Medida de Hausdorff

En matemáticas, Medida Hausdorff es una generalización de las nociones tradicionales de área y volumen a dimensiones no-integer, específicamente fractales y sus dimensiones Hausdorff. Es un tipo de medida exterior, llamada por Felix Hausdorff, que asigna un número en [0,∞] a cada conjunto en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ o, más generalmente, en cualquier espacio métrico.

La medida Hausdorff dimensional es el número de puntos en el conjunto (si el conjunto es finito) o ∞ si el conjunto es infinito. Del mismo modo, la medida única Hausdorff de una curva simple en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ es igual a la longitud de la curva, y la medida de Hausdorff bidimensional de un subconjunto mensurable de Lebesgue ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ es proporcional a la zona del conjunto. Así, el concepto de la medida Hausdorff generaliza la medida Lebesgue y sus nociones de contar, longitud y área. También generaliza el volumen. De hecho, hay d-dimensional Medidas Hausdorff para cualquier d≥ 0, que no es necesariamente un entero. Estas medidas son fundamentales en la teoría de la medida geométrica. Parecen naturalmente en análisis armónicos o teoría potencial.

Definición

Vamos ${displaystyle (X,rho)}$ ser un espacio métrico. Para cualquier subconjunto ${displaystyle Usubset X}$, vamos ${displaystyle operatorname {diam} U}$ denota su diámetro, que es

${displaystyle operatorname {diam} U:=sup{rho (x,y):x,yin U},quad operatorname {diam} emptyset:=0.}$

Vamos ${displaystyle S.$ ser cualquier subconjunto de ${displaystyle X.$ y ${displaystyle delta >0}$ un número real. Define

${displaystyle H_{delta }{d}(S)=infleft{sum _{i=1}^{infty }(operatorname {diam} U_{i} - ¿Por qué? }U_{i}supseteq S,operatorname {diam} U_{i}traducidodelta right}$

donde el infimum está sobre todas las cubiertas contables ${displaystyle S.$ por grupos ${displaystyle U_{i}subset X.$ satisfacción ${displaystyle operatorname {diam}$.

Note que ${displaystyle H_{delta} {d} {fnMicrosoft Sans Serif}$ es monotono que no aumenta ${displaystyle delta }$ desde el más grande ${displaystyle delta }$ es, se permiten más colecciones de conjuntos, haciendo que el infimum no sea mayor. Así, ${displaystyle lim _{delta to 0}H_{delta } {d}(S)}$ existe pero puede ser infinito. Vamos

${displaystyle H^{d}(S):=sup _{delta ¿Qué?$

Se puede ver que ${displaystyle H^{d}(S)}$ es una medida externa (más precisamente, es una medida externa métrica). Por el teorema de extensión de Carathéodory, su restricción al campo σ de conjuntos Carathéodory-measurable es una medida. Se llama ${displaystyle d}$-dimensional medida Hausdorff de ${displaystyle S.$. Debido a la propiedad métrica de la medida exterior, todos los subconjuntos de Borel ${displaystyle X}$ son ${displaystyle H^{d}$ medible.

En la definición anterior los conjuntos en la cubierta son arbitrarios. Sin embargo, podemos exigir que los conjuntos de cobertura sean abiertos o cerrados, o en espacios ordenados incluso convexo, que darán el mismo ${displaystyle H_{delta} {d} {fnMicrosoft Sans Serif}$ números, por lo tanto la misma medida. In ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ restringir los conjuntos de cobertura para ser bolas puede cambiar las medidas pero no cambia la dimensión de los conjuntos medidos.

Propiedades de las medidas de Hausdorff

Note que si d es un entero positivo, el d-dimensional Medida Hausdorff ${displaystyle mathbb {R}$ es un rescaling de lo habitual d-dimensional Medida de Lebesgue ${displaystyle lambda _{d}$, que se normaliza para que la medida Lebesgue del cubo de unidad [0,1]^d 1. De hecho, para cualquier conjunto Borel E,

${displaystyle lambda _{d}(E)=2^{-d}alpha _{d}H^{d}(E),}$

donde α_d es el volumen de la unidad d-ball; se puede expresar usando la función gamma de Euler

${displaystyle alpha ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} Gamma left ({frac {d}{2}+1right)}={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}} {fn}}} {fnK}}} {fnK}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {\fnf}}}}}}}} { Gamma left ({frac {d}}+1right)}}$

Esto es

${displaystyle lambda _{d}(E)=beta _{d}H^{d}(E)}$,

Donde ${displaystyle beta _{d}$ es el volumen del diámetro de la unidad d- Bola.

Remark. Algunos autores adoptan una definición de la medida Hausdorff ligeramente diferente de la elegida aquí, la diferencia es que el valor ${displaystyle H^{d}(E)}$ definida arriba se multiplica por el factor ${displaystyle beta ## {d}=2^{-d}alpha _{d}$Así que Hausdorff d- medida dimensional coincide exactamente con la medida Lebesgue en el caso del espacio euclidiano.

Relación con la dimensión de Hausdorff

Resulta que ${displaystyle H^{d}(S)}$ puede tener un valor finito, no cero para la mayoría de uno ${displaystyle d}$. Es decir, la Medida Hausdorff es cero para cualquier valor por encima de una determinada dimensión e infinito por debajo de una determinada dimensión, análoga a la idea de que el área de una línea es cero y la longitud de una forma 2D es en algún sentido infinito. Esto conduce a una de varias posibles definiciones equivalentes de la dimensión Hausdorff:

${displaystyle dim _{mathrm {Haus} [S]=sup{dgq 0:H^{d}=0}=sup{dgeq 0:H^{d}(S)=infty}$

donde tomamos ${displaystyle inf emptyset =+infty }$y ${displaystyle sup emptyset =0}$.

Tenga en cuenta que no está garantizado que la medida de Hausdorff deba ser finita y distinta de cero para algún d y, de hecho, la medida en la dimensión de Hausdorff aún puede ser cero; en este caso, la dimensión de Hausdorff todavía actúa como un punto de cambio entre medidas de cero e infinito.

Generalizaciones

En teoría de medida geométrica y campos relacionados, el contenido de Minkowski se utiliza a menudo para medir el tamaño de un subconjunto de un espacio de medida métrica. Para los dominios adecuados en el espacio euclidiano, las dos nociones de tamaño coinciden, hasta las normalizaciones generales dependiendo de las convenciones. Más precisamente, un subconjunto de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ se dice que ${displaystyle m}$-reactivo si es la imagen de un conjunto atado en ${displaystyle mathbb {R} {} {m}$ bajo una función Lipschitz. Si ${displaystyle m won}$, entonces el ${displaystyle m}$-dimensional Contenido de Minkowski de un cerrado ${displaystyle m}$- subconjunto reactivo ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ es igual a ${displaystyle 2^{-m}alpha ¿Qué?$ tiempos ${displaystyle m}$-dimensional Medida Hausdorff (Federer 1969, Theorem 3.2.29).

En geometría fractal, algunos fractales con dimensión Hausdorff ${displaystyle d}$ tienen cero o infinito ${displaystyle d}$-dimensional Medida Hausdorff. Por ejemplo, casi seguro la imagen del movimiento planar Brownian tiene la dimensión Hausdorff 2 y su medida Hausdorff bidimensional es cero. Para "medir" el tamaño de estos conjuntos, se puede considerar la siguiente variación en la noción de la medida Hausdorff:

En la definición de la medida ${displaystyle (operatorname {diam} U_{i} {d}}$ es reemplazado por ${displaystyle phi (U_{i}),}$ Donde ${displaystyle phi }$ es cualquier monotone creciente función de conjunto satisfactoria ${displaystyle phi (emptyset)=0.}$

Esta es la medida Hausdorff ${displaystyle S.$ con función de calibre ${displaystyle phi}$ o ${displaystyle phi }$- Medida Hausdorff. A ${displaystyle d}$- conjunto dimensional ${displaystyle S.$ puede satisfacer ${displaystyle H^{d}(S)=0,}$ pero ${displaystyle H^{phi }(S)in (0,infty)}$ con un ${displaystyle phi.}$ Ejemplos de funciones de calibre incluyen

${displaystyle phi (t)=t^{2}log log {frac {1}{t}quad {text{or}}quad phi (t)=t^{2}log {frac}log {frac} {1}{t}log log {frac} {1}{t}.}$

El primero da casi seguro positivo ${displaystyle sigma }$- medida definitiva al camino marroniano en ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ cuando ${displaystyle n confiado2}$, y el último cuando ${displaystyle n=2}$.