurables que están disminuyendo (significando que ${displaystyle E_{1}supseteq E_{2}supseteq E_{3}supseteq ldots }$) entonces la intersección de los conjuntos ${displaystyle E_{n}$ es mensurable; además, si al menos uno de los ${displaystyle E_{n}$ tiene medida finita entonces

$${displaystyle mu left(bigcap ¿Por qué? }$$

Esta propiedad es falsa sin la suposición de que al menos una de las ${displaystyle E_{n}$ tiene una medida finita. Por ejemplo, para cada uno ${displaystyle nin mathbb {N}$ Deja ${displaystyle E_{n}=[n,infty)subseteq mathbb {R}$ que todos tienen medida infinita de Lebesgue, pero la intersección está vacía.

Otras propiedades

Integridad

Un set mensurable ${displaystyle X}$ se llama null set si ${displaystyle mu (X)=0.}$ Un subconjunto de un conjunto nulo se llama un juego insignificante. Un conjunto insignificante no necesita ser mensurable, pero cada conjunto insignificante es automáticamente un conjunto nulo. Una medida se llama completo si cada juego insignificante es mensurable.

Una medida se puede extender a una completa considerando el álgebra σ de subconjuntos ${displaystyle Sí.$ que difieren de un conjunto insignificante de un conjunto mensurable ${displaystyle X.$ es decir, tal que la diferencia simétrica ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ está contenida en un conjunto nulo. Uno define ${displaystyle mu (Y)}$ en pie de igualdad ${displaystyle mu (X).}$

Μ{x: f(x) ≥ t} = μ{x: f(x) > t} (es decir)

Si ${displaystyle f:Xto [0,+infty]$ es ${displaystyle (Sigma{cal {B}([0,+infty])}$-Mediable, entonces

$${displaystyle mu {xin X:f(x)geq t}=mu {xin X:f(x)}}$$

${displaystyle tin X.}$

Prueba

Ambos ${displaystyle F(t):=mu {xin X:f(x)}}$ y ${displaystyle G(t):=mu {xin X:f(x)geq t}$ son funciones monotonicamente no crecientes ${displaystyle t,}$ Así que ambos tienen en lo más contable muchas discontinuidades y por lo tanto son continuas casi en todas partes, en relación con la medida Lebesgue. Si ${displaystyle t won0}$ entonces ${displaystyle {xin X:f(x)geq t}=X={xin X:f(x)}}$ así ${displaystyle F(t)=G(t),}$ como se desee.

Si ${displaystyle t}$ es tal que ${displaystyle mu {xin X:f(x).$ entonces la monotónica implica

$${displaystyle mu {xin X:f(x)geq t}=+infty}$$

así ${displaystyle F(t)=G(t),}$ según sea necesario. Si ${displaystyle mu {xin X:f(x).$ para todos ${displaystyle t}$ entonces hemos terminado, así que asumen lo contrario. Entonces hay un único ${displaystyle t_{0}in {infty}cup [0,+infty)}$ tales que ${displaystyle F}$ es infinita a la izquierda de ${displaystyle t}$ (que sólo puede suceder cuando ${displaystyle T_{0}geq 0}$Y finito a la derecha. Arguyendo como arriba, ${displaystyle mu {xin X:f(x)geq.$ cuando ${displaystyle No lo sé.$ Del mismo modo, si ${displaystyle T_{0}geq 0}$ y ${displaystyle Fleft(t_{0}right)=+infty$ entonces ${displaystyle Fleft(t_{0}right)=Gleft(t_{0}right). }$

Para ${displaystyle t {0}$ Deja ${displaystyle T_{n}$ ser una secuencia monotonicamente no-disminución convergendo a ${displaystyle t.}$ La secuencia monotonicamente no creciente ${displaystyle {xin X:f(x)}}$ of members of ${displaystyle Sigma }$ tiene al menos una finita ${displaystyle mu }$- componente mensurable, y

$${displaystyle {xin X:f(x)geq t}=bigcap _{n}{xin X:f(x) cont_{n}}$$

La continuidad de las garantías anteriores

$${displaystyle mu {xin X:f(x)geq t}=lim ¿Por qué?$$

El lado derecho ${displaystyle lim _{t_{n}uparrow t}Fleft(t_{n}right)}$ entonces iguales ${displaystyle F(t)=mu{xin X:f(x)}}$ si ${displaystyle t}$ es un punto de continuidad ${displaystyle F.}$ Desde ${displaystyle F}$ es continuo casi en todas partes, esto completa la prueba.

Aditividad

Las medidas deben ser contablemente aditivas. Sin embargo, la condición puede fortalecerse de la siguiente manera. Para cualquier conjunto ${displaystyle Yo...$ y cualquier conjunto de no negativo ${displaystyle r_{i},iin Yo...$ definir:

$${displaystyle sum _{iin I}r_{i}=sup leftlbrace sum _{iin J}r_{i}: "Personal"J."$$

${displaystyle R_{i}$

Medida ${displaystyle mu }$ on ${displaystyle Sigma }$ es ${displaystyle kappa }$- Aditivo si para cualquier ${displaystyle lambda$ y cualquier familia de conjuntos ${displaystyle X_{alpha },alpha$ la siguiente sujeción:

$${displaystyle bigcup _{alpha in lambda }X_{alpha }in Sigma }$$

$${displaystyle mu left(bigcup _{alpha in lambda }X_{alpha }right)=sum _{alpha in lambda }mu left(X_{alpha }right). }$$

${displaystyle kappa }$

Sigma-medidas finitas

Un espacio de medida ${displaystyle (X,Sigmamu)}$ se llama finito si ${displaystyle mu (X)}$ es un número real finito (más que ${displaystyle infty }$). Las medidas no finitas son análogas a las medidas de probabilidad en el sentido de que cualquier medida finita ${displaystyle mu }$ es proporcional a la medida de probabilidad ${displaystyle {frac {}{mu (X)}mu.}}$ Medida ${displaystyle mu }$ se llama σ-finite si ${displaystyle X}$ puede ser descompuesto en una unión contable de conjuntos mensurables de medida finita. Se dice que un conjunto en un espacio de medida tiene un σ-finite measure si es una unión contable de conjuntos con medida finita.

Por ejemplo, los números reales con la medida de Lebesgue estándar son σ-finite pero no finite. Considere los intervalos cerrados ${displaystyle [k,k+1]}$ para todos los enteros ${displaystyle k;}$ hay muchos intervalos, cada uno tiene la medida 1, y su unión es toda la línea real. Alternativamente, considere los números reales con la medida contable, que asigna a cada conjunto finito de reales el número de puntos en el conjunto. Este espacio de medida no es σ-finite, porque cada conjunto con medida finita contiene sólo finitamente muchos puntos, y tomaría incontablemente muchos de estos conjuntos para cubrir toda la línea real. Los espacios de medida σ-finite tienen algunas propiedades muy convenientes; σ-finiteness se puede comparar en este respecto a la propiedad Lindelöf de los espacios topológicos. También se puede considerar como una vaga generalización de la idea de que un espacio de medida puede tener 'medida incontable'.

Medidas estrictamente localizables

Medidas semifinitas

Vamos ${displaystyle X}$ ser un juego, ${displaystyle {cal {}}}$ ser un sigma-algebra en ${displaystyle X.$ y dejar ${displaystyle mu }$ ser una medida ${displaystyle {cal {}}$ Dijimos ${displaystyle mu }$ es semifinito significa eso para todos ${displaystyle Ain mu ^{text{pre}{+infty }$ ${displaystyle {cal {}(A)cap mu ^{text{pre}(mathbb {R} _{ Conf0})neq emptyset.}$

Las medidas semifinitas generalizan medidas sigma-finitas, de tal manera que algunos grandes teoremas de la teoría de la medida que se cumplen para medidas sigma-finitas pero no arbitrarias se pueden extender con pocas modificaciones para que se cumplan para medidas semifinitas. (Pendientes pendientes: agregue ejemplos de tales teoremas; consulte la página de discusión).

Ejemplos básicos

• Cada medida sigma-finita es semifinita.
• Assume ${displaystyle {cal {}={cal {}(X),}$ Deja ${displaystyle f:Xto [0,+infty],}$ y asumir ${displaystyle mu (A)=sum _{ain A}f(a)}$ para todos ${displaystyle Asubseteq X.}$
  • Tenemos eso ${displaystyle mu }$ es sigma-finito si y sólo si ${displaystyle f(x)$ para todos ${displaystyle xin X}$ y ${displaystyle f^{text{pre} {R} _{}0}}$ es contable. Tenemos eso ${displaystyle mu }$ es semifinito si y sólo si ${displaystyle f(x)$ para todos ${displaystyle xin X.}$
  • Tomando ${displaystyle f=Xtimes {1}$ arriba (para que ${displaystyle mu }$ está contando la medida ${displaystyle {cal {}(X)}$), vemos esa medida de contar con ${displaystyle {cal {}(X)}$ es
    • sigma-finito si y sólo si ${displaystyle X}$ es contable; y
    • semifinito (sin importar si ${displaystyle X}$ es contable). (Así, medida contable, en el set de energía ${displaystyle {cal {}(X)}$ de un conjunto arbitrario incontable ${displaystyle X.$ da un ejemplo de una medida semifinita que no es sigma-finite.)
• Vamos ${displaystyle d}$ ser una métrica completa y separable en ${displaystyle X.$ Deja ${displaystyle {B}}$ ser el Borel sigma-algebra inducido por ${displaystyle d,}$ y dejar ${displaystyle sin mathbb {R} _{}0}$ Entonces la medida Hausdorff ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {f}}fnMicrosoft Sans}}fnMicros} {B}}$ es semifinito.
• Vamos ${displaystyle d}$ ser una métrica completa y separable en ${displaystyle X.$ Deja ${displaystyle {B}}$ ser el Borel sigma-algebra inducido por ${displaystyle d,}$ y dejar ${displaystyle sin mathbb {R} _{}0}$ Luego la medida de embalaje ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {f}}fnMicrosoft Sans}}fnMicros} {B}}$ es semifinito.

Ejemplo involucrado

La medida cero es sigma-finita y por lo tanto semifinita. Además, la medida cero es claramente inferior o igual a ${displaystyle mu.}$ Se puede demostrar que hay una medida más grande con estas dos propiedades:

Decimos: parte semifinita de ${displaystyle mu }$ para significar la medida semifinita ${displaystyle mu _{text{sf}}$ definido en el teorema anterior. Damos algunas fórmulas bonitas y explícitas, que algunos autores pueden tomar como definición, para la parte semifinita:

• ${displaystyle mu _{text{sf}=(sup{mu (B):Bin {cal {}(A)cap mu ^{text{pre}}(mathbb {R} _{geq 0})})_{Ain {in {c}}}}}} {supdisplaystyle mu} {displaystyle mu}} {supsupsupsupsupsupsupsupsupsupsupsup\\\\\\\\\\\supsupsupsupsupsupsupsupsupsupsup\\supsupsupsupsupsupsup\\\\\\\\\\\sup\\\\$
• ${displaystyle mu _{text{sf}=(sup{{cap B):Bin mu ^{text{pre}(mathbb {R} _{geq 0}))_{Ain {cal {}}}}}}} {sup}supsupsupdisplaystyle mu*}displaystyle mu _{supsupsupsupsupsupsupsupsupsupsupsupsupccccc\ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc\\cccccc$
• ${displaystyle mu _{text{sf}=mu Silencio. {R} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {Ain {cal {}:sup{mu (B):Bin {cal {f}(A)}=+infty}times {+infty}cupy {Ain {cal {fn}:sup{mu (B):Bin {cal {f}(A)} {fnMicrosoft Sans Serif} {0}$

Desde ${displaystyle mu _{text{sf}}$ es semifinito, sigue que si ${displaystyle mu =mu _{sf}}$ entonces ${displaystyle mu }$ es semifinito. También es evidente que si ${displaystyle mu }$ es semifinito entonces ${displaystyle mu =mu _{sf}}$

No ejemplos

Cada uno ${displaystyle 0-infty}$ Medida que no es la medida cero no es semifinita. (Aquí, decimos ${displaystyle 0-infty}$ Medida para significar una medida cuyo rango se encuentra en ${displaystyle {0,+infty}$: ${displaystyle (forall Ain {cal {})(mu (A)in {0,+infty }).}$) A continuación damos ejemplos de ${displaystyle 0-infty}$ medidas que no son medidas cero.

• Vamos ${displaystyle X}$ no vale la pena, ${displaystyle {cal {}}}$ ser un ${displaystyle sigma }$- Álgebra en ${displaystyle X.$ Deja ${displaystyle f:Xto {0,+infty}$ no sea la función cero, y dejar ${displaystyle mu =(sum _{xin A}f(x)_{Ain {cal {}}}$ Se puede demostrar que ${displaystyle mu }$ es una medida.
  • ${displaystyle mu ={(emptyset0)cup ({cal {}setminus {emptyset})times {+infty}.}$
    • ${displaystyle X={0},}$ ${displaystyle {cal {fn}=\\ emtysetX}}$ ${displaystyle mu ={(emptyset0),(X,+infty)}.}$
• Vamos ${displaystyle X}$ ser incontable, ${displaystyle {cal {}}}$ ser un ${displaystyle sigma }$- Álgebra en ${displaystyle X.$ Deja ${displaystyle {cal {f}= {fnfnK}:A{text{ is countable}}}}}}}$ ser los elementos contables ${displaystyle {cal {}},}$ y dejar ${displaystyle mu ={cal {C}times {0}cup ({cal {}setminus {cal {})times {+infty}.}$ Se puede demostrar que ${displaystyle mu }$ es una medida.

Involucrado sin ejemplo

Las medidas que no son semifinitas son muy salvajes cuando se limitan a ciertos conjuntos. Cada medida es, en cierto sentido, semifinita una vez ${displaystyle 0-infty}$ parte (la parte salvaje) se quita.

—A. Mukherjea y K. Pothoven, Análisis Real y Funcional, Parte A: Análisis Real (1985)

Decimos: ${displaystyle mathbf {0-infty }$ Parte de ${displaystyle mu }$ significar la medida ${displaystyle mu _{0-infty}$ definido en el teorema anterior. Aquí hay una fórmula explícita para ${displaystyle mu _{0-infty}$: ${displaystyle mu _{0-infty }=(sup{mu (B)-mu _{text{sf}(B):Bin {cal {sup}(A)capmu _{text{sf}} {text{pre}}} {mthbbbb}} {sup} {sup} {sup} {sup} {sup}sup}sup}sup}\sup}\sup}sup}\sup}\\sup_\\sup}\\sup}\\\\\\\sup}sup}\sup}\sup}\\\\\sup_\\\\\\\\\\\sup}\\\\\\sup}sup} {R} _{geq 0})_{Ain {cal {}}}$

Resultados con respecto a medidas semifinitas

• Vamos ${displaystyle mathbb {F}$ Ser ${displaystyle mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb {C}$ y dejar ${displaystyle T:L_{mathbb {F} {infty }(mu)to left(L_{mathbb {F}}{1} {mu)}{*}:gmapsto T_{}=left(int fgdmuright)_{fin L_{mathbb}$ Entonces... ${displaystyle mu }$ es semifinito si y sólo si ${displaystyle T}$ es inyectable. (Este resultado tiene importancia en el estudio del espacio dual ${displaystyle ¿Qué?$.)
• Vamos ${displaystyle mathbb {F}$ Ser ${displaystyle mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb {C}$ y dejar ${displaystyle {cal {}}}$ ser la topología de la convergencia en medida en ${displaystyle L_{mathbb {} {0}(mu). }$ Entonces... ${displaystyle mu }$ es semifinito si y sólo si ${displaystyle {cal {}}}$ Es Hausdorff.
• (Johnson) Let ${displaystyle X}$ ser un juego, ${displaystyle {cal {}}}$ ser un sigma-algebra en ${displaystyle X.$ Deja ${displaystyle mu }$ ser una medida ${displaystyle {cal {}},}$ Deja ${displaystyle Sí.$ ser un juego, ${displaystyle {B}}$ ser un sigma-algebra en ${displaystyle Sí.$ y dejar ${displaystyle nu }$ ser una medida ${displaystyle {cal {}}}$ Si ${displaystyle munu}$ ambos no ${displaystyle 0-infty}$ medida, entonces ambos ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle nu }$ son semifinitos si y sólo si ${displaystyle (mu times _{text{cld}nu)}$${displaystyle (Atimes B)=mu (A)nu (B)}$ para todos ${displaystyle Ain {cal {}}$ y ${displaystyle Bin {cal {B}}$ (Aquí, ${displaystyle mu times _{text{cld}nu }$ es la medida definida en Theorem 39.1 en Berberian '65.)

Medidas localizables

Las medidas localizables son un caso especial de medidas semifinitas y una generalización de medidas sigma-finitas.

Vamos ${displaystyle X}$ ser un juego, ${displaystyle {cal {}}}$ ser un sigma-algebra en ${displaystyle X.$ y dejar ${displaystyle mu }$ ser una medida ${displaystyle {cal {}}$

• Vamos ${displaystyle mathbb {F}$ Ser ${displaystyle mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb {C}$ y dejar ${displaystyle T:L_{mathbb {F} {infty }(mu)to left(L_{mathbb {F}}{1} {mu)}{*}:gmapsto T_{}=left(int fgdmuright)_{fin L_{mathbb}$ Entonces... ${displaystyle mu }$ es localizable si y sólo si ${displaystyle T}$ es bijetivo (si y sólo si ${displaystyle L_{mathbb {} {infty}(mu)}$ "es" ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$).

S-medidas finitas

Se dice que una medida es s-finita si es una suma contable de medidas acotadas. Las medidas S-finitas son más generales que las sigma-finitas y tienen aplicaciones en la teoría de procesos estocásticos.

Conjuntos no medibles

Si se supone que el axioma de elección es cierto, se puede probar que no todos los subconjuntos del espacio euclidiano son medibles según Lebesgue; ejemplos de tales conjuntos incluyen el conjunto Vitali y los conjuntos no medibles postulados por la paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski.

Generalizaciones

Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no se restringen a los reales no negativos o al infinito. Por ejemplo, una función de conjunto aditivo contable con valores en los números reales (con signo) se denomina medida con signo, mientras que dicha función con valores en los números complejos se denomina medida compleja. Obsérvese, sin embargo, que la medida compleja es necesariamente de variación finita, por lo que las medidas complejas incluyen medidas con signo finito pero no, por ejemplo, la medida de Lebesgue.

Las medidas que toman valores en espacios de Banach se han estudiado ampliamente. Una medida que toma valores en el conjunto de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert se denomina medida con valor de proyección; estos se utilizan en el análisis funcional para el teorema espectral. Cuando es necesario distinguir las medidas habituales que toman valores no negativos de las generalizaciones, se utiliza el término medida positiva. Las medidas positivas se cierran bajo combinación cónica pero no en combinación lineal general, mientras que las medidas con signo son el cierre lineal de medidas positivas.

Otra generalización es la medida aditiva finitamente, también conocido como un contenido. Esto es lo mismo que una medida excepto que en lugar de requerir contable aditividad que sólo necesitamos finito Aditividad. Históricamente, esta definición se utilizó primero. Resulta que en general, las medidas aditivas finitas están conectadas con nociones como los límites de Banach, la doble de ${displaystyle L^{infty}$ y la compactación Stone-Čech. Todos estos están vinculados de una manera u otra al axioma de la elección. El contenido sigue siendo útil en ciertos problemas técnicos en la teoría de la medida geométrica; esta es la teoría de las medidas de Banach.

Un cargo es una generalización en ambas direcciones: es una medida firmada finitamente aditiva. (Cf. ba espacio para información sobre cargas acotadas, donde decimos que una carga es acotada para indicar que su rango es un subconjunto acotado de R.)