Medida de dirac

En matemáticas, una medida de Dirac asigna un tamaño a un conjunto basándose únicamente en si contiene un elemento fijo x o no. Es una forma de formalizar la idea de la función delta de Dirac, una herramienta importante en física y otros campos técnicos.

Definición

Una medida de Dirac es una medida δ_x en un conjunto X (con cualquier σ-álgebra de subconjuntos de X< /span>) definido para un determinado x ∈ X y cualquier conjunto (medible) A ⊆ X por

${displaystyle delta _{x}(A)=1_{A}(x)={begin{cases}0, limitxnot in A;1, limitxin A.end{cases}}}$

donde 1_A es la función indicadora de A.

La medida de Dirac es una medida de probabilidad y, en términos de probabilidad, representa el resultado casi seguro x en el espacio muestral X. También podemos decir que la medida es un solo átomo en x; sin embargo, tratar la medida de Dirac como una medida atómica no es correcto cuando consideramos la definición secuencial de delta de Dirac, como el límite de una secuencia delta. Las medidas de Dirac son los puntos extremos del conjunto convexo de medidas de probabilidad en X.

El nombre es una formación posterior de la función delta de Dirac; Considerada como una distribución de Schwartz, por ejemplo en la recta real, las medidas pueden tomarse como un tipo especial de distribución. La identidad

${displaystyle int _{X}f(y),mathrm {d} delta _{x}(y)=f(x),}$

que, en la forma

${displaystyle int _{X}f(y)delta _{x}(y),mathrm {d} y=f(x),}$

a menudo se considera parte de la definición de la "función delta", y se considera un teorema de la integración de Lebesgue.

Propiedades de la medida de Dirac

Dejemos que δ_x denote la medida de Dirac centrada en algún punto fijo x en algún espacio mensurable (X, Σ).

• δ_x es una medida de probabilidad, y por lo tanto una medida finita.

Supongamos que (X, T) es un espacio topológico y que Σ es al menos tan fino como el álgebra σ de Borel σ(T) en X.

• δ_x es una medida estrictamente positiva si y sólo si la topología T es tal que x yace dentro de cada conjunto abierto no vacío, por ejemplo en el caso de la topología trivial {Acceso, X}.
• Desde δ_x es la medida de probabilidad, es también una medida localmente finita.
• Si X es un espacio topológico de Hausdorff con su Borel σ- álgebra, entonces δ_x satisface la condición de ser una medida regular interna, ya que conjuntos de un solotón como {}x} son siempre compactos. Por lo tanto, δ_x es también una medida Radon.
• Suponiendo que la topología T Está bien. {}x} está cerrado, que es el caso en la mayoría de las aplicaciones, el apoyo de δ_x es {}x}. (Otra vez, Supp(δ_x) es el cierre de {}x} dentro ()X, T)) Además, δ_x es la única medida de probabilidad cuyo apoyo es {}x}.
• Si X es n-dimensional Espacio euclidiano Rⁿ con su costumbre σ- álgebra y n-dimensional Medida de Lebesgue λⁿEntonces δ_x es una medida singular con respecto a λⁿ: simplemente descompuesto Rⁿ como A = Rⁿ {}x} y B =x} y observar que δ_x()A) λⁿ()B) = 0.
• La medida Dirac es una medida sigma-finita.

Generalizaciones

Una medida discreta es similar a la medida de Dirac, excepto que se concentra en muchos puntos contables en lugar de en un solo punto. Más formalmente, una medida sobre la recta real se denomina medida discreta (con respecto a la medida de Lebesgue) si su soporte es como máximo un conjunto contable.