Medida completa

En matemáticas, una medida completa (o, más precisamente, un espacio de medida completo) es un espacio de medida en el que cada subconjunto de cada conjunto nulo es medible (teniendo medida cero). Más formalmente, un espacio de medida (X, Σ, μ) es completo si y solo si

S⊆ ⊆ N▪ ▪ .. yμ μ ()N)=0⇒ ⇒ S▪ ▪ .. .{displaystyle Ssubseteq Nin Sigma {mbox{ and }mu (N)=0 Rightarrow Sin Sigma.}

Motivación

La necesidad de considerar cuestiones de completitud se puede ilustrar considerando el problema de los espacios de productos.

Supongamos que ya hemos construido la medida Lebesgue en la línea real: denota este espacio de medida ()R,B,λ λ ).{displaystyle (mathbb {R}B,lambda). } Ahora deseamos construir una medida bidimensional de Lebesgue λ λ 2{displaystyle lambda ^{2} en el avión R2{displaystyle mathbb {R} {2}} como medida de producto. Naively, tomaríamos el álgebra σ-algebra en R2{displaystyle mathbb {R} {2}} para ser B⊗ ⊗ B,{displaystyle Botimes B,} el álgebra σ más pequeño que contiene todos los "rectángulos" mensurables A1× × A2{displaystyle A_{1}times A_{2} para A1,A2▪ ▪ B.{displaystyle A_{1},A_{2}in B.}

Si bien este enfoque define un espacio de medida, tiene un defecto. Dado que todo conjunto singleton tiene una medida de Lebesgue unidimensional cero,

λ λ 2(){}0}× × A)≤ ≤ λ λ (){}0})=0{displaystyle lambda ^{2}({0}times A)leq lambda ({0})=0}

A{displaystyle A}

R.{displaystyle mathbb {R}

A{displaystyle A}

λ λ 2{displaystyle lambda ^{2}

{}0}× × A{displaystyle Horas A}

{}0}× × A⊆ ⊆ {}0}× × R,{displaystyle {0}times Asubseteq {0}times mathbb {R}

λ λ 2{displaystyle lambda ^{2}

Construcción de una medida completa

Dado un espacio de medida (posiblemente incompleto) (X, Σ, μ), hay una extensión (X, Σ₀, μ₀) de este espacio de medida que está completo. La extensión más pequeña (es decir, la σ-álgebra Σ₀ más pequeña) se llama la completación del espacio de medida.

La finalización se puede construir de la siguiente manera:

• Deja Z ser el conjunto de todos los subconjuntos del cero-μ- Subconjuntos de medición de X (intuitivamente, esos elementos Z que ya no están en la Asamblea son los que impiden que la integridad se mantenga fiel);
• .₀ ser el σ- álgebra generada por la bah y Z (es decir, el más pequeño σ- álgebra que contiene todos los elementos de la Z);
• μ tiene una extensión μ₀ a la ONUDI₀ (que es único si μ es σ-finite), llamado la medida exterior μ, dado por el infimum

μ μ 0()C):=inf{}μ μ ()D)▪ ▪ C⊆ ⊆ D▪ ▪ .. }.{displaystyle mu _{0}(C):=inf{mu (D)mid Csubseteq Din Sigma}.}

Entonces (X, Σ₀, μ₀) es un espacio de medida completo, y es el finalización de (X, Σ, μ).

En la construcción anterior se puede demostrar que cada miembro de Σ₀ es de la forma A ∪ B para algún A ∈ Σ y algo de B ∈ Z, y

μ μ 0()A∪ ∪ B)=μ μ ()A).{displaystyle mu _{0}(Acup B)=mu (A).}

Ejemplos

• Medida de Borel definida en el Borel σ-Álgebra generada por los intervalos abiertos de la línea real no es completa, y por lo tanto el procedimiento de terminación anterior debe ser utilizado para definir la medida Lebesgue completa. Esto es ilustrado por el hecho de que el conjunto de todos los Borel pone sobre los reinos tiene la misma cardenalidad que los reales. Mientras que el conjunto Cantor es un conjunto Borel, tiene medida cero, y su conjunto de poder tiene cardenalidad estrictamente mayor que la de los reales. Por lo tanto hay un subconjunto del conjunto Cantor que no está contenido en los conjuntos Borel. Por lo tanto, la medida Borel no es completa.
• n-dimensional La medida de Lebesgue es la terminación de la n- producto múltiple del espacio Lebesgue unidimensional con sí mismo. Es también la terminación de la medida Borel, como en el caso unidimensional.

Propiedades

El teorema de Maharam establece que todo espacio de medida completo se puede descomponer en medidas continuas y una medida contable finita o contable.