Medida de probabilidad

En matemáticas, una medida de probabilidad es una función de valor real definida en un conjunto de eventos en un espacio de probabilidad que satisface propiedades de medida como la aditividad contable. La diferencia entre una medida de probabilidad y la noción más general de medida (que incluye conceptos como área o volumen) es que una medida de probabilidad debe asignar el valor 1 a todo el espacio de probabilidad.

Intuitivamente, la propiedad de aditividad dice que la probabilidad asignada a la unión de dos eventos disjuntos por la medida debe ser la suma de las probabilidades de los eventos; por ejemplo, el valor asignado a "1 o 2" en un lanzamiento de dados debe ser la suma de los valores asignados a "1" y "2".

Las medidas de probabilidad tienen aplicaciones en diversos campos, desde la física hasta las finanzas y la biología.

Definición

A Medida de probabilidad mapear el espacio de probabilidad para 23{displaystyle 2^{3} eventos al intervalo de unidad.

Los requisitos para una función μ μ {displaystyle mu } ser una medida de probabilidad en un espacio de probabilidad es que:

• μ μ {displaystyle mu } debe devolver los resultados en el intervalo de unidad [0,1],{displaystyle [0,1],} regresando 0{displaystyle 0} para el set vacío y 1{displaystyle 1} para todo el espacio.
• μ μ {displaystyle mu } debe satisfacer aditivo contable propiedad que para todas las colecciones contables {}Ei}{displaystyle {E_{i}}} de conjuntos descomunales pares:
  μ μ ()⋃ ⋃ i▪ ▪ NEi)=.. i▪ ▪ Nμ μ ()Ei).{displaystyle mu left(bigcup _{iin mathbb {N}E_{i}=sum _{iin mathbb {N}mu (E_{i}). }

  

Por ejemplo, dados tres elementos 1, 2 y 3 con probabilidades 1/4,1/4{displaystyle 1/4,1/4} y 1/2,{displaystyle 1/2,} el valor asignado {}1,3}{displaystyle {1,3}} es 1/4+1/2=3/4,{displaystyle 1/4+1/2=3/4,} como en el diagrama de la derecha.

La probabilidad condicional basada en la intersección de eventos definida como:

μ μ ()B▪ ▪ A)=μ μ ()A∩ ∩ B)μ μ ()A).{displaystyle mu (Bmid A)={frac {mu (Acap B)}{mu (A)}}}

μ μ ()A){displaystyle mu (A)}

Las medidas de probabilidad son distintas de la noción más general de medidas difusas en las que no hay ningún requisito de que los valores borrosos resuman hasta 1,{displaystyle 1,} y la propiedad aditiva es reemplazada por una relación de pedido basada en la inclusión establecida.

Aplicaciones de ejemplo

En muchos casos, la física estadística utiliza Medidas de probabilidad, pero no todas las medidas que utiliza son medidas de probabilidad.

Medidas de mercado que asignan probabilidades a los espacios del mercado financiero en función de los movimientos reales del mercado son ejemplos de medidas de probabilidad que son de interés en las finanzas matemáticas; por ejemplo, en la fijación de precios de derivados financieros. Por ejemplo, una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad que asume que el valor actual de los activos es el valor esperado del pago futuro obtenido con respecto a esa misma medida neutral al riesgo (es decir, calculada utilizando la función de densidad neutral al riesgo correspondiente), y descontado a la tasa libre de riesgo. Si hay una medida de probabilidad única que debe usarse para fijar el precio de los activos en un mercado, entonces el mercado se denomina mercado completo.

No todas las medidas que representan intuitivamente el azar o la probabilidad son medidas de probabilidad. Por ejemplo, aunque el concepto fundamental de un sistema en mecánica estadística es un espacio de medida, tales medidas no siempre son medidas de probabilidad. En general, en física estadística, si consideramos oraciones de la forma "la probabilidad de que un sistema S suponga que el estado A es p" la geometría del sistema no siempre conduce a la definición de una medida de probabilidad bajo congruencia, aunque puede hacerlo en el caso de sistemas con un solo grado de libertad.

Las medidas de probabilidad también se utilizan en biología matemática. Por ejemplo, en el análisis comparativo de secuencias, se puede definir una medida de probabilidad para la posibilidad de que una variante sea permisible para un aminoácido en una secuencia.

Los ultrafiltros se pueden entender como {}0,1}{displaystyle {0,1}}- medidas de probabilidad valoradas, permitiendo muchas pruebas intuitivas basadas en medidas. Por ejemplo, el teorema de Hindman se puede probar de la investigación adicional de estas medidas, y su convolución en particular.