Medida de haar

En el análisis matemático, la medida de Haar asigna un "volumen invariante" a subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos, definiendo así una integral para funciones en esos grupos.

Esta medida fue introducida por Alfréd Haar en 1933, aunque su caso especial para los grupos de Lie había sido introducido por Adolf Hurwitz en 1897 bajo el nombre de "integral invariante". Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis, la teoría de números, la teoría de grupos, la teoría de la representación, la estadística, la teoría de la probabilidad y la teoría ergódica.

Preliminares

Vamos ${displaystyle (G,cdot)}$ ser un grupo topológico Hausdorff localmente compacto. El ${displaystyle sigma }$- álgebra generados por todos los subconjuntos abiertos ${displaystyle G.$ se llama álgebra Borel. Un elemento del álgebra Borel se llama un conjunto Borel. Si ${displaystyle g}$ es un elemento ${displaystyle G.$ y ${displaystyle S.$ es un subconjunto de ${displaystyle G.$, entonces definimos las traducciones izquierda y derecha de ${displaystyle S.$ por g como sigue:

• Traductor izquierdo:
  $${fnMicrosoft Sans Serif}$$

  
• Directo:
  $${displaystyle Sg={scdot g,:,sin S}$$

  

Izquierda y derecha traduce conjuntos de Borel del mapa en conjuntos de Borel.

Medida ${displaystyle mu }$ en los subconjuntos de Borel ${displaystyle G.$ se llama traducción izquierda-invariante si para todos los subconjuntos de Borel ${displaystyle Ssubseteq G}$ y todos ${displaystyle gin G}$ uno tiene

${displaystyle mu (gS)=mu (S).}$

Medida ${displaystyle mu }$ en los subconjuntos de Borel ${displaystyle G.$ se llama derecho-traducción-invariante si para todos los subconjuntos de Borel ${displaystyle Ssubseteq G}$ y todos ${displaystyle gin G}$ uno tiene

${displaystyle mu (Sg)=mu (S).}$

Teorema de Haar

Hay, hasta una constante multiplicativa positiva, una medida contable única aditiva, notrivial ${displaystyle mu }$ en los subconjuntos de Borel ${displaystyle G.$ satisfaciendo las siguientes propiedades:

• La medida ${displaystyle mu }$ es la traducción izquierda-invariante: ${displaystyle mu (gS)=mu (S)}$ para todos ${displaystyle gin G}$ y todos los juegos de Borel ${displaystyle Ssubseteq G}$.
• La medida ${displaystyle mu }$ es finito en cada conjunto compacto: ${displaystyle mu (K) seleccionó$ para todo compacto ${displaystyle Ksubseteq G}$.
• La medida ${displaystyle mu }$ es exterior regular en conjuntos de Borel ${displaystyle Ssubseteq G}$:
  $${displaystyle mu (S)=inf{mu (U):Ssubseteq U,U{text{ open}}}}$$

  
• La medida ${displaystyle mu }$ es regular interior en conjuntos abiertos ${displaystyle Usubseteq G}$:
  $${displaystyle mu (U)=sup{mu (K):Ksubseteq U,K{text{ compact}}}}$$

  

Tal medida ${displaystyle G.$ se llama dejó la medida Haar. Se puede mostrar como consecuencia de las propiedades anteriores que ${displaystyle mu (U)}$ para cada subconjunto abierto no vacío ${displaystyle Usubseteq G}$. En particular, si ${displaystyle G.$ es compacto entonces ${displaystyle mu (G)}$ es finito y positivo, por lo que podemos especificar una medida de Haar izquierda en ${displaystyle G.$ añadiendo la condición de normalización ${displaystyle mu (G)=1}$.

En la analogía completa, se puede demostrar también la existencia y singularidad de una derecho Medida de Haar on ${displaystyle G.$. Las dos medidas no deben coincidir.

Algunos autores definen una medida de Haar en conjuntos de Baire en lugar de conjuntos de Borel. Esto hace que las condiciones de regularidad sean innecesarias ya que las medidas de Baire son automáticamente regulares. Halmos utiliza confusamente el término "Borel set" para elementos del ${displaystyle sigma }$-ring generada por conjuntos compactos, y define medidas Haar en estos conjuntos.

La medida Haar izquierda satisface la condición de regularidad interna para todos ${displaystyle sigma }$- Claro. Borel establece, pero puede no ser regular interior para Todos Borel se pone. Por ejemplo, el producto del círculo de unidad (con su topología habitual) y la línea real con la topología discreta es un grupo localmente compacto con la topología del producto y una medida Haar en este grupo no es regular interior para el subconjunto cerrado ${displaystyle {1}times [0,1]}$. (Los subconjuntos de este segmento vertical son conjuntos finitos y los puntos tienen medida ${displaystyle 0}$, por lo que la medida de cualquier subconjunto compacto de este segmento vertical es ${displaystyle 0}$. Pero, utilizando la regularidad exterior, se puede mostrar que el segmento tiene una medida infinita.)

André Weil demostró por primera vez la existencia y unicidad (a escala) de una medida de Haar izquierda con total generalidad. La prueba de Weil usó el axioma de elección y Henri Cartan proporcionó una prueba que evitó su uso. La prueba de Cartan también establece la existencia y la unicidad simultáneamente. Alfsen dio una explicación simplificada y completa del argumento de Cartan en 1963. El caso especial de medida invariante para grupos compactos localmente contables en segundo lugar había sido mostrado por Haar en 1933.

Ejemplos

• If ${displaystyle G}$ is a discrete group, then the compact subsets coincide with the finite subsets, and a (left and right invariant) Haar measure on ${displaystyle G}$ is the counting measure.
• The Haar measure on the topological group ${displaystyle (mathbb {R}+)}$ that takes the value ${displaystyle 1}$ on the interval ${displaystyle [0,1]}$ is equal to the restriction of Lebesgue measure to the Borel subsets of ${displaystyle mathbb {R} }$. This can be generalized to ${displaystyle (mathbb {R} ^{n},+).}$
• In order to define a Haar measure ${displaystyle mu }$ on the circle group ${displaystyle mathbb {T} }$, consider the function ${displaystyle f}$ from ${displaystyle [0,2pi ]}$ onto ${displaystyle mathbb {T} }$ defined by ${displaystyle f(t)=(cos(t),sin(t))}$. Then ${displaystyle mu }$ can be defined by
  $${displaystyle mu (S)={frac {1}{2pi }}m(f^{-1}(S)),}$$

  
  where ${displaystyle m}$ is the Lebesgue measure on ${displaystyle [0,2pi ]}$. The factor ${displaystyle (2pi)^{-1}}$ is chosen so that ${displaystyle mu (mathbb {T})=1}$.
• If ${displaystyle G}$ is the group of positive real numbers under multiplication then a Haar measure ${displaystyle mu }$ is given by
  $${displaystyle mu (S)=int _{S}{frac {1}{t}},dt}$$

  
  for any Borel subset ${displaystyle S}$ of positive real numbers. For example, if ${displaystyle S}$ is taken to be an interval ${displaystyle [a,b]}$, then we find ${displaystyle mu (S)=log(b/a)}$. Now we let the multiplicative group act on this interval by a multiplication of all its elements by a number ${displaystyle g}$, resulting in ${displaystyle gS}$ being the interval ${displaystyle [gcdot a,gcdot b].}$ Measuring this new interval, we find ${displaystyle mu (gS)=log((gcdot b)/(gcdot a))=log(b/a)=mu (S).}$
• If ${displaystyle G}$ is the group of nonzero real numbers with multiplication as operation, then a Haar measure ${displaystyle mu }$ is given by
  $${displaystyle mu (S)=int _{S}{frac {1}{|t|}},dt}$$

  
  for any Borel subset ${displaystyle S}$ of the nonzero reals.
• For the general linear group ${displaystyle G=GL(n,mathbb {R})}$, any left Haar measure is a right Haar measure and one such measure ${displaystyle mu }$ is given by
  $${displaystyle mu (S)=int _{S}{1 over |det(X)|^{n}},dX}$$

  
  where ${displaystyle dX}$ denotes the Lebesgue measure on ${displaystyle mathbb {R} ^{n^{2}}}$ identified with the set of all ${displaystyle ntimes n}$-matrices. This follows from the change of variables formula.
• Generalizing the previous three examples, if the group ${displaystyle G}$ is represented as an open submanifold of ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ with smooth group operations, then a left Haar measure on ${displaystyle G}$ is given by ${displaystyle {frac {1}{|J_{(xcdot)}(e_{1})|}}d^{n}x}$, where ${displaystyle e_{1}}$ is the group identity element of ${displaystyle G}$, ${displaystyle J_{(xcdot)}(e_{1})}$ is the Jacobian determinant of left multiplication by ${displaystyle x}$ at ${displaystyle e_{1}}$, and ${displaystyle d^{n}x}$ is the Lebesgue measure on ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. This follows from the change of variables formula. A right Haar measure is given in the same way, except with ${displaystyle J_{(cdot x)}(e_{1})}$ being the Jacobian of right multiplication by ${displaystyle x}$.
• Let ${displaystyle G}$ be the set of all affine linear transformations ${displaystyle A:mathbb {R} to mathbb {R} }$ of the form ${displaystyle rmapsto xr+y}$ for some fixed ${displaystyle x,yin mathbb {R} }$ with ${displaystyle x>0.}$ Associate with ${displaystyle G}$ the operation of function composition ${displaystyle circ }$, which turns ${displaystyle G}$ into a non-abelian group. ${displaystyle G}$ can be identified with the right half plane ${displaystyle (0,infty)times mathbb {R} =left{(x,y)~:~x,yin mathbb {R}x>0right}}$ under which the group operation becomes ${displaystyle (s,t)circ (u,v)=(su,sv+t).}$ A left-invariant Haar measure ${displaystyle mu _{L}}$ (respectively, a right-invariant Haar measure ${displaystyle mu _{R}}$) on ${displaystyle G=(0,infty)times mathbb {R} }$ is given by
  $${displaystyle mu _{L}(S)=int _{S}{frac {1}{x^{2}}},dx,dy}$$

  
  and
  $${displaystyle mu _{R}(S)=int _{S}{frac {1}{x}},dx,dy}$$

  
  for any Borel subset ${displaystyle S}$ of ${displaystyle G=(0,infty)times mathbb {R}.}$ This is because if ${displaystyle Ssubseteq (0,infty)times mathbb {R} }$ is an open subset then for ${displaystyle (s,t)in G}$ fixed, integration by substitution gives
  $${displaystyle mu _{L}((s,t)circ S)=int _{(s,t)circ S}{frac {1}{x^{2}}},dx,dy=int _{S}{frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|,du,dv=mu _{L}(S)}$$

  
  while for ${displaystyle (u,v)in G}$ fixed,
  $${displaystyle mu _{R}(Scirc (u,v))=int _{Scirc (u,v)}{frac {1}{x}},dx,dy=int _{S}{frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|,ds,dt=mu _{R}(S).}$$

  
• On any Lie group of dimension ${displaystyle d}$ a left Haar measure can be associated with any non-zero left-invariant ${displaystyle d}$-form ${displaystyle omega }$, as the Lebesgue measure ${displaystyle |omega |}$; and similarly for right Haar measures. This means also that the modular function can be computed, as the absolute value of the determinant of the adjoint representation.
• The unit hyperbola ${displaystyle {(x,y):x^{2}-y^{2}=1,x>0}}$ can be taken as a group under multiplication defined as with split-complex numbers ${displaystyle z=x+yj, j^{2}=+1.}$ The usual area measure in the crescent ${displaystyle C={(x,y):|y|<x, x^{2}-y^{2}<1}}$ serves to define hyperbolic angle as the area of its hyperbolic sector. The Haar measure of the unit hyperbola is generated by the hyperbolic angle of segments on the hyperbola. For instance, a measure of one unit is given by the segment running from (1,1) to (e,1/e), where e is Euler's number. Hyperbolic angle has been exploited in mathematical physics with rapidity standing in for classical velocity.
• If ${displaystyle G}$ is the group of non-zero quaternions, then ${displaystyle G}$ can be seen as an open subset of ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$. A Haar measure ${displaystyle mu }$ is given by
  $${displaystyle mu (S)=int _{S}{frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}},dx,dy,dz,dw}$$

  
  where ${displaystyle dxwedge dywedge dzwedge dw}$ denotes the Lebesgue measure in ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$ and ${displaystyle S}$ is a Borel subset of ${displaystyle G}$.
• If ${displaystyle G}$ is the additive group of ${displaystyle p}$-adic numbers for a prime ${displaystyle p}$, then a Haar measure is given by letting ${displaystyle a+p^{n}O}$ have measure ${displaystyle p^{-n}}$, where ${displaystyle O}$ is the ring of ${displaystyle p}$-adic integers.

Construcción de la medida de Haar

Una construcción usando subconjuntos compactos

El siguiente método para construir la medida de Haar es esencialmente el método utilizado por Haar y Weil.

Para cualquier subconjunto ${displaystyle S,Tsubseteq G}$ con ${displaystyle S.$ nonempty define ${displaystyle [T:S]}$ a ser el menor número de traducciones de la izquierda ${displaystyle S.$ esa cubierta ${displaystyle T}$ (así que esto es un entero no negativo o infinito). Esto no es aditivo en conjuntos compactos ${displaystyle Ksubseteq G}$, aunque tiene la propiedad que ${displaystyle [K:U]+[L:U]=[Kcup L:U]$ para conjuntos compactos ${displaystyle K,Lsubseteq G.$ siempre que ${displaystyle U}$ es un pequeño barrio abierto de la identidad (dependiendo de ${displaystyle K}$ y ${displaystyle L.$). La idea de la medida de Haar es tomar una especie de límite ${displaystyle [K:U]}$ como ${displaystyle U}$ se vuelve más pequeño para hacerlo aditivo en todos los pares de conjuntos compactos disjoint, aunque primero tiene que ser normalizado para que el límite no sea sólo infinidad. Así que arregla un conjunto compacto ${displaystyle A}$ con interior no vacío (que existe como el grupo es localmente compacto) y para un conjunto compacto ${displaystyle K}$ definir

${displaystyle mu _{A}(K)=lim ¿Qué?$

donde el límite se toma sobre un conjunto dirigido adecuado de vecindades abiertas de la identidad eventualmente contenida en cualquier vecindad dada; la existencia de un conjunto dirigido tal que el límite existe se sigue usando el teorema de Tychonoff.

La función ${displaystyle mu _{A}}$ es aditivo en subconjuntos compactos descomunales de ${displaystyle G.$, lo que implica que es un contenido regular. Desde un contenido regular se puede construir una medida mediante la primera ampliación ${displaystyle mu _{A}}$ abrir conjuntos por regularidad interior, luego a todos los conjuntos por la regularidad exterior, y luego restringirlo a conjuntos Borel. (Incluso para juegos abiertos ${displaystyle U}$, la medida correspondiente ${displaystyle mu _{A}(U)}$ no se debe dar por la fórmula de sup de lim arriba. El problema es que la función dada por la fórmula lim sup no es contablemente subadditiva en general y en particular es infinita en cualquier conjunto sin cierre compacto, así que no es una medida externa.)

Una construcción que utiliza funciones compatibles de forma compacta

Cartan introdujo otra forma de construir la medida Haar como medida Radon (una funcionalidad lineal positiva en funciones continuas compatibles compactamente), que es similar a la construcción anterior excepto que ${displaystyle A}$, ${displaystyle K}$, y ${displaystyle U}$ son funciones continuas positivas de soporte compacto en lugar de subconjuntos de ${displaystyle G.$. En este caso definimos ${displaystyle [K:U]}$ ser el infimum de números ${displaystyle c_{1}+cdots #$ tales que ${displaystyle K(g)}$ es menos que la combinación lineal ${displaystyle c_{1}U(g_{1}g)+cdots +c_{n}U(g_{n}g)}$ de las traducciones ${displaystyle U}$ para algunos ${displaystyle g_{1},ldotsg_{n}in G.$. Como antes de definir

${displaystyle mu _{A}(K)=lim ¿Qué?$.

El hecho de que el límite existe se esfuerza por probar, aunque la ventaja de hacer esto es que la prueba evita el uso del axioma de la elección y también da la singularidad de la medida Haar como subproducto. El funcional ${displaystyle mu _{A}}$ se extiende a una funcionalidad lineal positiva en funciones continuas compatibles compactamente y así da una medida Haar. (Nota que aunque el límite es lineal en ${displaystyle K}$, los términos individuales ${displaystyle [K:U]}$ no son generalmente lineales en ${displaystyle K}$.)

Una construcción que usa valores medios de funciones

Von Neumann dio un método para construir la medida Haar utilizando valores medios de funciones, aunque sólo funciona para grupos compactos. La idea es que dada una función ${displaystyle f}$ en un grupo compacto, se puede encontrar una combinación convexa ${textstyle sum a_{i}f(g_{i}g)}$ (donde) ${textstyle sum a_{i}=1}$) de su izquierda traduce que difiere de una función constante por la mayoría de un pequeño número ${displaystyle epsilon }$. Entonces uno lo muestra como ${displaystyle epsilon }$ tiende a cero los valores de estas funciones constantes tienden a un límite, que se llama el valor medio (o integral) de la función ${displaystyle f}$.

Para grupos que son localmente compactos pero no compactos, esta construcción no proporciona una medida de Haar, ya que el valor medio de las funciones admitidas de forma compacta es cero. Sin embargo, algo como esto funciona para funciones casi periódicas en el grupo que tienen un valor medio, aunque esto no se da con respecto a la medida de Haar.

Una construcción sobre los grupos de Lie

En un grupo de Lie n-dimensional, la medida de Haar se puede construir fácilmente como la medida inducida por una forma n invariante a la izquierda. Esto se sabía antes del teorema de Haar.

La medida correcta de Haar

También se puede probar que existe una medida única (hasta la multiplicación por una constante positiva) derecha-traducción-invariante Borel ${displaystyle nu }$ satisfacer las condiciones de regularidad anteriores y ser finito en conjuntos compactos, pero no necesita coincidir con la medida de la traducción izquierda-invariante ${displaystyle mu }$. Las medidas de Haar izquierda y derecha son las mismas sólo para las llamadas grupos unimodulares (véase infra). Es bastante simple, sin embargo, encontrar una relación entre ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle nu }$.

De hecho, para un Borel conjunto ${displaystyle S.$, vamos a denotarnos ${displaystyle S^{-1}$ el conjunto de inversos de elementos de ${displaystyle S.$. Si definimos

${displaystyle mu _{-1}(S)=mu (S^{-1}quad }$

entonces esta es una medida correcta de Haar. Para mostrar la invariancia a la derecha, aplique la definición:

${displaystyle mu _{-1}(Sg)=mu ((Sg)^{-1})=mu (g^{-1}S^{-1})=mu (S^{-1})=mu _{-1}(S).quad }$

Debido a que la medida correcta es única, sigue que ${displaystyle mu _{-1}$ es un múltiple de ${displaystyle nu }$ y así

${displaystyle mu (S^{-1})=knu (S),}$

para todos los juegos de Borel ${displaystyle S.$, donde ${displaystyle k}$ es una constante positiva.

La función modular

El izquierda traducir una medida correcta de Haar es una medida correcta de Haar. Más precisamente, si ${displaystyle nu }$ es una medida correcta de Haar, entonces para cualquier elección fija de un elemento de grupo g,

${displaystyle Smapsto nu (g^{-1}S)quad }$

también es invariante. Así, por singularidad hasta un factor de escalado constante de la medida de Haar, existe una función ${displaystyle Delta }$ del grupo a los hechos positivos, llamados Módulo Haar, función modular o carácter modular, tal que para cada Borel set ${displaystyle S.$

${displaystyle nu (g^{-1}S)=Delta (g)nu (S).quad }$

Dado que la medida de Haar correcta está bien definida hasta un factor de escala positivo, esta ecuación muestra que la función modular es independiente de la elección de la medida de Haar correcta en la ecuación anterior.

La función modular es un homomorfismo de grupo continuo G al grupo multiplicativo de números reales positivos. Un grupo se llama unimodular si la función modular es idéntica ${displaystyle 1}$, o, equivalentemente, si la medida Haar es invariante izquierda y derecha. Ejemplos de grupos unimodulares son grupos abelianos, grupos compactos, grupos discretos (por ejemplo, grupos finitos), grupos semisimples Lie y grupos conectados nilpotent Lie. Un ejemplo de un grupo no-unimodular es el grupo de transformaciones afines

${displaystyle {big{}xmapsto ax+b:ain mathbb {R} setminus {0},bin mathbb {R} {big}=left{begin{bmatrix}a recurb$