Medida de Lebesgue

En la teoría de la medida, una rama de las matemáticas, la medida de Lebesgue, llamada así por el matemático francés Henri Lebesgue, es la forma estándar de asignar una medida a subconjuntos de n- espacio euclidiano dimensional. Para n = 1, 2 o 3, coincide con la medida estándar de longitud, área o volumen. En general, también se denomina nvolumen dimensional, nvolumen, o simplemente volumen . Se utiliza en todo el análisis real, en particular para definir la integración de Lebesgue. Los conjuntos a los que se les puede asignar una medida de Lebesgue se denominan medibles de Lebesgue; la medida del conjunto medible de Lebesgue A se denota aquí por λ(A).

Henri Lebesgue describió esta medida en el año 1901, seguida al año siguiente por su descripción de la integral de Lebesgue. Ambos fueron publicados como parte de su disertación en 1902.

Definición

Para cualquier intervalo I=[a,b]{displaystyle I=[a,b], o I=()a,b){displaystyle I=(a,b)}, en el set R{displaystyle mathbb {R} de números reales, l l ()I)=b− − a{displaystyle ell (I)=b-a} denota su longitud. Para cualquier subconjunto E⊆ ⊆ R{displaystyle Esubseteq mathbb {R}, la medida exterior de Lebesgue λ λ Alternativa Alternativa ()E){displaystyle lambda ^{!*}(E)} se define como un infimum

λ λ Alternativa Alternativa ()E)=inf{}.. k=1JUEGO JUEGO l l ()Ik):()Ik)k▪ ▪ Nes una secuencia de intervalos abiertos conE⊂ ⊂ ⋃ ⋃ k=1JUEGO JUEGO Ik}.{displaystyle lambda ^{!*}(E)=infleft{sum _{k=1}^{infty }ell (I_{k}):{(I_{k})_{kin mathbb {N}}{text{ is a sequence of open intervals with }Esubset g} ¿Qué? - Sí.

Algunos juegos E{displaystyle E} satisfacer el criterio Carathéodory, que requiere que por cada A⊆ ⊆ R{displaystyle Asubseteq mathbb {R},

λ λ Alternativa Alternativa ()A)=λ λ Alternativa Alternativa ()A∩ ∩ E)+λ λ Alternativa Alternativa ()A∩ ∩ Ec).{displaystyle lambda ^{!*}(A)=lambda ^{!*!}(Acap E)+lambda ^{!*}(Acap E^{c}).}

El conjunto de todos esos E{displaystyle E} forma un álgebra σ. Por cualquiera E{displaystyle E}, su medida Lebesgue se define como su medida externa Lebesgue: λ λ ()E)=λ λ Alternativa Alternativa ()E){displaystyle lambda (E)=lambda ^{!}(E)}.

Un juego E{displaystyle E} que no satisface el criterio Carathéodory no es Lebesgue-measurable. Existen conjuntos no mensurables; un ejemplo son los conjuntos Vitali.

Intuición

La primera parte de la definición indica que el subconjunto E{displaystyle E} de los números reales se reduce a su medida exterior por cobertura mediante conjuntos de intervalos abiertos. Cada uno de estos conjuntos de intervalos I{displaystyle Yo... cubiertas E{displaystyle E} en un sentido, ya que la unión de estos intervalos contiene E{displaystyle E}. La longitud total de cualquier intervalo de cobertura puede sobreestimar la medida E,{displaystyle E,} porque E{displaystyle E} es un subconjunto de la unión de los intervalos, y por lo tanto los intervalos pueden incluir puntos que no están en E{displaystyle E}. La medida exterior de Lebesgue emerge como el mayor límite inferior (infimum) de las longitudes de entre todos los conjuntos posibles. Intuitivamente, es la longitud total de esos conjuntos de intervalos que encajan E{displaystyle E} más ajustado y no se solapan.

Eso caracteriza la medida exterior Lebesgue. Si esta medida externa se traduce a la medida de Lebesgue apropiada depende de una condición adicional. Esta afección se prueba tomando subconjuntos A{displaystyle A} de los números reales utilizando E{displaystyle E} como instrumento para dividir A{displaystyle A} en dos particiones: la parte de A{displaystyle A} que intersecta con E{displaystyle E} y la parte restante A{displaystyle A} que no está E{displaystyle E}: la diferencia de conjunto A{displaystyle A} y E{displaystyle E}. Estas particiones de A{displaystyle A} están sujetos a la medida exterior. Si para todos los posibles subconjuntos A{displaystyle A} de los números reales, las particiones de A{displaystyle A} cortado por E{displaystyle E} medidas externas cuya suma es la medida exterior A{displaystyle A}, entonces la medida de Lebesgue exterior E{displaystyle E} da su medida Lebesgue. Intuitivamente, esta condición significa que el conjunto E{displaystyle E} no debe tener algunas propiedades curiosas que causa una discrepancia en la medida de otro conjunto cuando E{displaystyle E} se utiliza como una "masca" a "clip" que se establece, insinuando la existencia de conjuntos para los cuales la medida externa Lebesgue no da la medida Lebesgue. (Estos juegos son, de hecho, no Lebesgue-measurable.)

Ejemplos

• Cualquier intervalo cerrado [a, b] de números reales es Lebesgue-measurable, y su medida Lebesgue es la longitud b − a. El intervalo abierto ()a, b) tiene la misma medida, ya que la diferencia entre los dos conjuntos consiste sólo en los puntos finales a y b, que cada uno tiene medida cero.
• Cualquier producto cartesiano de intervalos [a, b] y [c, d] es Lebesgue-measurable, y su medida de Lebesgue es ()b − a)d − c), el área del rectángulo correspondiente.
• Además, cada conjunto Borel es Lebesgue-measurable. Sin embargo, hay conjuntos mensurables de Lebesgue que no son conjuntos de Borel.
• Cualquier conjunto de números reales tiene medida de Lebesgue 0. En particular, la medida Lebesgue del conjunto de números algebraicos es 0, aunque el conjunto es denso en R.
• El conjunto Cantor y el conjunto de números Liouville son ejemplos de conjuntos incontables que tienen la medida Lebesgue 0.
• Si el axioma de la determinación sostiene entonces todos los conjuntos de realidades son Lebesgue-measurable. La determinación no es compatible con el axioma de elección.
• Los conjuntos de Vitali son ejemplos de conjuntos que no son mensurables con respecto a la medida Lebesgue. Su existencia depende del axioma de elección.
• Las curvas Osgood son curvas planas simples con medida Lebesgue positiva (puede obtenerse por pequeña variación de la construcción curva Peano). La curva del dragón es otro ejemplo inusual.
• Cualquier línea en Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, para n≥ ≥ 2{displaystyle ngeq 2}, tiene una medida de Lebesgue cero. En general, cada hiperplano adecuado tiene una medida de Lebesgue cero en su espacio ambiente.

Propiedades

Invariancia de traducción: La medida de Lebesgue A{displaystyle A} y A+t{displaystyle A+t} son iguales.

La medida de Lebesgue sobre Rⁿ tiene las siguientes propiedades:

1. Si A es un producto cartesiano de intervalos I₁ × I₂ × I_n, entonces A es Lebesgue-measurable y λ λ ()A)=SilencioI1Silencio⋅ ⋅ SilencioI2Silencio⋯ ⋯ SilencioInSilencio.{displaystyle lambda (A)= habitI_{1} infraestructuracdot TENI_{2} sufrimientocdots TENI_{n}
2. Si A es una unión disyuntiva de muchos conjuntos disjoint Lebesgue-measurable, entonces A es en sí mismo Lebesgue-measurable y λ()A) es igual a la suma (o serie infinita) de las medidas de los conjuntos mensurables involucrados.
3. Si A es Lebesgue-measurable, entonces también es su complemento.
4. λ()A) ≥ 0 para cada conjunto Lebesgue-measurable A.
5. Si A y B son Lebesgue-measurable y A es un subconjunto de B, entonces λ()A≤ λ()B). (A consecuencia de 2.)
6. Contables uniones e intersecciones de conjuntos mensurables de Lebesgue son mensurables. (No es consecuencia de 2 y 3, porque una familia de conjuntos cerrados bajo complementos y uniones contables descomunales no necesita ser cerrada bajo sindicatos contables: {}∅ ∅ ,{}1,2,3,4},{}1,2},{}3,4},{}1,3},{}2,4}}{displaystyle {emptyset{1,2,3,4},{1,2},{3,4},{1,3}, {2,4}}}.)
7. Si A es un subconjunto abierto o cerrado Rⁿ (o incluso Borel set, ver el espacio métrico), entonces A Lebesgue es mensurable.
8. Si A es un conjunto de Lebesgue-measurable, entonces es "aproximadamente abierto" y "aproximadamente cerrado" en el sentido de la medida Lebesgue.
9. Un conjunto mensurable de Lebesgue puede ser "squeezed" entre un conjunto abierto conteniendo y un conjunto cerrado contenido. Esta propiedad se ha utilizado como una definición alternativa de la mensurabilidad Lebesgue. Más precisamente, E⊂ ⊂ R{displaystyle Esubset mathbb {R} es Lebesgue-measurable si y sólo si 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/> existe un conjunto abierto G{displaystyle G. y un conjunto cerrado F{displaystyle F} tales que F⊂ ⊂ E⊂ ⊂ G{displaystyle Fsubset Esubset G} y <math alttext="{displaystyle lambda (Gsetminus F)λ λ ()G∖ ∖ F).ε ε {displaystyle lambda (Gsetminus F)<img alt="{displaystyle lambda (Gsetminus F).
10. Un conjunto de Lebesgue-measurable puede ser "squeezed" entre un conjunto de Gδ que contiene y un Fσ contenido. A es Lebesgue-measurable entonces existe un conjunto de Gδ G y una Fσ F tales que G⊇A⊇F y λ()GA)λ()AF) = 0.
11. La medida de lebesgue es tanto localmente finita como interna regular, y por lo tanto es una medida de Radon.
12. La medida de Lebesgue es estrictamente positiva en conjuntos abiertos no vacíos, por lo que su apoyo es todo Rⁿ.
13. Si A es un conjunto de Lebesgue-measurable con λ(A) = 0 (un conjunto nulo), entonces cada subconjunto de A es también un conjunto nulo. A fortiori, cada subconjunto de A es mensurable.
14. Si A es Lebesgue-measurable y x es un elemento Rⁿ, entonces el traducción de A por x, definida por A + x =a + x: a ▪ A}, es también Lebesgue-measurable y tiene la misma medida que A.
15. Si A es Lebesgue-measurable y 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>, entonces el dilatación de A{displaystyle A} por δ δ {displaystyle delta } definidas por δ δ A={}δ δ x:x▪ ▪ A}{displaystyle delta A=deta x:xin A} es también Lebesgue-medible y tiene medida δ δ nλ λ ()A).{displaystyle delta ^{n}lambda ,(A).}
16. Más generalmente, si T es una transformación lineal y A es un subconjunto mensurable Rⁿ, entonces T()A) es también Lebesgue-mediable y tiene la medida SilencioDet()T)Silencioλ λ ()A){displaystyle left durabledet(T)right sobrevivirlambda (A)}.

Todo lo anterior se puede resumir sucintamente de la siguiente manera (aunque las dos últimas afirmaciones no están vinculadas de manera trivial a lo siguiente):

El Lebesgue-measurable establece un álgebra σ que contiene todos los productos de intervalos, y λ es la única medida completa de traducción-invariante en ese álgebra σ con λ λ ()[0,1]× × [0,1]× × ⋯ ⋯ × × [0,1])=1.{displaystyle lambda ([0,1]times [0,1]times cdots times [0,1])=1.}

La medida de Lebesgue también tiene la propiedad de ser σ-finita.

Conjuntos nulos

Un subconjunto de Rⁿ es un conjunto nulo si, para cada ε > 0, se puede cubrir con muchos productos contables de n intervalos cuyo volumen total es como máximo ε. Todos los conjuntos contables son conjuntos nulos.

Si un subconjunto de Rⁿ tiene una dimensión de Hausdorff menor que n entonces es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue n-dimensional. Aquí la dimensión de Hausdorff es relativa a la métrica euclidiana en Rⁿ (o cualquier métrica de Lipschitz equivalente). Por otro lado, un conjunto puede tener una dimensión topológica menor que n y tener una medida de Lebesgue positiva n-dimensional. Un ejemplo de esto es el conjunto Smith-Volterra-Cantor que tiene una dimensión topológica 0 pero tiene una medida de Lebesgue unidimensional positiva.

Para mostrar que un conjunto A dado es medible según Lebesgue, generalmente se intenta encontrar un "mejor" conjunto B que difiere de A solo por un conjunto nulo (en el sentido de que la diferencia simétrica (A − B) ∪ (B − A) es un conjunto nulo) y luego demuestre que B se puede generar usando uniones contables e intersecciones desde abierto o conjuntos cerrados.

Construcción de la medida Lebesgue

La construcción moderna de la medida de Lebesgue es una aplicación del teorema de extensión de Carathéodory. Se procede de la siguiente manera.

Reparar n ∈ N. Una caja en Rⁿ es un conjunto de la forma

B=∏ ∏ i=1n[ai,bi],{displaystyle B=prod ¿Qué?

donde b_i ≥ a_i, y el símbolo del producto aquí representa un producto cartesiano. El volumen de esta caja se define como

vol⁡ ⁡ ()B)=∏ ∏ i=1n()bi− − ai).{displaystyle operatorname {vol} (B)=prod ¿Qué?

Para cualquier subconjunto A de Rⁿ, podemos definir su medida exterior λ*(A) por:

λ λ Alternativa Alternativa ()A)=inf{}.. B▪ ▪ Cvol⁡ ⁡ ()B):Ces una colección contable de cajas cuya unión cubreA}.{displaystyle lambda ^{*}(A)=inf left{sum _{ Bin {mathcal {C}}operatorname {vol} (B):{mathcal {C}{text{ es una colección contable de cajas cuya unión cubre }}Aright}.}

Luego definimos el conjunto A como medible según Lebesgue si para cada subconjunto S de Rⁿ,

λ λ Alternativa Alternativa ()S)=λ λ Alternativa Alternativa ()S∩ ∩ A)+λ λ Alternativa Alternativa ()S∖ ∖ A).{displaystyle lambda ^{*}(S)=lambda ^{*}(Scap A)+lambda ^{*}(Ssetminus A),.}

Estos conjuntos medibles de Lebesgue forman un álgebra σ, y la medida de Lebesgue se define mediante λ(A) = λ*(A) para cualquier conjunto medible de Lebesgue A.

La existencia de conjuntos que no son medibles según Lebesgue es una consecuencia del axioma de elección de la teoría de conjuntos, que es independiente de muchos de los sistemas convencionales de axiomas para la teoría de conjuntos. El teorema de Vitali, que se deriva del axioma, establece que existen subconjuntos de R que no son medibles según Lebesgue. Asumiendo el axioma de elección, se han demostrado conjuntos no medibles con muchas propiedades sorprendentes, como las de la paradoja de Banach-Tarski.

En 1970, Robert M. Solovay demostró que la existencia de conjuntos que no son medibles según Lebesgue no es demostrable dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia del axioma de elección (ver el modelo de Solovay).

Relación con otras medidas

La medida de Borel concuerda con la medida de Lebesgue en aquellos conjuntos para los que se define; sin embargo, hay muchos más conjuntos medibles de Lebesgue que conjuntos medibles de Borel. La medida de Borel es invariante en la traducción, pero no completa.

La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo localmente compacto y es una generalización de la medida de Lebesgue (Rⁿ con suma es un grupo localmente compacto).

La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue que es útil para medir los subconjuntos de Rⁿ de dimensiones inferiores a n, como subvariedades, por ejemplo, superficies o curvas en R³ y conjuntos fractales. La medida de Hausdorff no debe confundirse con la noción de dimensión de Hausdorff.

Se puede demostrar que no existe un análogo de dimensión infinita de la medida de Lebesgue.