Medida del producto

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En matemáticas, dados dos espacios medibles y medidas en ellos, se puede obtener un espacio medible del producto y una medida del producto en ese espacio. Conceptualmente, esto es similar a definir el producto cartesiano de conjuntos y la topología del producto de dos espacios topológicos, excepto que puede haber muchas opciones naturales para la medida del producto.

Vamos. ${displaystyle (X_{1},Sigma _{1})}$ y ${displaystyle (X_{2},Sigma _{2})}$ ser dos espacios mensurables, es decir, ${displaystyle Sigma _{1}}$ y ${displaystyle Sigma _{2}}$ son álgebras de sigma en ${displaystyle X_{1}}$ y ${displaystyle X_{2}}$ respectivamente, y dejar ${displaystyle mu _{1}}$ y ${displaystyle mu _{2}}$ ser medidas en estos espacios. Denote by ${displaystyle Sigma _{1}otimes Sigma _{2}}$ el álgebra de sigma en el producto cartesiano ${displaystyle X_{1}times X_{2}}$ generado por subconjuntos de la forma ${displaystyle B_{1}times B_{2}}$ , donde ${displaystyle B_{1}in Sigma _{1}}$ y ${displaystyle B_{2}in Sigma _{2}.}$ Este álgebra de sigma se llama tensor-producto σ-algebra en el espacio del producto.

A medida ${displaystyle mu _{1}times mu _{2}}$ (también denotado por ${displaystyle mu _{1}otimes mu _{2}}$ por muchos autores) se define como una medida en el espacio mensurable ${displaystyle (X_{1}times X_{2},Sigma _{1}otimes Sigma _{2})}$ satisfacción de la propiedad

{displaystyle (mu _{1}times mu _{2})(B_{1}times B_{2})=mu _{1}(B_{1})mu _{2}(B_{2})}

para todos

{displaystyle B_{1}in Sigma _{1}, B_{2}in Sigma _{2}}

(Al multiplicar medidas, algunas de las cuales son infinitas, definimos que el producto es cero si algún factor es cero).

De hecho, cuando los espacios son ${displaystyle sigma }$ -finito, la medida del producto se define únicamente, y para cada conjunto mensurable E,

{displaystyle (mu _{1}times mu _{2})(E)=int _{X_{2}}mu _{1}(E^{y}),dmu _{2}(y)=int _{X_{1}}mu _{2}(E_{x}),dmu _{1}(x),}

Donde ${displaystyle E_{x}={yin X_{2}|(x,y)in E}}$ y ${displaystyle E^{y}={xin X_{1}|(x,y)in E}}$ , que son los dos conjuntos mensurables.

La existencia de esta medida está garantizada por el teorema Hahn-Kolmogorov. La singularidad de la medida del producto está garantizada sólo en el caso de que ambos ${displaystyle (X_{1},Sigma _{1},mu _{1})}$ y ${displaystyle (X_{2},Sigma _{2},mu _{2})}$ son σ-finite.

Las medidas de Borel en el espacio euclidiano Rⁿ se pueden obtener como el producto de n copias de Borel mide sobre la recta real R.

Incluso si los dos factores del espacio del producto son espacios de medida completos, el espacio del producto puede no serlo. En consecuencia, el procedimiento de finalización es necesario para extender la medida de Borel a la medida de Lebesgue, o para extender el producto de dos medidas de Lebesgue para dar la medida de Lebesgue en el espacio del producto.

La construcción opuesta a la formación del producto de dos medidas es la desintegración, que en cierto sentido "divide" una medida dada en una familia de medidas que pueden integrarse para dar la medida original.

Ejemplos

Dados dos espacios de medida, siempre hay una medida de producto maximal única μ_max en su producto, con la propiedad que si μ_max()A) es finito para un conjunto mensurable A, entonces μ_max()AμA) para cualquier medida de producto μ. En particular, su valor sobre cualquier conjunto mensurable es al menos el de cualquier otra medida de producto. Esta es la medida producida por el teorema de extensión Carathéodory.
A veces también hay una medida de producto mínima única μ_min, dado por μ_min()S) = Sup_{A⊂S, μ_max()AFinite} μ_max()A), donde A y S se supone que son medibles.
Aquí hay un ejemplo donde un producto tiene más de una medida de producto. Tome el producto X×Y, donde X es el intervalo de unidad con la medida Lebesgue, y Y es el intervalo de unidad con medida de cuenta y todos los conjuntos son mensurables. Entonces, para la medida mínima del producto la medida de un conjunto es la suma de las medidas de sus secciones horizontales, mientras que para la medida máxima del producto un conjunto tiene medida infinidad a menos que esté contenida en la unión de un número contable de conjuntos de la forma A×B, donde sea A tiene Lebesgue medida 0 o B es un solo punto. (En este caso la medida puede ser finita o infinita.) En particular, la diagonal tiene medida 0 para la medida mínima del producto y mide el infinito para la medida máxima del producto.

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